复合型法-罚函数法

工程中的大量优化设计问题，都是约束优化问题，它的一般数学模型为：

求解这类问题的方法称约束优化方法，最优点X*称为约束最优点。。约束优化算法大致可归纳为两大类：●直接解法●间接解法（2-59）

约束优化方法复合形法是适用于具有不等式约束优化问题的一种直接算法。

该法的基本思路是：在n

维优化设计空间的可行域D内，构造具有k

个顶点的多边形(或多面体)，称作复合形。复合形的每个顶点都代表一个设计方案。然后，计算复合形各顶点的目标函数值并逐一进行比较，取函数值最大者为最坏点，最小者为最好点。再以去掉最坏点的其余各点的中心点为映射轴心，在最坏点和其余各点的中心点的连线上，寻找一个既满足约束条件，又使目标函数值有所改善的坏点映射点，并以该映射点替换坏点而构成新的复合形。

按照上述步骤重复多次，不断地去掉最坏点，这样不断调整复合形的顶点，使复合形不断向最优点靠拢，最后搜索到约束优化问题的最优解。一、复合形法1.复合形顶点数K的选择

小取大值,

大取小值建议:2)为避免降维,K应取大些;但过大,计算量也大.

1)为保证迭代点能逼近极小点,应使二、初始复合形的产生对于二维问题，复合形法的搜索原理，如图2-33所示。图2-33

复合形法原理

映射轴心坏点映射点

所以，复合形法的迭代过程实际就是通过对复合形各顶点的函数值计算与比较，反复进行点的映射与复合形的收缩，使之逐步逼近约束问题最优解的。（2-60）根据上述复合形法的基本思想，对于求解的优化问题时，采用复合形法来求解，需分两步进行：

第一步是在设计空间的可行域

内产生k个初始顶点构成一个不规则的多面体，即生成初始复合形。一般取复合形顶点数为：。

第二步进行该复合形的调优迭代计算。通过对各顶点函数值大小的比较，判断下降方向，不断用新的可行好点取代坏点，构成新的复合形，使它逐步向约束最优点移动、收缩和逼近，直到满足一定的收敛精度为止。1.初始复合形的生成

通常，初始复合形的生成方法主要采用如下两种方法：生成初始复合形，实际就是要确定k个可行点作为初始复合形的顶点。

(1)人为给定k个初始顶点

可由设计者预先选择k个设计方案，即人工构造一个初始复合形。k个顶点都必须满足所有的约束条件。

(2)给定一个初始顶点，随机产生其它顶点

在高维且多约束情况下，一般是人为地确定一个初始可形点

，其余个顶点可用随机法产生，即(2-61)式中，——复合形顶点的标号；

——设计变量的标号，表示点的坐标分量；

——设计变量的解域或上下界；

——[0，1]区间内服从均匀分布伪随机数。

用上述方法随机产生的k-1个顶点，虽然可以满足设计变量的边界约束条件，但不一定是可行点，所以还必须逐个检查其可行性，并使其成为可行点。

设已有q(1≤q≤k)个顶点满足全部约束条件，第q+1点X(q+1)不是可行点，则先求出q个顶点的中心点(2-62)然后将不满足约束条件的点向中心点

靠拢，即(2-63)

若新得到的仍在可行域外，则重复上式(2-63)进行调整，直到点成为可行点为止。

然后，同样处理其余诸点，使其全部进入可行域内，从而构成一个所有顶点均在可行域内的初始复合形。

这个新点X(q+1)实际就是X(s)与原X(q+1)两点连线的中点，如图。若新的X(q+1)点仍为非可行点，按上式再产生X(q+1)，使它更向X(s)靠拢，最终使其成为可行点。

按照这个方法，同样使X(q+2)、X(q+3)、……X(K)都变为可行点，这K个点就构成了初始复合形。2.复合形法的调优迭代

初始复合形生成后，其调优迭代计算按下述步骤进行：(1)计算初始复合形各顶点的函数值，选出好点、坏点、次坏点：

(2)计算除坏点X(H)外其余k-1个顶点的几何中心点(映射轴心）：

并检验映射轴心X(S)点是否在可行域内。如果X(S)是可行点，则执行下步(3)

；否则转第(4)步。

(3)沿X(H)

和X(S)

连线方向求映射点X(R)：

(2-64)

式中，称映射系数，通常取。然后，检验X(R)可行性，若为非可行点，将减半，重新计算，直到成为可行点。

(次坏点)X(R)X(R)X(R)

(4)若X(S)在可行域外（非可行点），此时D可能是非凸集，如图2-34所示。此时利用映射轴心X(S)和X(L)重新确定一个区间，在此区间内重新随机产生k个顶点构成复合形。图2-34可行域为非凸集

