新教材人教A版高中数学必修第二册复数的概念 同步讲义

16、复数的概念

【考点分析】

考点一：虚数单位的概念

虚数单位：i,规定『=一1,则『=产.’.=一1"=7,J=GF=(τ)2=],j5=j4.j=,∙

所以虚数单位i是以4为周期循环的。

考点二：复数的引入

对于方程/+2x+2=0,由于A=∕-44c=4-8=-4,所以方程在实数范围内无解，若

_2+y∣4i2_2+2/

引入一个新的数i，使得/=—1,则此方程的解可写成玉=——γ一=—―=-l+z,

-2-.

X-,-------------=—1—z

-2

考点三：复数的定义

①我们把形如z=α+勿•(”、6∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足『=-1。

其中”和〃分别叫做复数Z的实部与虚部。

②全体复数构成的集合叫做复数集，用。来表示，复数集包含实数集和虚数集。

(2=0

③z=α+初为实数=/?=0,z=α+机为虚数=b≠0,z=α+6为纯虚数O<

b≠0

④虚数不能比较大小，但不等说复数不等比较大小，因为复数集包含实数集和虚数集。

考点四：复数相等的充要条件

设a、b、c、d都是实数，那么"+历=c+di<⅛/=C且6=d.

考点五：复数的几何意义

①复平面的概念：用平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中X轴叫做实轴，y

轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

②复数的几何意义

1.复数与复平面内的点是一一对应关系.

2.复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.

如图，在复平面内，复数z=α+bi(36CR)可以用点Z(a,份或向量反表示.

③复数的模：复数z=a+6i(a、6∈R)对应的向量为OZ,则。Z的模叫做复数Z的模，记作

IZl且∣z∣=∕1ΨP.

复数模的几何意义就是复数z=α+历所对应的点Z(a,6)到原点(0,0)的距离.

【题型目录】

题型一：复数的相关概念

题型二：复数的几何意义

题型三：两个复数相等

题型四：复平面的概念

【典型例题】

题型一：复数的相关概念

【例1】若。，⅛∈R,则"复数z=α+沉为纯虚数(i是虚数单位)"是“五0”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】复数z=4+加为纯虚数，即α=0,⅛⅛≠0,判断其与bHO的推断关系.

【详解】复数z=a+bi为纯虚数，等价于α=O,旦力HO,

4=0,且bwθ可推出方wθ,但方wθ,不一定得到α=0,且AHO,

所以“复数z=a+历为纯虚数”是“b力0”的充分不必要条件.

【例2】己知复数Z满足z=(∕—9)+(α+3)i(αwR),若Z为纯虚数，则。=()

A.-3B.±3C.3D.0

【答案】C

【分析】根据纯虚数的定义列关系式求〃即可.

【详解】因为z=(∕-9)+(a+3)i("vR)为纯虚数，所以a?-9=0且α+3≠0,所以a=3.

【例3】已知复数Z=加2—6+。/-3加一10)匚当实数切为何值时，复数Z为

(1)实数；(2)纯虚数；(3)零.

【解析】(I)Z为实数的充要条件是Z的虚部为0,即

nr—3m—10=0>解得团=-2或//=5，

所以当加=-2或m=5时，Z为实数.

(2)Z为纯虚数的充要条件是Z的虚部不为0,而实部为0,即

m2-m—6-O

解得加=3，

in1-3m-10≠0

所以当m=3时，Z为纯虚数.

(3)z为零的充要条件是Z的实部与虚部同时为零，即

m~2-m-bH=八O

，解得An=—2,

m2-3∕n-10=0

所以当An=—2时，Z=O.

【例4】在复平面内，复数z=("z+2)+(,/一加一2》对应的点在第一象限，则实数机的取

值范围为—.

【解析】解：因为复数Z=(w+2)+(m2-∕M-2)，.对应的点在第一象限，

-可rz得α：｛(m,+2>0，

(.m2—m—2>0

解得：wι∈(-2>-1)U(2,+co).

故答案为：(-2,-1)U(2,+∞).

