小学数学教师招聘考试专业知识

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篇一：小学数学教师招考专业知识试题汇编

教师

一、单项选择题。

1、以下各条件中，可以断定四边形是平行四边形的是〔〕

A.一组对角相等B,两条对角线互相平分

3、函数y=6x3-12x2+6x+1的单调减区间为〔〕A.(??,)B.(,1)

C.(1,+?)D.(-1，-)

4、〔〕是牛顿-莱布来茨公式，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

A.

C.131313?baf(x)dx?F(a)?F(b)B.?f(x)dx?F(a)?F(b)ab?b

axdx?b?aD.?xdx?a?bab

5.假设两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距是6cm，那么两圆的位置关系是〔〕。

6、已经明白{an}是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于().

7、函数f(x)=sinx-cosx的最大值为〔〕

A.1B.2C.D,2

8.长方体ABCD-A1B1C1D1三条棱长分别是AA=1，AB=2，AD=4，那么从A点动身，沿长方体的外表到C的最短间隔是〔〕

A.5B.7C.29D.

9、一个数四舍五入到近似值为3万，这个数最大值是〔〕

10、已经明白反函数y=k的图象通过点p(-1,2),那么这个函数的图象位于〔〕。x

A.第二、三象限B、第一、三象限

C.第三、四象限D、第二、四象限

11、一个袋中装着5个黑球、3个白球，另一个袋中装着4个黑球、4个白球，从两个袋中分别取出一个球，那么两个球都是黑球的概率是()53B.164

13C.D.216A.

12、已经明白向量a=(5,-3)，那么a=〔〕

13.有一种食物是由每千克30元的奶糖3千克，每千克6元的面粉3千克，每千克15元的精华粉4千克混合制成的，最后这种食品平均每千克售价为〔〕元。

14.已经明白AUB?M,AIB?N,那么以下关系正确的选项〔〕

A.M?NB.MIN?N

C.MIN=ND.MUN=N

15.用0,1,2,3这四个数字可以组成的没有反复数字的三位数个数是〔〕

二、填空题

1、已经明白曲线f(x,y)=0满足f(-x,-y)=0,那么曲线关于_________对称。

2.7名志愿者布置6人在周六、周天两天参与社区公益活动。假设每天布置3人，那么不同布置方案共有__________种。

3、函数y=2x3-x2+x-1在(1,1)处的切线的斜率为__________。

4.李师傅随机抽查了本单位今年四月份里6天的日用水量〔单位：吨〕结果如下：7,8,8,7,6,6，依照这些数据，可能四月份用水量为__________吨。

5．一个球从100米高处自在落下，每次着地后又跳回到原高度的一半，当它第10次着地时共通过了____________米。

6、函数y=2x+1的单调增区间为___________。x

7.已经明白集合M={X∣-3?x?5},N={x∣-5lt;xlt;5},那么M?N?__________。

8.已经明白F是双曲线的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，那么∣PF∣+∣PA∣的最小值为__________。

29、已经明白f(1-cosx)=sinx，那么f(x)=_________.

10、假设：A=2×2×5,B=2×3×5,那A、B的最大公约数是____,最小公倍数是_____.

11.设0lt;,那么?sin等于__________。sin?cos

12.点p(1,2)到直线y=2x+1的间隔为__________.

2213、假设p(2,1)为圆〔x-1〕+y=25的弦的AB的中点，那么直线AB的方程为_________.

二、计算题。

1、已经明白函数f〔x〕=x-2x.

(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间，并指出它在各单调区间上是增函数仍然减函数；

〔Ⅱ〕求函数y=f(x)在区间[0,4]上的最大值和最小值。

2、建造一个容积为4800立方米，深为3米的长方体无盖水池，假设池底和池壁的造价每

平方米分别为150元和120元，那么如何样设计水池能使总造价最低，最低总造价为多少元？

23、假设两个二次函数的图象关于直线x=1对称，其中一个函数的表达式为y=x+2x-1,求另

一个函数的表达式。

4、某种图书原价为每本a元时，售出总量为b本，假设每本价格上涨x%,可能售出总量将

减少0.5x%,征询x为何值时这种书的销售总金额最大。

5、设数列{an},{bn}满足a1=1,b1=0且??an?1?2an?3bn??，n=1,2,3…bn?1?an?2bn??