重新构成复合形后，重复第(1)、(2)步，直到成为可行点为止。

(2-66)若

则取

(2-65)新的区间如图中虚线所示：其边界值若则取

始终取小

(5)计算映射点的目标函数值f(X(R))，若f(X(R))<f(X(H))，则用映射点替换坏点，构成新的复合形，完成一次调优迭代计算，并转向第(1)步；否则继续下一步。

(6)若f(X(R))>f(X(H))，则将映射系数α减半，重新计算映射点。如果新的映射点X(R)既为可行点，又满足f(X(R))<f(X(H))，即代替X(H)，完成本次迭代；否则继续将α减半，直到当α值减到小于预先给定的一个很小正数

(例如)时，仍不能使映射点优于坏点，则说明该映射方向不利，应改用次坏点X(G)替换坏点再行映射。(7)进行收敛判断。

若满足

时可结束迭代计算。此时复合形中目标函数值最小的顶点即为该约束优化问题的最优点。为复合形所有顶点的点集中心，即(2-67)(2-68)

复合形法的迭代计算框图，如图2-35所示。图2-35复合形法的计算框图

惩罚函数法是一种用来求解约束优化问题的间接解法。

该算法的基本思想是：将约束优化问题的数学模型改造成为无约束的数学模型，然后按无约束问题进行一系列的无约束最优化求解，直到求得原问题的最优解。●

内点惩罚函数法（内点法）●外点惩罚函数法（外点法）●混合惩罚函数法（混合法）二、惩罚函数法根据所构造的目标函数的形式不同，决定了搜索点是在可行域内、或在可行域外，因而该算法又分为如下三种：——惩罚项——惩罚因子惩罚函数一系列则构造的新目标函数为：式中：为惩罚因子，它是一递减正数序列，即其中，c为递减系数，0<c<1；为以gu(X)为函数的复合函数，或称与不等式约束有关的惩罚项。

1.内点惩罚函数法（内点法）

内点罚函数法适合于求解不等式约束优化问题，即:

对于内点罚函数法，求解过程要求保证：

(1)初始点和所求得的序列最优点

，都应是可行点；

(2)求解到最后，序列最优点应逼近最优点X*。总的来说，内点法的迭代过程始终限制在可行域内，所求得的系列无约束优化问题的优化解总是可行解，是从可行域内部逐渐逼近原约束优化问题的最优解。由于等式约束优化问题不存在可行域空间，不适用。在求解过程中，针对不同的

，就有一个与之对应的极小值点，随着

的减小，使求得的也逐步向原问题的最优点逼近。所以该方法也称为“序列无约束极小化”方法。然后对新目标函数按无约束问题求解，即围墙函数(3)构造惩罚函数

(4)求解无约束优化问题，得；

(5)进行收敛判断，若满足或则令，停止迭代计算，输出最优解；否则转下步；

(6)取，以作为新的初始点，置转步骤(3)继续迭代。

内点罚函数法的迭代步骤如下：

(1)在可行域内确定一个初始点；（最好不要邻近任何约束边界）

(2)给定初始罚因子、惩罚因子递减系数C和收敛精度ε；置k=0；

内点法的程序框图，见图2-36。

图2-36内点法程序框图

在内点法中，初始罚因子的选择很重要。根据经验，一般可取=1~50，但多数情况是取=1。也有建议按初始惩罚项作用与初始目标函数作用相近原则来确定值，即

递减系数C一般取为：C=0.1～0.5，常取0.1。

例2-1

试用内点罚函数法求解如下优化问题：解：此题的标准解为：。根据内点法的基本思想，首先构造罚函数，按式（2-71）可写出：可以看出由两部分组成，即，其中：内点法例题即：是原目标函数，为一直线；

是一族倒数曲线，当。对求导并令其一阶导数为零，即可求得其无约束极值点：：惩罚函数值为：当选用不同的惩罚因子时，可得到不同的极值点及Φ曲线。取递减数列，由上式可得序列如下：

上图表示出取值不同时所得到的约束最优点逐步逼近原问题最优点的情形。

由上图可以看出，当惩罚因子为一个递减数列时，无约束极值点

离约束最优解愈来愈近，当即得到了真正的约束最优解。此时，罚函数也收敛于原目标函数的最优值，即

外点罚函数法适用于具有等式和不等式约束优化问题。

该算法搜索策略与内点罚函数法相似，不同点是将惩罚函数的定义在可行域的外部，从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题的最优解。对于不等式约束问题：取外点罚函数的形式为其惩罚项的含义如下：(2-73)

上式说明，当X是可行点时，惩罚项为零。也就是说当极小化惩罚函数时，X由不可行点迭代成可行点，此时，惩罚函数

将与原目标函数

等价。此时惩罚函数的最优可行点，也将是原目标函数的最优点。2.外点罚函数法（X是可行点，可行域内）（X是非可行点）外点罚函数中的罚因子是一递增数列，即

对于等式约束的优化问题，取外点罚函数的形式为对于同时具有不等式和等式约束问题，其罚函数的表达式为(2-75)