【例5】下列命题中，不正确的是()

A.1-αi(q∈R)是一个复数B.形如“+6i(bwR)的数一定是虚数

C.两个复数一定不能比较大小D.若a>b,则a+i>Z?+i

【答案】BCD

【分析】根据复数的概念逐项分析即得.

【详解】由复数的定义可知A命题正确；

形如α+Ai(b∈R)的数，当b=0时，它不是虚数，故B命题错误；

若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误：

两个虚数不能比较大小，故D命题错误.

【例6】若复数，"-4+"-16)i≥0,贝IJ实数机的值为.

【答案】4

"τ-4≥0

【分析】由大小关系知ɔ必八求解即可.

∕n^-16=0

fn-4≥0

【详解】由题意1~八，可得根=4.

m2--16=0

【题型专练】

1.下列说法中正确的有()

A.若aeR,则(α+l)i是纯虚数

B.若V7+(χ2+3χ+2)i是纯虚数，则实数χ=±l

C.若4≤0,贝∣Jz=ɑ2-∕√+("+∣ɑ∣)i(α,beR)为实数

D.若α,i>∈R,且α>b,jjɪljfoi2>ai2

【答案】CD

【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，当a=-1,可得的m+l)i=O不是纯虚数，故A错误;

对于B中，当X=-I,可得d+3χ+2=O,止匕时χ2-l+(f+3χ+2)i=O不是纯虚数，所以B

错误；

对于C中，当α≤0时，可得向+α=O,所以z=“2—从为实数，所以C正确；

对于D中，由j2=_],且α>°,所以〃2>出2,所以D正确.

2.(多选)下列说法错误的是()

A.复数”+所不是纯虚数

B.若x=l,则复数z=(∕-l)+(x+l)i是纯虚数

C.若(f-4)+(Y+3χ+2)i是纯虚数，则实数χ=±2

D.若复数z=α+6i,则当且仅当。HO时，Z为虚数

【答案】ACD

【分析】根据复数z=α+Ai(4,beR)当且仅当QO时为实数、底O时为虚数，

当且仅当bH0旦。=0时为纯虚数判断即可.

【详解】α=O∕xO时，复数α+万是纯虚数，A错误；

当x=l时，复数z=2i是纯虚数，B正确；

(•一4)+(f+3x+2)i是纯虚数,则；一「C八即x=2,C错误；

V'V7[X2+3X+2≠0

复数z=α+例,α,b未注明为实数，D错误.

3.下列四种说法中正确的有()

A.复数Z=2-2i是纯虚数

B.复数l-2i中，实部为1,虚部为-2i

C.复数Z的共轨复数为2,则ZeR的一个充要条件是z=5

D.i+i2+i3+i4=0D为虚数单位)

【答案】CD

【分析】根据纯虚数的概念，可判断A的正误；根据实部虚部的概念，可判断B的正误；根

据充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据复数的性质，可判断D的正误，即可得答

案.

【详解】对于A：复数Z=2-2，•的实部为2,故不是纯虚数，故A错误：

对于B：复数1-2i中，实部为1,虚部为-2,故B错误；

对于C：设z=α+6i,则z=α-i>i,

若zeR,则虚部为匕=0,此时z=2,充分性成立，

z=z,则α+⅛i=α-6i,则3=0,此时z∈R,必要性成立，

所以ZWR的一个充要条件是z=5,故C正确；

对于D：因为j2=T,所以i+i2+i3+j4=i-l-i+l=0,故D正确.

4.对于复数α+bi（。，bGR）,下列说法正确的是（）

A.若α=O,则α+Ai为纯虚数B.若α+S-l）i=3-2i,则。=3,b=-l

C.若6=0,则α+bi为实数D.i的平方等于1

【答案】BC

【分析】根据复数的相关概念判断即可；

【详解】解：对于A,当α=b=OB寸，4+万=0为实数，故A错误；

Ia=3fα=3

对于B,若a+g—l）i=3—2i,则C解得，，，故B正确；

∖b-∖=-2矽=_]

对于C,若6=0,则α+洌=a为实数，故C正确；

对于D,i的平方为T,故D错误.