6.已经明白圆O的圆心在坐标原点，圆O与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B,︱AB︱=22.设P为圆O上一点，且OP∥AB,求点P的坐标。

篇二：小学数学教师招聘专业知识

数学教师招聘考试专业知识复习

一、复习要求〔由于招考标题仅为知识，因此本内容以均为高考知识点〕

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑结合词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充沛条件，必要条件及充要条件的意义，会推断两个命题的充要关系；

5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、学习指导

1、集合的概念：

〔1〕集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

〔2〕集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

〔3〕集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有明显规律的无限集，如N+={0，1，2，3，?}；②描绘法。

2、两类关系：

〔1〕元素与集合的关系，用?或?表示；

?〔2〕集合与集合的关系，用?，??，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A?B时，称A是B的真子集。

3、集合运算

〔1〕交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

〔2〕运算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕，

CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。

4、命题：

〔1〕命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

〔2〕复合命题的方式：p且q，p或q，非p；

〔3〕复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

〔3〕四种命题：记“假设p那么q〞为原命题，那么否命题为“假设非p那么非q〞，逆命题为“假设q那么p“，逆否命题为〞假设非q那么非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为确实个数只能是偶数个。

5、充沛条件与必要条件

〔1〕定义：对命题“假设p那么q〞而言，当它是真命题时，p是q的充沛条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充沛条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

〔2〕在推断充沛条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充沛不用要条件，必要不充沛条件，充沛且必要条件，既不充沛又不用要条件。从集合角度看，假设记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合B，那么当A?B时，p是q的充沛条件。B?A时，q是p的充沛条件。A=B时，p是q的充要条件；

〔3〕当p和q互为充要时，表达了命题等价转换的思想。

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其根本理论是近代数学最根本的内容之一。学会用集合的思想处置数学征询题。

三、典型例题

例1、已经明白集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

说明：实际上，从函数角度看，此题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{〔x，y〕|y=x2+1，x∈R}是有实质差别的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已经明白集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，务实数m范围。

解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=B?B?A

依照集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}

当B=φ时，△=m2-8lt;0

∴?22?m?22

当B={1}或{2}时，?

当B={1，2}时，?

∴m=3

综上所述，m=3或?22?m?22

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素养的一个重要方面，如此题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已经明白x、y∈R，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1。

解题思路分析：

假设xlt;1且ylt;1，由不等式同向相加的性质x+ylt;2与已经明白x+y≥2矛盾

∴假设不成立

∴x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依照是：欲证“假设p那么q〞为真，先证“假设p那么非q〞为假，因在条件p下，q与非q是对立事件〔不能同时成立，但必有一个成立〕，因此当“假设p那么非q〞为假时，“假设p那么q〞一定为真。

例4、假设A是B的必要而不充沛条件，C是B的充要条件，D是C的充沛而不用要条件，推断D是A的什么条件。解题思路分析：

利用“?〞、“?〞符号分析各命题之间的关系

D?C?B?A

∴D?A，D是A的充沛不用要条件

说明：符号“?〞、“?〞具有传送性，不过前者是一方向的，后者是双方向的。

例5、求直线?：ax-y+b=0通过两直线?1：2x-2y-3=0和?2：3x-5y+1=0交点的充要条件。

解题思路分析：

从必要性着手，分充沛性和必要性两方面证明。

???0，m无解1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m1?2?2?

由??2x?2y?3?01711得?1，?2交点P〔,〕44?3x?5y?1?0

∵?过点P

∴a?1711??b?044

∴17a+4b=11

充沛性：设a，b满足17a+4b=11

∴b?11?17a4

11?17a?04代入?方程：ax?y?

整理得：(y?1117)?a(x?)?044

11171711?0,x??0的交点〔,〕4444此方程说明，直线?恒过两直线y?而此点为?1与?2的交点

∴充沛性得证

∴综上所述，命题为真

说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“?〞，双向传输，同时证明充沛性及必要性；另一种是分别证明必要性及充沛性，从必要性着手，再检验充沛性。

四、同步练习

〔一〕选择题

1、设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，那么{a}与M的关系是

?A、{a}=MB、M??{a}C、{a}?MD、M?{a}

2、已经明白全集U=R，A={x|x-a|lt;2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，那么a的取值范围是

