高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第三章 圆锥曲线的方程 抛物线的简单几何性质

第三章圆锥曲线的方程

3.3.2抛物线的简单几何性质

基础过关练

题组一抛物线的简单几何性质

1.若抛物线）2=2〃%（p>0）上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取

值范围是（）

A.p<lB.p>l

C.p<2D.p>2

2.（2023四川成都月考）已知抛物线户2〃%（〃〉0）上一点M到其准线及

对称轴的距离分别为3和2√I,则P=（）

A.2B.2或4

C.1或2D.1

3.等腰直角三角形AoB的三个顶点均在抛物线y2=2*（p>0）上,O为

抛物线的顶点,且。4∙L03,则440B的面积是（）

A.8p2BAp2

C.2p2D.p2

4.（2022江苏镇江中学期中）已知产为抛物线y2=2p%（p>0）的焦点，过尸

作垂直于％轴的直线交抛物线于MN两点，以MN为直径的圆交y

轴于C,。两点,且ICQI=3,则抛物线的标准方程为（）

A.γ2=2xB.y2=2y∕3x

C.y2=4-∖∕3xD.γ2=6x

5.(2023安徽巢湖第一中学月考)已知抛物线Cγ2=2p%(p>0)的焦点为

R。为C上一点,M为C的准线/上一点且QM〃％轴.若。为坐标原

点,P在对称轴上,且在点F的右侧,∣OP∣=4,∣QF1=∣QP∣,ZMQP=120°,

则准线/的方程为()

.16C2

A.x=-——B.X——

55

C.%=--D.x=--

55

6.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴且经过点(4,1),则其准线

与对称轴的交点坐标是.

题组二直线与抛物线位置关系的简单应用

7.已知过点P(0,1)的直线/与抛物线V=4%相交于不同的两点,k为

直线/的斜率,则2的取值范围为()

A.(-∞,0)U(0,1)B.(-∞,1)

C.(-∞,0)D.(0,1)

8.(2022四川成都七中期中)若过点P(0,2)的直线/与抛物线C∙.y2=2x

有且只有一个公共点,则这样的直线/共有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

9.(2023江苏扬州中学月考)已知抛物线C∙.y2=4x,过点尸⑵1)的直线

/与抛物线C交于A,8两点,若点P是线段AB的中点，则直线I的斜

率为()

A.4B.2

1

C.lD.-2

10.(2022浙江宁波镇海中学期中)已知斜率为8的直线I经过抛物线

V=2p%(p>0)的焦点F,并与抛物线交于A,B两点,且|四=8,则P=

(

A.lB.2

C.3D.4

11.已知抛物线V=4%的焦点为点F,过焦点厂的直线/交该抛物线于

A、3两点,O为坐标原点,若AAOB的面积为2√Σ,则直线1的斜率

为(

A.+-

2B.±l

C.±2D.±√2

12.(2023河南郑州外国语学校期中)已知抛物线y2=2px(〃>0)的焦点

为E点A⑵y0)为抛物线上一点,且IA用=4.

(1)求抛物线的方程；

⑵不过原点的直线/:》=%+相与抛物线交于不同两点P,Q,若。尸1_

OQ,求相的值.

13.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与％轴交于点M,过点M的直线I

与抛物线交于A、B两点，设4(为,yι)到准线的距离为d.

⑴若y=d=3,求抛物线的标准方程；

(2)若2加=AB,求直线I的斜率.

14.已知抛物线Cy2=2p%(p>0)与直线y=χ+2相切.

(1)求C的方程；

(2)过C的焦点方的直线/与C交于A,8两点,A3的中垂线与C的

准线交于点P,若IPAl=手明,求I的方程.

题组三抛物线的综合应用

22

15.双曲线G之一裔=1(。>。)的渐近线与抛物线C2-.x2=2py(p>O)相交

于点O,A,B(O为坐标原点)，若40A3的垂心为C2的焦点E求。的

值.

16.已知抛物线y2=2p%(p>0)的焦点方与曲线χ2+2y2=i的右顶点重合,

过点尸(0,-4)的直线Z与抛物线交于A,B两点.