5.已知复数Z=尤二叱9+（〃/+2加一15）i,当沈为何实数时，复数Z是：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在实轴的上方.

rrr+2/77-15=0

【解析】⑴若复数Z为实数，则《，解得加=—5或3；

m+3≠0

m2+2m-15≠0

（2）若复数Z为虚数，则〈,解得〃2。-5且加。±3；

/n÷3≠0

（3）若复数Z为纯虚数，则jm+3，解得加=一2；

∕n2+2/71-15≠0

m2+2m-15>0

（4）若复数Z在复平面内对应的点位于宏轴的上方，则《,解得“<一5或

m+3≠0

m>3∙

6.已知i为虚数单位,下列命题中正确的是（）

A.虚数的平方不小于OB.T的平方根只有一个,即为i

C.i是方程>?_[=0的一个根D.J云的虚部是i

【答案】C

由i?=T<0知A错误；由T也是一1的平方根知B错误；由i4=（i2）2=（-1）2=1知C正确；

由√2∕的虚部是立知D错误.故选:C.

7.设αeR,则“"=「’是“复数（4f（α+2）+i为纯虚数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的

概念解题，即可得到结果.

【详解】当a=l时，复数(a-l)(α+2)+i=i,为纯虚数；

当复数(αT)(α+2)+i为纯虚数时，有

(«-1)(«+2)=0,得α=l或α=-2.

所以“a=l”是“复数(α-l)(α+2)+i为纯虚数”的充分非必要条件.

题型二：复数的几何意义

【例1】在平行四边形ABC。中，对角线AC与B力相交于点0,若向量后,而对应的复数

分别是1-i,-l+2i,则向量CB对应的复数是.

；向量后,而对应的复数分别是1-1+2/,

：.0A=(1,-1),0⅛=(-l,2),

则扇=A-O⅛=(2,-3),CD=(2,-3).

则向量CB对应的复数是2-3i.

→TT

【例2】在复平面内，复数z=2i对应的点为Z,将向量OZ绕原点。按逆时针方向旋转了所

得向量对应的复数是—.

→Tl

【解析】解：复数z=2i对应的点为Z,将向量OZ绕原点。按逆时针方向旋转J

TrTr1-^3

所得复数为2i(cos-+isin-)=2/(-÷—I)=—√3÷z.

3322

【例3】设复数Z满足Iz—3=2,z在复平面内对应的点为M(a,b),则M不可能为()

ASB.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

【答案】D

【解析】设Z=Q+初，

因为∣z-31=2,

所以3-3)2+/=4,

经验证"(4,1)不满足.

【例4】设复数Z满足IZ-II=IZ-i∣(i为虚数单位)，Z在复平面内对应的点为(X,J),则

()

A.y=τB.y=χ

C.(Λ-l)2+(γ-l)2=1D.(%+l)2+(y+l)2=l

【答案】B

［解析］设Z=X+yi(x,y∈R),V∣z-l∣=∣z-i∣,Λ∣x+γz-l∣=∣x+yz-z∣,

即(x—l)2+y2=/+(,_］)2,化简得y=χ.

【例5】复数z=3+αi满足条件∣z-2∣<2,则实数。的取值范围是().

A.(-1,1)B.(-2^,2√2)C.(-2,2)D.(―G)

【答案】D

【解析】：z=3+gi满足条件∣z-2∣<2,.∙∙∣l+αi∣<2,即JpTΣr<2,

平方可得/<3,解得—6<α<6∙.

【例6】已知复数Z=COS6+i∙sin6,现有如下说法：①IZl=1；②复数Z的实部为正数；③复

数Z的虚部为正数.则正确说法的个数为().

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】命题①按照复数模的计算法则结合同角三角函数的运算进行计算即可；命题②③按

照复数实部和虚部的定义，结合象限角三角函数值的正负进行判断即可.

【详解】依题意，∣z∣=√cos26+sin26=l,故①正确；

复数Z的实部为cos6,为正数，故②正确；

复数Z的虚部为sin6,为负数，故③错误.

【题型专练】

1.如图所示，平行四边形OABC,顶点0,A,C分别表示0,3+2i,—2+4/,试求:

(1)AO,BC所表示的复数；

(2)对角线C4所表示的复数;

(3)8点对应的复数.