A、[0，2]B、〔-2，2〕C、〔0，2]D、〔0，2〕

3、已经明白集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，那么M，N的关系是

?A、M??NB、M?NC、M=ND、不确定

4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素个数是

A、11B、10C、16D、15

5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15B、16C、31D、32

6、关于命题“正方形的四个内角相等〞，下面推断正确的选项

A、所给命题为假B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真D、它的否命题为真

7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的

A、充沛不用要条件B、必要不充沛条件

C、充要条件D、既不充沛也不用要条件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3?+1，?∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是

????A、S??B?AB、S=B?AC、S?B=AD、S?B=A

9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是

A、0lt;m≤1或mlt;0B、0lt;m≤1

C、mlt;1D、m≤1

10、已经明白p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，那么p是q的

A、充沛不用要条件B、必要不充沛条件

充要条件D、既不充沛又不用要条件

〔二〕填空题

11、已经明白M={m|m?4x?3?Z}，N={x|?N}，那么M∩N=____空集______。22

12、在100个学生中，有乒乓球喜好者60人，排球喜好者65人，那么两者都喜好的人数最少是___25__人。最多__60_

人

13、

14、

15、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。命题“假设ab=0，那么a、b中至少有一个为零〞的逆否命题为_____真命题_______。非空集合p满足以下两个条件：〔1〕p?〔2〕假设元素a∈p，那么6-a∈p，那么集合p个数是?{1，2，3，4，5}，

____7______。

〔三〕解答题

16、

17、

18、

19、

函数

一、复习要求

7、函数的定义及通性；

2、函数性质的运用。

二、学习指导

1、函数的概念：

〔1〕映射：设非空数集A，B，假设对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，那么称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法那么，b=f(a)。假设A中不同元素的象也不同，那么称映射为单射，假设B中每一个元素都有原象与之对应，那么称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

〔2〕函数定义：函数确实是定义在非空数集A，B上的映射，如今称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法那么，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法那么决定了值域，是两个最根本的要素。逆过来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式〔组〕来实现的。要熟记根本初等函数的定义域，通过四那么运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不只要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数已经明白a?x2?，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。12设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假设A∩B是单元素集合，求a取值范围。已经明白抛物线C：y=-x2+mx-1，点M〔0，3〕，N〔3，0〕，求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。设A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假设A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。

对应法那么的要求。理解函数定义域，应严密联络对应法那么。函数定义域是研究函数性质的根底和前提。

函数对应法那么通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现方式。求已经明白类型函数解析式的方法是待定系数法，笼统函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见征询题，在初等数学范围内，直截了当法的途径有单调性，根本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值〔极值〕更加方便。

在中学数学的各个局部都存在着求取值范围这一典型征询题，它的一种典型处置方法确实是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

〔1〕奇偶性：函数定义域关于原点对称是推断函数奇偶性的必要条件，在利用定义推断时，应在化简解析式后进展，同时灵敏运用定义域的变形，如f(?x)?f(x)?0，

奇偶性的几何意义是两种特别的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。

利用奇偶性的运算性质可以简化推断奇偶性的步骤。

〔2〕单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

推断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质〔实质上是不等式性质〕；④复合函数单调性推断法那么。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最爽朗的性质，它的运用主要表达在不等式方面，如比较大小，解笼统函数不等式等。

〔3〕周期性：周期性主要运用在三角函数及笼统函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：假设函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，那么T=2|a-b|。

〔4〕反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要推断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质严密相连，如定义域、值域互换，具有一样的单调性等，把反函数f-1(x)的征询题化归为函数f(x)的征询题是处置反函数征询题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A，值域为C，那么

f-1[f(x)]=x，x∈A

f[f-1(x)]=x，x∈C

3、函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充沛发挥图象的工具作用。图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在详细的对应法那么下理解函数的通性，掌握这些详细对应法那么的性质。分段函数是重要的函数模型。

关于笼统函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法〔变量代换法〕解题。联络到详细的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。

5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。

三、典型例题

例1、已经明白f(x)?