(1)求抛物线的方程；

(2)若丽=4PA,且A在入轴的下方,3在入轴的上方,求AOAB的面

积.

17.(2023黑龙江哈三中月考)以抛物线γ2=2p%(p>0)的焦点弦AB为直

径的圆与准线切于点(-2,-3).

(1)求这个圆的方程；

(2)求AAOB的面积.

能力提升练

题组一抛物线的几何性质

1.（2023重庆部分学校联考）设。为坐标原点,P是以尸为焦点的抛物

线y2=27u（p>0）上任意一点,且点P在第一象限是线段Pb上的点,

若IPM=3∣MF则直线OM的斜率的最大值为（）

2.（多选题）（2023浙江Z20联盟期中联考）已知抛物线Cy2=2〃X（P>0）

的焦点为F,准线方程为x=-∖,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,

过A,3两点分别作准线的垂线,垂足分别为Al,BLP为线段A3的中

点,O为坐标原点,则（）

A.线段AB长度的最小值为4

B.NAFB为锐角

CA,O,B三点共线

D.P的坐标可能为（3,-2）

3.（多选题）（2023辽宁大连第二十四中学月考）已知抛物线

C.,y2=2px（p>0）,C的准线与％轴交于K,过焦点厂的直线/与C交于

A、B两点,A在第一象限,连接AK、BK,设AB的中点为尸,过P作

AB的垂线交％轴于。,下列结论正确的是（）

A.∖AF∖-∖BK∖=∖AK∖∙∖BF]

B.tanZAKF=CosZPQF

2

C.AAKB面积的最小值为勺n

D.∖AB∖=2∖FQ∖

4.一条光线从抛物线γ2=2p%（p>0）的焦点尸射出，经抛物线上一点B

反射后,反射光线经过点A⑸4）,若IAB1+尸3|=6,则抛物线的标准方

程为.

题组二抛物线的焦点弦、相交弦

5.已知尸为抛物线Cy2=叙的焦点，过/作两条互相垂直的直线∕l,∕2,

直线∕∣与C交于A,8两点,直线/2与C交于Q,E两点,则∣A8∣+∣QE∣的

最小值为（）

A.16B.14

C.12D.10

6.（2023河南平顶山月考）过抛物线y2=2pχ（p>0）的焦点尸作倾斜角为

押直线,交抛物线于A,B两点,若高+自产,则实数p的值为（）

1

A：B.1

2

C.-D.√3

2

7.（2023辽宁省实验中学段考）已知过抛物线γ2=2p%（p>0）的焦点厂的

直线与抛物线交于A、B两点,且而=2FB,抛物线的准线/与X轴

交于点C,44」/于点4,若四边形AAiCF的面积为5√2,则准线I的

方程为（）

A.Λ=-Λ∕2B.X=­2√f2

C.x=-2D.%=-l

8.(2023河南郑州四中期中)已知抛物线C-.y2=4x的焦点为F,过点F

且斜率为1的直线与抛物线C交于点48两点，以线段AB为直径的

圆E上存在两点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点Q(-2"),则实数t

的取值范围为()

A.(-8,-1]U[3,+8)

B.[-l,3]

C.(-∞,2-√7]U[2+√7,+∞)

D.[2-√7,2+√7]

9.已知点厂为抛物线Cy2=4%的焦点.若过点厂的直线/交抛物线C

于A,8两点,交该抛物线的准线于点M,且为？二λlAF,MB=λ2BF,

则Ai+方=()

A.2B.1

1

C.0D.--2

10.(2023河南郑州回民高级中学期中)已知直线1:2kx-2y-kp=0与抛物

线Cγ2=2PX(P>0)相交于4、3两点，点M(-l,-1)是抛物线C的准线

与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是()