【解析】(I)AO-OA>所以40所表示的复数为一3-2上

因为BC=A0，所以BC所表示的复数为-3一2/：

(2)CA^OA-OC>所以CA所表示的复数为(3+2i)-(—2+4i)=5-2i.

(3)OB=0A+OC'所以。B所衣示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,

即8点对应的复数为l+6i.

2.设复数Z满足∣z-i∣=l,Z在复平面内对应的点为(x,y),贝!]

A.(x+l)2+y2=1B.(x-l)2+y2=1C.x2+(y-l)2=1

D.%2+(y+l)2=1

【答案】C

2

[解析】由题可得Z=X+yi,z-i=x+(y-l)i,∣z-i∣=5∕√+(y-l)=1,则

%2+(ʃ-l)2=1.

3.已知复数z∣=α+2i,z2=-2+i,如果∣z∣∣<∣Z2∣,那么实数”的取值范围是.

【答案】(T,l)

22

IZJ=Ja2+4,∣z2∣=λ∕(-2)+1=y∣5,

又因为团<闫，所以Gn<石，解得T<α<L

4.设i为虚数单位，复数Z=COSe+isin6(0eR),则|z-1|的最大值为.

【答案】2

【分析】求出模长，利用三角函数的有界性可得答案.

【详解】Z=CoSe+isin6(e∈R),

则IZ-Il=ICoS6-1+isinM=J(CoSe-I)'+sin'6

=√2-2cos6>≤√4=2,则IZ-Il的最大值为2.

5.在复平面内，复数3+4i与5+6i所对应的向量分别是OA和。8,其中。是原点，则向量AB

对应的复数为()

A.8+IOiB.8-10iC.-2+2iD.2+2i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义即可求解.

【详解】解：因为复数3+4i与5+6i所对应的向量分别是和0方，其中。是原点，

所以OA=(3,4),OB=(5,6),

ULUIIlUUU

所以A8=O8-QA=(2,2),

所以AB对应的复数为2+2i,

6.己知复数z∣=3+i,Z2=-l+2i,Z3在复平面上对应的点分别为A,B,C,若四边形OABC

为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数Zs的模为()

A.√Γ7B.17C.√∣5D.15

【答案】A

【分析】令Z3=α+bi,结合已知有OA=OB-OC，列方程求参数a、b,进而求复数的模.

【详解】若Z3=α+历，则OC=(α⑼，而。4=(3,1),OB=(-1,2),

由四边形04BC为平行四边形(。为复平面的坐标原点)，

[-a-∖=3Ftz=—4

所以OA=CB=OB-OC=(-1—〃,2-勿，即L,贝叫，1,

∖2-bj=∖I[0=]

所以IZ31=∖∣cι2+⅛2=VL7.

题型三：两个复数相等

【例D已知χ(g-j=ι-yi,其中X,y是实数，i是虚数单位，则()

A.x=2,y=-iB.X=2,y=I

C.x=-2,y=lD.x=-2,y=-}

【答案】B

【分析】根据复数相等的定义求解参数％、y的值即可.

【详解】由题意得5-至二1一孤,

所以；2^，得∖xE=2

【例2】设(2-i)a=[-g+2i卜，其中α,b为实数，则()

A.a=-2,b-∖B.a=2,h=-∖C.a=l,b=-2D.a=-1,b-2

【答案】A

【分析】化简(2-i)4=卜：+2i卜可得24-0i=-4+2⅛i,然后利用“实对实，虚对虚”即可求

解.

【详解】因为(2-i)α=(-*+2i},

所以2fl-4i=T+2Z>i,

故《r,解得α=-2,h=∖.

[-α=2θb

【例3】若",人wR,i是虚数单位，a+2021i=2-⅛i,则/+i(i等于()

A.2021+2iB.2021+4iC.2+2021iD.4-2021i

【答案】D

【分析】根据复数相等可得α=2,/=2021,进而即得.

【详解】因为α+2021i=2-6i,

所以4=2,—b=2021,即4=2,b=—2021.

