相似三角形的性质典型例题3-辅助线的作法

./相似三角形的性质--添加辅助线的方法二.与相似三角形有关的辅助线〔一主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线〔二其他辅助线的做法举例例1：已知：如图,△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．分析：欲证BC2＝2CD·AC,只需证．但因为结论中有"2",无法直接找到它们所在的相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似．由"2"所放的位置不同,证法也不同．证法一〔构造2CD：如图,在AC截取DE＝DC,∵BD⊥AC于D,∴BD是线段CE的垂直平分线,∴BC=BE,∴∠C=∠BEC,又∵AB＝AC,∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴,∴∴BC2＝2CD·AC．证法二〔构造2AC：如图,在CA的延长线上截取AE＝AC,连结BE,∵AB＝AC,∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=90°,又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°,∴∠E=∠DBC,∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2＝2CD·AC．证法三〔构造：如图,取BC的中点E,连结AE,则EC=．又∵AB=AC,∴AE⊥BC,∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．∴即．∴BC2＝2CD·AC．证法四〔构造：如图,取BC中点E,连结DE,则CE=．∵BD⊥AC,∴BE=EC=EB,∴∠EDC=∠C又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴△ABC∽△EDC．∴J即．∴BC2＝2CD·AC．说明：此题充分展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活,思路要开阔．例2．已知梯形中,,,是腰上的一点,连结〔1如果,,,求的度数；〔2设和四边形的面积分别为和,且,试求的值〔1设,则解法1 如图,延长、交于点,,,为的中点又,又为等边三角形故解法2 如图作分别交、于点、则,得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3 如图作交于,交的延长线于作,分别交、于点、则,得矩形,又,故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4 如图,作,交于,作,交于,得平行四边形,且读者可自行证得是等边三角形,故解法5 如图延长、交于点,作,分别交、于点、,得平行四边形可证得为的中点,则,故得为等边三角形,故解法6 如图〔补形法,读者可自行证明是等边三角形,得〔注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等〔2设,则解法1〔补形法如图补成平行四边形,连结,则设,则,由得,,解法2 〔补形法如图,延长、交于点,,,又设,则,,,解法3〔补形法如图连结,作交延长线于点连结则∽,故〔1,故〔2由〔1、〔2两式得 即解法4〔割补法如图连结与的中点并延长交延长线于点,如图,过、分别作高、,则且,,又,,故说明本题综合考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形.例3．如图4-1,已知平行四边ABCD中,E是AB的中点,,连E、F交AC于G．求AG：AC的值．解法1：延长FE交CB的延长线于H,∵四边形ABCD是平行四边形,∴,∴∠H=∠AFE,∠DAB=∠HBE又AE=EB,∴△AEF≌△BEH,即AF=BH,∵,∴,即．∵AD∥CH,∠AGF=∠CGH,∠AFG=∠BHE,∴△AFG∽△CGH．∴AG：GC=AF：CH,∴AG：GC=1：4,∴AG：AC=1：5．解法2：如图4—2,延长EF与CD的延长线交于M,由平行四边形ABCD可知,,即AB∥MC,∴AF：FD=AE：MD,AG：GC=AE：MC．∵,∴AF：FD=1：2,∴AE：MD=1：2．∵．∴AE：MC=1：4,即AG：GC=1：4,∴AG：AC=1：5例4、如图4—5,B为AC的中点,E为BD的中点,则AF：AE=___________.解析：取CF的中点G,连接BG．∵B为AC的中点,∴BG：AF=1：2,且BG∥AF,又E为BD的中点,∴F为DG的中点．∴EF：BG=1：2．故EF：AF=1：4,∴AF：AE=4：3．例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长．解法1：过O点作OM∥CB交AB于M,∵O是AC中点,OM∥CB,∴M是AB的中点,即,∴OM是△ABC的中位线,,且OM∥BC,∠EFB=∠EOM,∠EBF=∠EMO．∴△BEF∽△MOE,∴,即,∴.解法2：如图4-8,延长EO与AD交于点G,则可得△AOG≌△COF,∴AG=FC=b-BF,∵BF∥AG,∴．即,∵∴.解法3：延长EO与CD的延长线相交于N,则△BEF与△CNF的对应边成比例,即．解得.例6、已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线．求证：．分析1比例线段常由平行线而产生,因而研究比例线段问题,常应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平分线,这里不存在平行线,于是可考虑过定点作某定直线的平行线,添加了这样的辅助线后,就可以利用平行关系找出相应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去探求问题的解决．证法1：如图4—9,过C点作CE∥AD,交BA的延长线于E．在△BCE中,∵DA∥CE,∴①又∵CE∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,且AD平分∠BAC,∵∠1=∠2,于是∠3=∠4,∴AC=AE．代入②式得．分析2由于BD、CD是点D分BC而得,故可过分点D作平行线．证法2：如图4—10,过D作DE∥AC交AB于E,则∠2=∠3．∵∠1=∠2,∴∠1=∠3．于是EA=ED．又∵,∴,∴.分析3欲证式子左边为AB：AC,而AB、AC不在同一直线上,又不平行,故考虑将AB转移到与AC平行的位置．证法3：如图4—11,过B作BE∥AC,交AD的延长线于E,则∠2=∠E．∵∠1=∠2,∴∠1=∠E,AB