2023届初升高数学衔接讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（讲义）含解析

2023年新高中新建索养提升专题游又

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(原卷版)

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

一元二次方程0χ2+bχ+c=0(α*0),用配方法将其变形为：*+且)2=生_土把

2a4a2,

h2-Aac叫做一元二次方程ax2+bx+c^O(a≠0)的根的判别式，表示为：

Δ=Z?2—Aac

(1)当A=6-4αc>0时，方程有两个不相等的实数根：X=TA-

2a

⑵当△=〃-4αc∙=0时，因此，方程有两个相等的实数根：X,ɪ-ʌ

^2a

⑶当A=∕j2-4αc<0时，因此，方程没有实数根.

【知识点精讲】

【例1】已知关于X的一元二次方程31-2x+Z=O,根据下列条件，分别求出女的范围:

(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.

(6x—a≥—10

【变式1X(2022秋•重庆开州•八年级统考期中)使得关于X的不等式组

有且只有4个整数解,且关于X的一元二次方程(α-5)χ2+4x+l=0有实数根的所有整数

。的值之和为()

A.35B.30C.26D.21

【变式2].已知关于X的一元二次方程：/-(2H1)χ+4(Jt-i)=0.

(1)求证：这个方程总有两个实数根；

(2)若等腰4ABC的一边长α=4,另两边长仄C恰好是这个方程的两个实数根，求AABC

的周长.

【例2】已知实数x、y满足/+/-孙+2x-y+l=0,试求x、y的值.

【变式1](2022秋•湖北武汉•八年级武汉市第一初级中学校考期末)已知α,b,C满足α2+

6b=7,b2—2c=-1,c2—2a=—17,则ɑ—b+c的值为()

A.-1B.5C.6D.-7

【变式2】((2022秋•江苏扬州√l年级统考期中)新定义，若关于久的一元二次方程：

m(x—a)2+b=0与H(X—d)2+b=0,称为“同类方程如2(X—I)2+3=0与

6(%-I/+3=0是“同类方程力现有关于X的一元二次方程：2Q-1)2+1=0与(Q+

2

6)X-(&+8)x÷6=0是“同类方程”.那么代数式α/+fox+2022能取的最大值是

2、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程OX2+ZλY+C=0(4WO)的两个根为：

-b+∖Jb2-4ac-b-y∣b2-Aac

Y-----------------------------------------------Y-............................................................

-b+y∣b2-4ac-b-y∣b2-4acb

------------1------------=—,

2a2aa

_-⅛+y∣h2-4ac-b-∖∣h2-4ac_(-⅛)2-(√⅛2-4ac)2_4ac_c

2ala(2a)24/a

韦达定理：如果一元二次方程Or2+bx+c=0(q≠0)的两个根为王,K2，那么:

aa

【知识点精讲】

【例3】若和/是方程/+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值:

9ʌ11

⑴xl+x2~；(2)----F—；(3)(xl—5)(X9—5)；(4)Ix1-x2|.

%X2

常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:

ɔɔɔɪ1ʌiIɔɔ

1—々)

x1+x2=(xi+x2)_2JqX2，-----=------，CX]=(XI+W)^^4XIX7,

xlx2X1X2

222

Ixi-x2∣=J(XT+x2)-4X1X2,XIX2+X1X2=xlx2(xl+x2),

333+々）等等.韦达定理体现了整体思想.

xι+Λ2=（Xl+Λ2）-3XIX2（XI

【例4].已知关于X的方程2/-，nr+，”=，

（I）若m=-2,方程两根分别为x∣,x2,求|芭-司和x：+E的值；

（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数，〃的取值范围.

【变式1]已知两不等实数α,6满足“2=2-2”,〃=2-2》，求乌+二的值.

a1b2

【变式2]（2022秋•浙江杭州•八年级杭州外国语学校校考期末）设机是不小于-1的实数,

使得关于X的方程x2+2（〃L2）-3m+3=0有两个实数根r,X2∙

⑴若斓+好=2,求m的值；

（2）令T=F红+之，求T的取值范围.

I-X1I-X2

【变式3].已知西，七是一元二次方程4日2-4丘+%+l=0的两个实数根.