分析：2x?3，函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11)的值。x?1f(?x)??1〔f(x)≠0〕。f(x)

篇三：数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试专业知识复习

一、复习要求

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑结合词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充沛条件，必要条件及充要条件的意义，会推断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

那么p“，逆否命题为〞假设非q那么非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为确实个数只能是偶数个。

5、充沛条件与必要条件

〔1〕定义：对命题“假设p那么q〞而言，当它是真命题时，p是q的充沛条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充沛条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

〔2〕在推断充沛条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充沛不用要条件，必要不充沛条件，充沛且必要条件，既不充沛又不用要条件。从集合角度看，假设记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，那么当A?B时，p是q的充沛条件。B?A时，p是q的充沛条件。A=B时，p是q的充要条件；

〔3〕当p和q互为充要时，表达了命题等价转换的思想。

二、学习指导

1、集合的概念：

〔1〕集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；〔2〕集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；〔3〕集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有明显规律的无限集，如N+={0，1，2，3，?}；②描绘法。

2、两类关系：

〔1〕元素与集合的关系，用?或?表示；

?〔2〕集合与集合的关系，用?，??，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A?B时，称

2

2

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其根本理论是近代数学最根本的内容之一。学会用集合的思想处置数学征询题。

三、典型例题

例1、已经明白集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

说明：实际上，从函数角度看，此题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{〔x，y〕|y=x+1，x∈R}是有实质差别的，后者是点集，表示抛物线y=x+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已经明白集合A={x|x-3x+2=0}，B+{x|x-mx+2=0}，且A∩B=B，务实数m范围。解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=B?B?A

依照集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}当B=φ时，△=m-8lt;0∴?22?m?22

2

2

2

2

2

2

2

A是B的真子集。

3、集合运算

〔1〕交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

〔2〕运算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕，CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。4、命题：

〔1〕命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；〔2〕复合命题的方式：p且q，p或q，非p；

〔3〕复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

〔3〕四种命题：记“假设q那么p〞为原命题，那么否命题为“假设非p那么非q〞，逆命题为“假设q

???0

当B={1}或{2}时，?，m无解

1?m?2?0或4?2m?2?0??1?2?m

当B={1，2}时，?

1?2?2?

充沛性：设a，b满足17a+4b=11∴b?

11?17a

4

代入?方程：ax?y?整理得：(y?

∴m=3

综上所述，m=3或?22?m?2

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素养的一个重要方面，如此题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已经明白x、y∈R，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：

假设xlt;1且ylt;1，由不等式同向相加的性质x+ylt;2与已经明白x+y≥2矛盾∴假设不成立

∴x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依照是：欲证“假设p那么q〞为真，先证“假设p那么非q〞为假，因在条件p下，q与非q是对立事件〔不能同时成立，但必有一个成立〕，因此当“假设p那么非q〞为假时，“假设p那么q〞一定为真。

例4、假设A是B的必要而不充沛条件，C是B的充要条件，D是C的充沛而不用要条件，推断D是A的什么条件。

解题思路分析：

利用“?〞、“?〞符号分析各命题之间的关系D?C?B?A

∴D?A，D是A的充沛不用要条件

说明：符号“?〞、“?〞具有传送性，不过前者是一方向的，后者是双方向的。例5、求直线?：ax-y+b=0通过两直线?1：2x-2y-3=0和?2：3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析：

从必要性着手，分充沛性和必要性两方面证明。?2x?2y?3?01711

由?得?1，?2交点P〔,〕

44?3x?5y?1?0

11?17a

?04

1117

)?a(x?)?044

11171711

?0,x??0的交点〔,〕4444

此方程说明，直线?恒过两直线y?而此点为?1与?2的交点∴充沛性得证∴综上所述，命题为真

说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“?〞，双向传输，同时证明充沛性及必要性；另一种是分别证明必要性及充沛性，从必要性着手，再检验充沛性。

四、同步练习

〔一〕选择题

1、设M={x|x+x+2=0}，a=lg(lg10)，那么{a}与M的关系是

?A、{a}=MB、M??{a}C、{a}?MD、M?{a}

2、已经明白全集U=R，A={x|x-a|lt;2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，那么a的取值范围是A、[0，2]B、〔-2，2〕C、〔0，2]D、〔0，2〕

3、已经明白集合M={x|x=a-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b-b，b∈R}，那么M，N的关系是

?A、M??NB、M?NC、M=ND、不确定4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素个数是

A、11B、10C、16D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15B、16C、31D、326、关于命题“正方形的四个内角相等〞，下面推断正确的选项A、所给命题为假B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真D、它的否命题为真7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的

A、充沛不用要条件B、必要不充沛条件C、充要条件D、既不充沛也不用要条件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3?+1，?∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是

2

2

2

∵?过点P∴a?