A.p=2

Bh-2

C.Z∖MA3的面积为5百

D.∣AB∣=5

11.（多选题）（2023江苏南京一中期中）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点

为E过点厂的直线/交抛物线于A、3两点，以线段A3为直径的圆

交y轴于M、N两点,设线段AB的中点为尸,则（）

A.OA-OB=-^

4

B.若∣ATη∙∣3F∣=4p2,则直线AB的斜率为百

C若抛物线上存在一点E（2"）到焦点厂的距离等于3,则抛物线的方

程为y2=Sx

D.若点尸到抛物线准线的距离为2,则SinNPMN的最小值为

题组三直线与抛物线位置关系的应用

12.（多选题）已知点M（l,0）,直线/:%=-2,若某直线上存在点P,使得

点P到点M的距离比其到直线I的距离小1,则称该直线为“最远距

离直线”,则下列结论正确的是（）

A.点P的轨迹是一条线段

B.点P的轨迹与直线X=-I没有交点

C.y=2x+6不是“最远距离直线”

DJ=IX+1是“最远距离直线”

13.在平面直角坐标系Qxy中，抛物线的顶点是原点,对称轴为％轴，

且经过点A（l,2）.过点A作直线人/2分别交抛物线于点C,ZX异于点

A）,直线∕ι,Z2的斜率分别为M,k2,且满足M+近=4

⑴求该抛物线的方程；

⑵试判断直线CQ是否过定点.若过定点,求出该定点的坐标;若不过

定点,请说明理由.

2

14.如图，已知椭圆G%v+V=l,抛物线Q：y=2*(p>0),点4是椭圆

Ci与抛物线G在第一象限的交点,过点A的直线/交椭圆G于点B,

交抛物线G于M(SM不同于4).

⑴若p*求抛物线C2的焦点坐标;

(2)若存在不过原点的直线/使M为线段AB的中点,求P的最大值.

15.(2023辽宁省实验中学期中)已知抛物线Cy2=4%,点P(4,4).

⑴设斜率为1的直线/与抛物线C交于4,8两点,若△尸AB的面积

为2√Σ,求直线I的方程；

⑵是否存在定圆M-(%-m)2+y2=4,使得过曲线C上任意一点。作圆

M的两条切线,与曲线C交于另外两点A,B时,总有直线AB也与圆

M相切?若存在,求出机的值;若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析

第三章圆锥曲线的方程

3.3.2抛物线的简单几何性质

基础过关练

1.D2.B3.B4BZc7.A∑C9J

10.C11.B

1.D取抛物线上任意一点P,则P到焦点的距离等于其到准线V

的距离，

显然当P为抛物线的顶点时,P到准线的距离取得最小值*.∙}>1,即

p>2.故选D.

2.B因为抛物线γ2=2p%(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分

别为3和2√2,

所以［叫即Py初；2噂代入抛物线方程可得8=

%+鼻=3,{XM=^--,

2p(3一与，

整理得p2-6p+8=O,解得p=2或p=4.故选B.

3.B不妨设点A在入轴上方，由抛物线的对称性及题意可知kθA=l,

,

故直线OA的方程为y=%,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故5ΔAOB=∣×2p×

4p=4∕A

4.B不妨设M、C在入轴上方，如图，连接CF,由题意可知

IMNl=2p(p>0),所以圆的半径为p,由对称性知IoqWlCDl=|,在Rt

ACOF中，ɑ)2+(∣)2=p2,解得p=√5(负值舍去)，所以抛物线的标准

方程为γ2=2j获故选B.

5.C根据抛物线的对称性,不妨设点。在第一象限,如图,

由题知尸(4,0),βM±Z,

由抛物线的定义知I。Fl=IQMIQW=IQPI,

'∙∖QP∖=∖QM∖,

又NMQ尸=120。，QM//X⅜,ΛNQPf=60°,.,.APFQ为等边三角形,

/.点Q的横坐标%Q=W+4=2+%

LZ4

∙∙∙I2M=2H+%

又IQM=IQPl=尸尸|=4看，.∙.2+空=4—最解得p=∣,，准线Z的方程为

X=-M故选C.

6.答案(0,-4)

解析依题意设抛物线的方程为42内(p〉0),则42=2PX1,即p=8,

所以抛物线的方程为％2=i6y,其准线为直线y=-4,则准线与对称轴的

交点坐标是(0,-4).