3

（1）是否存在实数3使（2μ-々）（玉-2%）=-5成立？若存在，求出女的值，若不存在,

请说明理由；

（2）若女是整数，求使五+三-2的值为整数的所有Z的值.

【变式41（2022秋•四川凉山•八年级校考阶段练习）设一元二次方程一一2022x+1=0的

两根分别为a,b,根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab=l,记Sl=±+d,S2=

T⅛+T⅛,S3=备+磊,…,Si。。=:⅛+那么Sl+S?+S3+-+

2023年新高中新建索养提升专题游又

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

一元二次方程+bx+c=0(α≠0),用配方法将其变形为：(χ+2y=匕心竺把

Ia4/,

h~—4αc叫做一元二次方程ax?+Zλr+c=O(a≠0)的根的判别式,表示为：A=〃2-4αc

(1)当A=〃-4αc>0时，方程有两个不相等的实数根：1=一"±"夕一牝(

Ia

(2)当△=〃-4觉=0时，因此，方程有两个相等的实数根：xl7=--

⑶当△=〃一4。。<0时，因此，方程没有实数根.

【知识点精讲】

【例1】已知关于X的一元二次方程3/一2x+Z=O,根据下列条件，分别求出攵的范围:

(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.

【解析】：△=(—2)2-4x3x攵=4一12%

(1)4-12Zr>0=>⅛<-;4—12k=OnZ=-

33

(3)4一12攵≥0nk≥一;4-12k<Qk<—.

33

6x—a≥—10

【变式秋•重庆开州•八年级统考期中)使得关于的不等式组

1X(2022X-1+-x<--x+-

有且只有4个整数解,且关于X的一元二次方程(α-5)x2+4x+1=0有实数根的所有整数

。的值之和为()

【答案】B

【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根

的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可.

【详解】解：整理不等式组得：(6久-α≥-10①

-8+4x<τ+12②

由①得：x≥^,

由②得：x<4

:不等式组有且只有4个整数解，

.∙.不等式组的4个整数解是：3,2,1,0,

/.-1<—≤0,

6

解得：4<α≤10,

•・・(α-5)x2+4%+S=O有实数根,

△=/—4ac=16—4X(Q—5)X1=36—4α≥0,

解得：a≤9,

方程(Q—5)x2+4x÷1=0是一元二次方程,

.,.a≠5

.∙.4VQ≤9,且WW5,

满足条件的整数有：6、7、8、9；

Λ6+7+8+9=30,

故选：B.

【变式2].已知关于X的一元二次方程：Λ2-(2⅛+l)X+4()t-ɪ)=0.

(1)求证：这个方程总有两个实数根；

(2)若等腰4ABC的一边长α=4,另两边长氏C恰好是这个方程的两个实数根，求aABC

的周长.

【解答】(1)证明：A=(2代1)2-4×l×4(A-I)

=U2-12A+9

=(2A-3)2,

：无论A取什么实数值，(24-3)220,

ΛΔ>0,

••・无论在取什么实数值，方程总有实数根；

2∕c+l±(2k-3)

(2)解:•X-

2

.∖x↑=2k-1,x?=2,

'：b,C恰好是这个方程的两个实数根，设6=24-1,c=2,

当a、6为腰，则a=Z>=4,即2"-l=4,解得A=|,此时三角形的周长=4+4+2=10；

当6、C为腰时，b=c=2,此时∆÷c=a,故此种情况不存在.

综上所述，的周长为10.

【例2】已知实数x、y满足J?+J-孙+2x-y+1=0,试求x、y的值.

【解析】：可以把所给方程看作为关于X的方程，整理得：X2-(y-2)x+y2-y+∖=O

由于X是实数，所以上述方程有实数根，因此：

△=Iy-2)]2-4(/-y+l)=-3∕≥O=>γ=O,

代入原方程得：X2+2x+1=0=>X=-1.综上知：X=-I,y=0

【变式1](2022秋•湖北武汉•八年级武汉市第一初级中学校考期末)已知α,b,C满足a?+

6b=7,b2—2c=-1,c2—2a=-17,则a—b+c的值为()

A.-1B.5C.6D.-7

【答案】B

【分析】首先把M+66=7,h2—2c=—1,c2-2a=-17,两边相加整理成小⅛66+b2-

2c+c2-2a+ll=0,分解因式，利用非负数的性质得出a、爪C的数值，代入求得答案

即可.

