方程的根与函数的零点

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方程的根与函数的零点冷水江一中杨玉林引入课题思考

一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？引入课题方程有两个实数根：

观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象．函数与x轴有两个交点：引入课题

观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象．方程有两个相等的实数根：函数与x轴有一个交点：

观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象．引入课题方程函数与x轴：无实根无交点无交点

上述关系对一般的一元二次方程及其相对应的二次函数也成立．得出结论

一元二次方程的根与二次函数的图象的关系：

判别式方程的根图象与x轴的交点无实数根无交点方程和函数关系

对于函数y=f,我们把使f=0的实数根叫做函数y=f的零点eropoint方程f=0有实数根函数y=f的图象与轴有交点函数y=f有零点

二次函数的图象与轴的交点和相应的一元二次方程根的关系，可以推广到一般情形．为此，先给出函数零点的概念．方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点

一般地，对于不能用公式法求根的方程来说，我们可以将它与函数联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．函数零点概念

由此可知，求方程的实数根，就是确定函数的零点，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标．

观察二次函数的图象，能发现函数在区间上有零点，计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？零点

函数在内有零点，它是方程的一个根．探究判断函数零点在区间上是否具有这种特点呢？零点

函数在内有零点，它是方程的一个根．探究判断函数零点

我们能从二次函数的图象看到零点的性质：1．二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（非二重零点），函数值变号．2．相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立．函数零点性质

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根．

注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。函数零点性质函数零点性质

观察下面区间上的函数图象的简图，你能发现什么？xxxx1函数y＝f（）的方程的图象在区间（a，b）上必须是连续曲线，才能用上述方法判定．我们所研究的大部分函数，其图象都是连续曲线．2在区间（a，b）内，当f（a）·f（b）＞0时，并不能判定方程f（）＝0没有解．

（）＝0解的存在，即至少有一解，但不能判断具体解的个数．函数零点性质说明例1求函数的零点个数．典型例题例1求函数的零点个数．解：列表x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972描点作图由图可知，，即

说明这个函数在区间（2，3）内有零点．

由于函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点．

你能给出这个函数是增函数的证明吗？典型例题

判断函数零点个数的一般步骤：1．用计算器或计算机列出、f（）的对应值表；2．用描点法作出函数的图象；3．取区间，判断fa·fb

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