所以/+例=4-202匕.

【题型专练】

1.己知复数(l+T)i=2-yi,x,yeR,则x-y=()

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】C

【分析】利用复数相等的充要条件，求出x、y,进而求出χ-y.

[详解】(l+xi)i=2->i,.∙.-x+i=2->d,

fx=-2._

，..ʃ=­1.

U=T

2.实数x,y满足条件:(χ+y)+(y-l)i=y+(2y+l)i,(其中为i虚数单位)，则χ+y=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】A

【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解

【详解】因为(x+y)+(y-l)i=y+(2y+l)i,

χ+y=yX=O

所以,解得

y-∖=2y+1y=-2

所以x+y=-2,

3.若实数％y满足χ+W=-ι+(χ-y)i,则-=.

【答案】T#0.5

【分析】根据复数相等充要条件，列出方程组，求得χ,y的值，即可求解.

fx=-111

【详解】因为X+W=T+(Ay),可得,解得X=T,y=-：,所以ð=：.

Iγ=x-y22

题型四：复平面

【例11同时满足以下三个条件的一个复数是()

①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.

A.4-3iB.-2-iC.-3-4/D.-4-3i

【答案】C

【分析】根据复数的概念及模，采用排除法逐个检验.

【详解】；复数在复平面内对应的点位于第三象限，，实部、虚部都小于0,故排除A选项；

Y复数的模为5,rfŋ∣-2-i∣=7(-2)2+(-1)2=√5,故排除B选项；

；复数的实部大于虚部，又-3>-4,,C选项正确，

【例2】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部”复数，若复数z=2+αi(其

中4eR)为“等部复数”，则复数Z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】由实部和虚部相等求得z,再判断复平面内对应的点所在的象限即可.

【详解】复数z=2+ai的实部为2,因为它实部和虚部相等，故α=2,所以z=2+2i,复数

Z在复平面内对应的点在第一象限.

【例3】已知复数z∣=3+i,z2=-l+2i,均在复平面上对应的点分别为A,B,C,若四边

形。43C为平行四边形(。为复平面的坐标原点)，则复数Zs的模为()

A.√17B.17C.√15D.15

【答案】A

【分析】令Z3="+bi,结合已知有OA=OB-OC，列方程求参数也b,进而求复数的模.

【详解】若Z3=α+历，则OC=(αM,而OA=(3,1),08=(-1,2),

由四边形ORC为平行四边形(。为复平面的坐标原点)，

—1=3(α=-4

所以OA=CB=08—0C=(T-凡2-勿，即L,则5,

[2-⅛Z=l[⅛=11

所以IZ31=Λ∕<72+b2—>∕Γ7.

【例4】若复数z=-(m-2)+G,+l)i(meR)在复平面上对应的点位于第二象限，则”的

取值范围是.

【答案】(2,+∞)

【分析】根据复数实部虚部的符号特点，解出关于m的不等式即可求得加的范围

【详解】复数z=-(m-2)+(w+l)i(ZneR)在复平面上对应的点位于第二象限.

f-(wι-2)<0.

可得I1；解得〃?>2.

[/n+l>0

【例5】在复平面内，复数z=2-mi(加WR)对应的点位于第四象限，且∣z∣=4,则m=()

A.-26B.4√3C.2D.2√3

【答案】D

【分析】根据模长公式求得"i=±2√J,又复数Z所对应的点位于第四象限，则〃?>0,即可

求解

【详解】由复数的模的定义及∣z∣=4,得"7/=4,解得力=±2√L

又在复平面内，复数Z所对应的点位于第四象限，

*∙ιτι>O,••=2^3^，

【例6】(多选题)下列命题中正确的是()

A.在复平面内，实数对应的点都在实轴上

B.在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上

C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数

D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

【答案】ABC

【分析】根据复数的几何意义，依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，在复平面内，实数对应的点都在实轴上，故正确：

对于B选项，在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上，故正确；

对于C选项，在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数，故正确：

对于D选项，实数零对应的点也在虚轴上，故错误的.

【题型专练】

1.复数Z=(∕√7)+(m7)i,,”eR,下列结论正确的是(