1711

??b?044

∴17a+4b=11

????A、S??B?AB、S=B?AC、S?B=AD、S?B=A

函数

一、复习要求

7、函数的定义及通性；2、函数性质的运用。

9、方程mx+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0lt;m≤1或mlt;0B、0lt;m≤1C、mlt;1D、m≤1

10、已经明白p：方程x+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，那么p是q的A、充沛不用要条件B、必要不充沛条件充要条件D、既不充沛又不用要条件〔二〕填空题11、已经明白M={m|

2

2

二、学习指导

1、函数的概念：

〔1〕映射：设非空数集A，B，假设对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，那么称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法那么，b=f(a)。假设A中不同元素的象也不同，那么称映射为单射，假设B中每一个元素都有原象与之对应，那么称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

〔2〕函数定义：函数确实是定义在非空数集A，B上的映射，如今称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法那么，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法那么决定了值域，是两个最根本的要素。逆过来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式〔组〕来实现的。要熟记根本初等函数的定义域，通过四那么运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不只要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法那么的要求。理解函数定义域，应严密联络对应法那么。函数定义域是研究函数性质的根底和前提。

函数对应法那么通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现方式。求已经明白类型函数解析式的方法是待定系数法，笼统函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见征询题，在初等数学范围内，直截了当法的途径有单调性，根本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围

m?4x?3

?Z}，N={x|?N}，那么M∩N=__________。22

12、在100个学生中，有乒乓球喜好者60人，排球喜好者65人，那么两者都喜好的人数最少是________人。

13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。

14、命题“假设ab=0，那么a、b中至少有一个为零〞的逆否命题为____________。

15、非空集合p满足以下两个条件：〔1〕p?〔2〕假设元素a∈p，那么6-a?{1，2，3，4，5}，

∈p，那么集合p个数是__________。〔三〕解答题

16、设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假设A∩B是单元素集合，求a取值范

围。

17、已经明白抛物线C：y=-x+mx-1，点M〔0，3〕，N〔3，0〕，求抛物线C与线段MN有两个不

同交点的充要条件。

18、设A={x|x+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假设A∩M=φ，A∩N=A，

求p、q的值。

19、已经明白a?x2?

2

2

内，用导数法求某些函数最值〔极值〕更加方便。

在中学数学的各个局部都存在着求取值范围这一典型征询题，它的一种典型处置方法确实是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

〔1〕奇偶性：函数定义域关于原点对称是推断函数奇偶性的必要条件，在利用定义推断时，应在化简解析式后进展，同时灵敏运用定义域的变形，如f(?x)?f(x)?0，≠0〕。

f(?x)

??1〔f(x)f(x)

12

，b=2-x，c=x-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。2

奇偶性的几何意义是两种特别的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化推断奇偶性的步骤。

〔2〕单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

推断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质〔实质上是不等式性质〕；④复合函数单调性推断法那么。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最爽朗的性质，它的运用主要表达在不等式方面，如比较大小，解笼统函数不等式等。

〔3〕周期性：周期性主要运用在三角函数及笼统函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：假设函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，那么T=2|a-b|。

〔4〕反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要推断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f(x)的性质与f(x)性质严密相连，如定义域、值域互换，具有一样的单调性等，把反函数f(x)的征询题化归为函数f(x)的征询题是处置反函数征询题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A，值域为C，那么f[f(x)]=x，x∈Af[f(x)]=x，x∈C8、函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充沛发挥图象的工具作用。

图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在详细的对应法那么下理解函数的通性，掌握这些详细对应法那么的性质。分段函数是重要的函数模型。

关于笼统函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法〔变量代换法〕解题。联络到详细的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。

5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。

-1-1

-1

-1

利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函数，从而化g(x)征询题为已经明白f(x)。∵y=f(x+1)∴x+1=f(y)∴x=f(y)-1

∴y=f(x+1)的反函数为y=f(x)-1即g(x)=f(x)-1∴g(11)=f(11)-1=

-1-1

-1

3

2

评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，假设b=f(a)，那么a=f(b)。

例2、设f(x)是定义在〔-∞，+∞〕上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1lt;x≤1时，f(x)=2x-1，求当1lt;x≤3时，函数f(x)的解析式。

解题思路分析：利用化归思想解题∵f(x)+f(x+2)=