(2-74)

在外点罚函数法中，为保证罚因子

为递增数列，取式中:c'为递增系数，c'>1。外点罚函数的程序计算框图，见图2-37。

外点罚函数法的迭代步骤与内点法基本相同。图2-37外点法的程序框图

例题看书p75

混合罚函数法是将内点法和外点法的罚函数形式结合起来，解决同时具有等式和不等式约束的问题。其罚函数的表达式为(2-76)式中，为递减的正数序列；为递增的正数序列。

也可将两个惩罚因子加以合并，取和，得以下常用的混合罚函数：

(2-77)

式中，为一递减的正数序列。

可见，混合法与外点法一样，可用来求解既含不等式约束又含等式约束的约束优化问题。

3.

混合罚函数法

在工程优化设计问题中，如果优化模型中的目标函数仅涉及一项设计指标，称为单目标优化问题；如果涉及两项及两项以上多个设计指标，则称为多目标优化问题。

例如在图2-41所示的港口门座式起重机变幅机构的优化设计中，希望在四杆机构变幅行程中能达到的几项要求有：

(1)象鼻梁E点落差△y尽可能小(要求E点走水平直线)；

(2)E点位移速度的波动△v尽可能小(要求E点的水平分速度的变化最小，以减小货物的晃动)；

(3)变幅中驱动臂架的力矩变化量△M尽可能小(即货物对支点A所引起的倾覆力矩差要尽量小)。图2-41门座式起重机变幅四杆机构2.6多目标优化方法

这种在优化设计中，同时要求几项设计指标达到最优值的问题，就是多目标优化设计问题。多目标优化设计问题的数学模型的一般表达式为：式中：，是q维目标向量（q个目标函数）。

在单目标函数的最优化过程中，可通过简单比较函数值的大小的方法去寻优，获得优化问题的最优设计方案。(2-78)

而在多目标函数的最优化过程中，要使几项分目标函数同时都达到最优，一般是比较难以实现的。因此多目标问题的优化远比单目标函数的最优化要复杂得多。在多目标优化方法中，较常用的方法有：通常，在多目标问题求优过程中，当各分目标函数的优化出现不一致时,一般是在各分目标的最优值之间进行协调，相互作出一些适当的修正，以取得一个对各分目标函数都能接受又比较好的最佳方案。这是多目标优化问题常用的处理方法。

加权组合法功效系数法主要目标法等。

加权组合法的基本思想是：将多目标问题的各项分目标函数按下式组合成统一的目标函数：(2-79)

和以下约束优化问题：

(2-80)

以此问题的最优解作为原多目标优化问题的一个相对最优解。这种求解多目标优化问题的方法就是线性加权组合法。

为加权因子，是一个大于零的正数，其值决定于各项分目标的重要程度及其数量级大小。一、加权组合法

若取，则称均匀计权，表示各项分目标同等重要。否则，可以用规格化加权处理，即取（2-81）以表示各分目标在该项优化设计中所占的相对重要程度。

在加权组合法中，加权因子选择得合理与否，将直接影响优化设计的结果。目前，较为实用的加权方法有：（１）容限加权法设已知各分目标函数值的变动范围为则称为各目标容限。取加权因子为：（2-82）

（2-83）（2-84）这样选择加权因子将起到平衡各目标数量级的作用。（２）分析加权法

为能兼顾各项分目标的重要程度及其数量级的影响，可将加权内容包括本征权和校正权两部分，即各分目标的可由两个因子的乘积组成，即式中：本征权的加权因子反映各项分评价指标的重要性；

校正权的加权因子用于调整各目标在数量级上差别的影响，并在优化设计过程中起逐步加以校正的作用。该校征权因子值可取：(2-85)(2-86)

即目标函数的灵敏度越大，则值越大，则相应的校正权因子值取值小，否则，校正权因子值要求大一点，使各分目标函数一起变化。

首先将每个分目标函数都用一个称为功效系数表示该项设计指标的好坏，该功效系数

是定义于间的函数。

总功效系数η值表示该设计方案的优劣。因此，最优设计方案应是：功效系数法的基本思想是：

在将每项分目标化为相应的功效系数后，则总功效系数η是各分项功效系数的几何平均值，即（2-87）

二、功效系数法当时，表示第j个目标的效果达到最好；反之，当时，表示它的效果很差，实际这个方案不能接受。

这样，当

时，表示多目标优化问题取得最理想的设计方案；反之，当

时，则表示该设计方案是不能接受的，这时必有某项分目标函数的功效系数。其中，图(a):表示与值成正比的功效系数函数；图(b):表示与值成反比的功效系数函数；图(c):表示与值过大或过小都不行的功效系数函数。由上图可知，功效系数函数

为一直线函数。当知某一目标函数值时就可得到相应于它的功效系数函数值。图2-42功效系数的函数曲线

图2-4