（江苏专用）新高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 7.3 直线、平面垂直的判定与性质练习-人教高三数学试题

7.3直线、平面垂直的判定与性质1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n答案C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.2．(2019·天津模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是()A．若l∥m，则必有α∥β B．若l⊥m，则必有α⊥βC．若l⊥β，则必有α⊥β D．若α⊥β，则必有m⊥α答案C解析对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β.所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案B解析如图，取正三角形ABC的中心O，连结OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的体积为eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3)，所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，因为直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAO＝eq\f(π,3).4.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P－DBC是一个鳖臑，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑，故选C.6．(2020·苏州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段答案A解析如图，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BD1⊥平面ACB1，因为AP⊥BD1，所以AP⊂平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.故选A.7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．平面ACC1A1⊥CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案ABC解析对于A，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；对于B，连结AC，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACC1，则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45°，D错误．故选ABC.8．(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C．三棱锥B1－D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P答案ACD解析在A中，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝eq\f(π,2)，故B错误；在C中，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1－D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确．9．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.答案若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)解析若l⊥α，l⊥m，则m∥α，显然①③⇒②正确；若l⊥m，m∥α，则l∥α，l与α相交但不垂直都可以，故①②⇒③不正确；若l⊥α，m∥α，则l垂直于α内所有直线，在α内必存在与m平行的直线，所以可推出l⊥m，故②③⇒①正确．10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连结AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq\r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝eq\f(1,4)PB.(1)证明：MN∥平面PDC；(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．(1)证明因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD垂直平分线段AC.又∠ADC＝120°，所以MD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，AM＝eq\f(\r(3),2).所以AC＝eq\r(3).又AB＝BC＝eq\r(3)，所以△ABC是等边三角形，所以BM＝eq\f(3,2)，所以eq\f(BM,MD)＝3，又因为PN＝eq\f(1,4)PB，所以eq\f(BM,MD)＝eq\f(BN,NP)＝3，所以MN∥PD.又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(2)解因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.由(1)知MN∥PD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故∠DPM即为所求的角．在Rt△PAD中，PD＝2，所以sin∠DPM＝eq\f(DM,DP)＝eq\f(\f(1,2),2)＝eq\f(1,4)，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为eq\f(1,4).13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，HE，HF⊂平面EFH，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.14.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．(1)求证：FM∥平面BDE；(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．(1)证明取BD的中点O，连结OM，OE，因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OM∥CD，且OM＝eq\f(1,2)CD.因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，又EF∥AB，所以CD∥EF，又AB＝CD＝2EF，所以EF＝eq\f(1,2)CD，所以OM∥EF，且OM＝EF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以MF∥OE.又OE⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，所以MF∥平面BDE.(2)解由(1)得FM∥平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离．取AD的中点H，连结EH，BH，因为EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，所以EH⊥AD，BH⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，所以EH⊥平面ABCD，因为BH⊂平面ABCD，所以EH⊥BH，因为EH＝BH＝eq\r(3)，所以BE＝eq\r(6)，所以S△BDE＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(15),2).设点F到平面BDE的距离为h，连结DM，则S△BDM＝eq\f(1,2)S△BCD＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)×4＝eq\f(\r(3),2)，连结EM，由V三棱锥E－BDM＝V三棱锥M－BDE，得eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,3)×h×eq\f(\r(15),2)，解得h＝eq\f(\r(15),5)，即点F到平面BDE的距离为eq\f(\r(15),5).15．(2019·河北省衡水中学模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面α过点E，且与直线OC1垂直，若AB＝1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为________．答案eq\f(\r(6),4)解析如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，AB＝1，则OCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)＋OC2＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，OE2＝OA2＋AE2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，ECeq\o\al(2,1)＝A1Ceq\o\al(2,1)＋A1E2＝2＋eq\f(1,4)＝eq\f(9,4)，∴OCeq\o\al(2,1)＋OE2＝ECeq\o\al(2,1)，∴OE⊥OC1；又BD⊥平面ACC1A1，OC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥OC1，且OE∩BD＝O，∴OC1⊥平面BDE，且S△BDE＝eq\f(1,2)BD·OE＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)，即α截该正方体所得截面图形的面积为eq\