【详解】解：小+6b=7,ð2—2c=—1,c2-2a=—17,

ʌa2+6b+62—2c+c2—2a=-11,

a2+6h+fa2-2c+c2—2a+11=0

・・・(a-l)2+(b+3)2+(c-l)2=0,

•∙CL—1,b——3,c—1»

ʌa-h+c=l÷3+l=5.

故选：B.

【变式2】((2022秋•江苏扬州•八年级统考期中)新定义，若关于％的一元二次方程：

m(%-Q)2+b=0与九(X-Q)2+b=0,称为“同类方程”.如2(x-1)2+3=0与

6(%-1)2+3=0是“同类方程”.现有关于X的一元二次方程：2。-1)2+1=0与(α+

2

6)X-(&+8)%+6=0是“同类方程”.那么代数式a/+⅛x+2022能取的最大值是

【答案】2023

【分析】根据“同类方程”的定义，可得出&b的值，从而解得代数式的最大值.

【详解】V2(%一1)2+1=O与(α+6)%2一(b+8)%+6=O是“同类方程”，

.,.(α+6)x2—(ð+8)x+6=(α+6)(%—I)2+1,

.*.(Q+6)X2—(b+8)x+6=(Q+6)X2-2(α+6)x+ɑ+7,

.Ch+8=2(α+6)

••(6=α+7

解得：『「工1，

/.ax2+bx+2022

=-X2+2%+2022

=-(x-l)2+2023

，当X=1时，ax2+hx+2022取得最大值为2023.

故答案为：2023.

2、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程ox?+bx+c=0(aWO)的两个根为：

-b÷y∣h2-4ac-h-^h1-4ac

-r∣-b+∖∣b2-4ac-b-y∣b2-4ezc?b

加1以r：x+x=------------------+------------------=一一，

122a2aa

_-⅛÷V∕?2-4ac-b-y∣b2-4ac_(-⅛)2-(∖∣b2-4ac)2_4ac_c

1'2la2a(2〃)24a2a

韦达定理：如果一元二次方程办？+Ax+c=0(。w0)的两个根为Χ,%，那么：

bc

Xj+X=----9X∣X=一

2a9a

【知识点精讲】

【例3】若内,当是方程/+2》-2007=0的两个根，试求下列各式的值：

,,11

(1)x∣^+x-,^；(2)----1----；(3)(ɪɪ—5)(x,-5)；(4)I%l—%,I.

ɪi々

【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：X1+Λ2=-2,x1x2=-2007

222

(1)x1+x2=(%,+x2)-2X1X2=(-2)2-2(-2007)=4018

11-22

⑵—I-----=

xlx2xlx2-2007^2007

XXX

(3)(x1-5)(2-5)=12-5(xl+X2)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

ΛX2XX2XX2

(4)Ix1-X2I=√(1-2)=√(,+2)-4,2=√(-2)-4(-2007)=4√502

常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

ɔɔɔ11Iɔɔ

Xj+X：~(ɪi+M)~-2X1X2，—I-----=---------~，(x1-/=(Xl+々)~-4XJX2，

212

Ixi-x2I=J(Xl+x2)-4X∣X2,xlx2+X1X2=XIX2(玉+%2)，

333XXXX

xl+x2=(Xl+x2)-3,2(∣+2)等等.韦达定理体现了整体思想.

【例4].已知关于X的方程21-如f+〃，=0.

(1)若W=-2,方程两根分别为X],丫2，求|与-司和M+X；的值；

(2)若方程有一正数，有一负数根，求实数，〃的取值范围.

【答案】∙(1)6，-4(2)m<0

2XΛ2

【解析】(1)由卜|一引=(%+*2)2-4西%,xf+%2=(xl+2)[(I+X2)-3XIX2],借助韦达定

理求解.

(2)借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.