7.A直线/的方程为y=kx+l,联立丸二#+1'化简得k2x2+(2k-

U=4x,

4)X+1=0,

Y直线/与抛物线V=4x相交于不同的两点，

,北>O?13{-16fc+16>0,ΛK1且MS

.∙.斜率1的取值范围是(-8,o)u(0,1).

8.C(1)当直线I的斜率不存在时,直线I的方程为x=0,与抛物线

V=2%有且只有一个公共点,符合题意.

⑵①当直线I与抛物线V=2%的对称轴平行，即直线I的方程为产2

时,与抛物线y2=2%有且只有一个公共点,符合题意；

②当直线I的斜率存在且不为O时,设直线方程为y=京+2GWO),代

入到抛物线方程V=2%中，消去y,得FΛ2+2(2%-1)尤+4=0,则∕=4(2k

l)2-16R=0,解得鸟,故直线I的方程为γ⅛+2.

综上,符合题意的直线/共有3条.故选C.

9.B设AG],y1),5(x2,y2),•••尸是线段AB的中点，.∙.y1+y2=2,由题得

H=竽'两式相减得比-羽=(Wy2)8+竺)=4(g),所以直线I

{yi=4%2，

的斜率七左二及=，=2,故选B.

Xi-X2yι+y2

方法技巧点差法在中点弦中的应用

设直线与抛物线V=2pχS≠o)的交点为A(%ι,yι)乃线段AB

的中点为MaOM)),则由点差法可得心B=左二及=ɪ-=?=J即

工1一%2y1+3z22J,Oyo

心片与同理,对于抛物线％2=20^≠O),有心产=争="

y02p2pP

10.C解法一：易得Fg,0),则直线I的方程为γ=√3{x-号，与抛物

2

线方程y=2px联立，得3-§=2px,整理得3Λ2-5∕ZX+号-=0.设

A(%ι,yι),8(x2,)2),

则x∖+x2=^∙,所以∣A3∣=%ι+%2+p=F+P=F=8，

所以p=3.故选C.

解法二：因为直线I的斜率为遮，所以直线I的倾斜角0=≡.

由焦点弦的性质得|力8|=磊=急=8,所以p=3∙故选C.

ɪ3

11.B解法一:抛物线产4%的焦点为尸(1,0),

当直线I的斜率不存在时,XAoB的面积为如1X4=2,不合题意；

当直线/的斜率存在时'，设其方程为y=%(%-l)(%≠0),

联立直线方程与抛物线方程,消去工,可得/-^-4=0,

16

贝(J/+»=*MyB=-4,M-∕∣=λ∕QA+犯)2—4%油=J,+>

由aAOB的面积为2√I,可得T∣%4-yB∖=2√2,即聆+16=4√2,

解得仁士1.

.∙.直线/的斜率为±1.故选B.

解法二：设直线I的倾斜角为a则由抛物线焦点弦的性质，得5Δ

AOB=-p-=2√2,EP-ɪ-=2√2,.,.sin。=±竺，，直线I的斜率Gtan

2∣sιnθ∣ISInel2

θ=±1.故选B.

12.解析⑴由抛物线y2=2p%(p>0)过点A(2,yo),∣AF∣=4,得2+舁4,

所以抛物线方程为γ2=8x.

联立圣-Qm，得X2+(2m-8)x+m2=0,

(2)设PGi,yι),Q(X2,"),x

所以x↑+x2=^>-2m,x↑X2=ιn2,由题意知J=(2m-8)2-4∕w2=64-32m>0,所以

m<2,

因为OPj_OQ,所以丽•丽=0,则

x∖x2+yιy2=x∖x2+(jc∣+m)(x2+m)=2x∖X2+m(%1+x2)+m2=0,

.*.2m2+m(8-2m)+m2=0,m2+Sm=O,解得m=0或m=-8,

当m=0时,直线过原点,不符合题意,故舍去.

所以m的值为-8.

