高二竞赛讲义单位根及其应用

数学高二数学竞赛班二试讲义第3讲单位根及其应用班级姓名一、知识点金1．记，其中为虚数单位，多项式有个互不相等的根，它们称为次单位根。易于看到，在复平面上，个次单位根对应的点恰是单位圆的内接正边形的顶点。2．次单位根的性质：（1）设和是整数，则的充分必要条件是（2）任意两个次单位根的乘积仍是一个次单位根；任意一个次单位根的倒数也是一个次单位根。（3）设是整数，，则恰给出全体次单位根。证明：因为，所以是模的一个完系3．因是的个不同的根，故有，又，所以（1）（2）4．的根为，（可设），有（1），（2），（3）5．设，如果能分解为中两个正次数的整系数多项式的积，则称在上可约（或可分解），否则称在上不可约。6．艾森斯坦判别法：设是一个整系数多项式，其中。若存在一个素数，使得，，但，则在上不可约（从而在上不可约）。二、例题分析例1．设及都是多项式，且=1\*GB3①证明：是和的公因式。例1．设是一个5次单位根（），在=1\*GB3①中取，得出，这意味着有四个不同的零点，从而再将代入=1\*GB3①，得于是是和的公因式。例2．设是正整数，证明：（1）（2）（3）例2．在二项展开式中，依次取（设），则相加得得在中从上到下各式分别乘以，求得从上到下各式分别乘以，求得例3．证明：不存在四个整系数多项式，使得恒等式成立。例3．设是三次单位虚根，则对任意整系数多项式有，为整数，于是由于总为偶数，故若存在形如的恒等式，以代人，即得，为偶数，矛盾！得证。例4．已知单位圆的内接正边形及圆周上一点，求证：。例4．证明：设，对应的复数是。又设对应的复数为，例5．（1）对怎样的正整数，有整除？（2）证明：若为正整数，是素数，则为的幂。例5．（1）记。有两个根，这里，当时，，，故在这种情形有同样可以证明，当时，有但当时，，故综上，当且仅当时，（2）反证法。若存在一个不是3的幂，使是素数，设，这里，时，；时，，我们有在（1）中取，，推出但是素数，故，，则，这与前面所设矛盾！例6．设都是正整数。若的（大）矩形可划分为若干个的矩形的并（小矩形与大矩形的边平行）。则中必有一个为的倍数，也必有一个为的倍数。例6．因的矩形可划分为若干个的矩形的并，因此，我们只有证明：若的（大）矩形可划分为若干个的矩形的并，则中必有一个为的倍数。（对称地，可证明关于的结论）。将大矩形放置于水平位置，并将个的单位正方形。我们在（由上至下）第行与（从左至右）第列交叉的的正方形中，放置，这里，而，。则所有数的和为。另一方面，设一个矩形是水平的，并设其最左边正方形放置的数为，则这个矩形中所放置的个数之和为由于的（大）矩形可划分为若干个的矩形的并，故上述所有数的和为0。从而，则或，这意味着或。例7．判别多项式与在上是否可约。例7．因显然没有一次因式，设，为整数，比较系数得到，故，进而得，这不可能，所以在上不可约。用待定系数法，或观察法得所以在上可约。例8．设是互不相同的整数，证明：多项式在上不可约。例8．设，的次数不小于1由，得，可知或，故因此多项式至少有个不同的零点，但与的次数不超过，故为恒等式，即，因的首项系数为1，这显然不可能。例9．设是素数，则在上不可约。例9．不能直接用艾森斯坦判别法，但满足，，但，运用艾森斯坦判别法，知在上不可约，从而在上不可约。三、同步检测1．求所有正整数，使得整除。1．参照例5的方法，2．证明：整除。2．用5次单位根，设是虚数，且，则，得证3．设，求被除得的余式。3．设，这里或。设是5次单位根，，且，则，则，而故是恒等式，即余式是常数54．设是复系数多项式，是正整数，如果，则。4．设，取是一个次单位根，有知，，故被整除。5．证明：。5．在二项展开式中，依次取（4次单位根），则相加得所以6．已知单位圆的内接正边形及圆周上一点，证明：（1）（2）6．（1）证明：设，对应的复数是。（2）证明：设，对应的复数是。（因为）7．设。求证：（1），。（2）。7．（1）在中取（二次单位根）即得（2）设在中依次取（设），则相加得，在中从上到下各式分别乘以，求得从上到下各式分别乘以，求得8．证明：在上不可约，则是素数。8．如不是素数，设，则所说的多项式可表示为，与在上不可约矛盾9．设是整系数多项式，次数为。若至少有个互不相同的整数，使为素数，则在上不可约。9．若，这里都是非常数的整系数多项式。记。由于不为常数，故与均至多有个根，从而至多有个整数使，也至多有个整数，使。因此至多有个整数使。类似地，至多有个整数使。然而，若整数使为素数，则或。因此至多有个不同的整数，使为素数，这与题设矛盾。因此，在上不可约。10．试求所有正整数，使得被整除。10．记是一个次单位根，则的所有根是，被整除的充分必要条件是因为，所以上述条件等价于是的零点，但不是的零点，即易知与互素。学好高中数学的方法和技巧包括：掌握基础知识。确保熟练掌握基本概念、公式和定理，特别是代数、几何、函数、导数和积分等重要知识点。重视预习和复习。在上课前预习教材，梳理知识点，对不理解的内容做好标记；课后及时复习，通过复习和整理笔记来加深理解。提高听课效率。在课堂上紧跟老师思路，积极参与讨论，做好笔记，记录重要的思路和方法。多做练习题。通过练习来巩固和运用所学知识，可以选择有代表性的题目进行练习，并尝试一题多解，培养解决问题的能力。整理和总结错题。准备一个错题本，记录自己在练习中遇到的难题和错误，定期回顾并分析错误的原因，从而避免在未来的考试和练习中重复犯错。学习和使用数学工具。学会使用计算器和