【详解】

(1)当〃?=-2时，2∕+2x-2=0即：/+x-l=0

A=l+4>0,%+x2=-1,3x>——1

因此：禺_*2「=(X[+4)2-4XlX2=5.∙.∣Xl_/|=正

X：+W=(ɪɪ+x2)[x；+x；-XX2]=(ɪ1+工2)KXl+工2)2-3x∕2]=T

(2)2X2—tnx+tn=O

Δ=m2-8∕n,x+x=

l2T3=5

△=〃，-8m>0

m：.m<0

¾=y<θ

ba

【变式1】已知两不等实数m8满足/=2-2。,b2=2-2h.求/+屏的值.

【解析】：。力是一元二次方程丁+2尤一2=0的不等实根

则有a+b=—2,ab=—2

H上/+/(a+b)(a2-ab-∖-b2)(67+/?)[(a-∖-b)2-3ab]_

原式=-----Z-=---------------------ʒ--------------=------------------------ʌ---------------=-5

(ab)2(ah)2(ah)2

【变式2］（2022秋•浙江杭州•八年级杭州外国语学校校考期末）设机是不小于-1的实数,

使得关于X的方程/+2（m-2）x+∕"2-3m+3=0有两个实数根X/,X2.

（1）若辞+诏=2,求,"的值；

（2）令T=产■+中，求T的取值范围.

l-x1I-X2

【答案】（1）1（2）0<7≤4且TW2

【分析】首先根据方程有两个实数根及力是不小于-1的实数，确定"的取值范围，根据根

与系数的关系，用含力的代数式表示出两根的和、两根的积.

（1）变形/+V为（必+为）2-2m治，代入用含/〃表示的两根的和、两根的积得方程，解方

程根据立的取值范围得到力的值；

（2）化简A用含力的式子表示出7,根据"的取值范围，得到7的取值范围.

(1)

•:关于X的方程/+2(〃厂2)x+∕-3研3=0有两个实数根,

Δ=4Qm~2)2-4(//-3研3)20,解得Λ≤1,

Y勿是不小于T的实数,

.β.-l≤∕Z7≤l,

方程x2+2(/77-2)x+z∕-3研3=0的两个实数根为M,X2,

.*.XΛX2=-2(∕TΓ2)=4-2ZZ7,xl∙X尸MT93.

•：x；+x；=2、.*.(Xi^x2),一2MX尸2,

.∙.4(ZZr2)2~2(Z∕-3ΛT^3)=2,

整理得//-5研4=0,解得析1,侬=4(舍去)，

J勿的值为1;

⑵

mx1mx2_mx1(l-x2')+mx2(,l-xi')_m[{x1+x2)-2x1x2]

，

l-X∙j1—X2(I-X1)(I-X2)l-(Xι+χ2)+χiχ2

_m(4-2m-27n2+6m-6)_-2m(m-l)2_-2m(m-l)2

=2~2∕n.

l-4+2m+m2-3m+3m2-mm(m-l')

当A=I时，方程为1+2(加一2)+∕zf-3加+3=0,

解得OFl或ZW=O.

当m=l或Zff=O时，T没有意义.

1≤m<1且m≠0

Λ0<2-2ΛJ≤4且7≠2.

即0<7≤4且T≠2.

【变式3].已知王，%是一元二次方程4辰2一4日+4+1=0的两个实数根.

3

(1)是否存在实数3使(2±-%)(西-2%)=-成立？若存在，求出左的值，若不存在,

请说明理由；

(2)若女是整数，求使++卫-2的值为整数的所有火的值.

X2X\

【答案】(1)不存在k理由见解析；(2)k=-2,-3,-5.

【详解】

(1)假设存在实数匕使(2%-%)(演-2%)=-]成立.

：一元二次方程4Aχ2-4Λx+Z+I=O的两个实数根

'4⅛≠0

"[Δ=(-4⅛)2-4∙4⅛(⅛+l)=-16⅛>0^<,

又x∣,々是一元二次方程4fcr?-4Ax+%+l=O的两个实数根

X1+X2=ɪ

x2-

.*.<⅛+l.*.(2x1-x2)(∣-2X2)=2(XJ—5χz=2(x∣+x2)9x1x2

⅛+9