13.解析⑴记抛物线y2=2px的焦点为E则尸(},0),准线方程为

x=-p则IAFI=d,

由yi=d=3,可得AF±x轴，贝IJl产今即有d=1+^3,即p=3,则抛物线

的标准方程为γ2=6x∙

⑵设B(X2,y2),l-.y=k{x+9(%≠0),将直线方程代入抛物线的方程,

j>22

可得22∕+p(R-2)x+乎rι=0,

贝IJzl=p2(F-2)2-k4p2>O,即F<l且％≠0,

由2祈I=荏可知A在B的左侧，则

_-p(/c2-2)-2pVl-fc2_-p(Zc2-2)+2pVl-Zc2

汨=汨，'2=汨，

由2M√4=AB,ʌ/(一ɪ,0),可得2卜1+θ=X2~xι,

即有p=%2-3汨=迎七等五,解得k=±^∙.

故直线/的斜率为±f∙

14.解析⑴联立圣："：；'消去％得y2-2py+4p=0,

・；抛物线C与直线y=x+2相切，.∖∕=(-2p)2-4X4p=0,解得p=4或

P=O(舍去)，

故抛物线C的方程为γ2=8%∙

⑵由⑴知F(2,0).设/的方程为x=my+2,A(孙yι),B(X2,y2),则线段

AB的中点为(岩,空),记M(詈,中)，

过M作抛物线的准线%=-2的垂线,垂足为N,

1

则依现=%1+%2+4,∣W∣=^∣^+2,即∣A3∣=2∣W∣=2∣MA∣,

'：∖PA∖=^-∖AB∖,.,.∖PA∖=V3∖MA∖,则IPM=√Σ∣MΛ∣,即IPM=dɪIMNI,，

IPNl=IMN],

联立广+2'消去％得产8叱16=0,

贝IJJ=64m2+64>0,γ∣+γ2=8m,

则M(4m2+2,4加，NQ2,4ιn),AB的中垂线的方程为mx+y-4m3-6m=0,

P(-2,4m3+8m),则IPNl=I4/+4网，∣MNI=4/+4,

即∣4∕+4词=44+4,解得m=±1,

故I的方程为％+y-2=0或x-γ-2=0.

15.解析如图，不妨设A在第二象限.

2

h（x=2py,（X=-pb,

易得双曲线的渐近线方程为产士?工由b得fe⅛

2（y=-产∖y=~›

故/（-pb,等），同理,B（Pb,字）.

易得抛物线的焦点为方（0,力，

所以都=（Pb/一早）,访=（P4早）.

因为点F为Δd）AB的垂心,所以而，而，

所以（Pz—亭）∙（P4字）=0,所以b=E

16.解析（1）曲线x2+2∕=l为焦点在X轴上的椭圆，其右顶点为

（1,0）,则由题意可得抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F（l,0）,：.p=2,所

以抛物线的方程为产=4%.

⑵设A陷后）,5（学,如），

由PB=4PA,得(岸,YB+4)=4(WyA+4),

即伴=4步,

'+4=4(%+4),

结合A,B的位置,解得M=-2,»=4,故A的，-2),B(4,4),

直线I的斜率仁Ym=2,则直线I的方程为y=2x-4,直线I与X轴相交

于点(2,0),

所以△OAB的面积S^OAB=1×2×(γβ-γλ)=∣×2×6=6.

17.解析(1)由抛物线的方程知其准线方程为x=-^,设焦点弦AB的

中点为M(%o,yo),由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点(-

2,-3),可知「9二-2,.∙JP=4,所以焦点为⑵0),抛物线方程为

Iy0=-3,仇=-3,

y2=Sx,记尸(2,0).

设弦AB所在直线的斜率为2,A(孙yι),B(%2,>2),则直线AB.,y=k(x-

2),

与抛物线方程联立，得。T:—2)，=>ky2-Sy-↑6k=0,所以

8

γ∣+y2=K-=2γo=-6,yιy2=-∖6,

.∙.^=4Λ直线AB-y=-^x+*将γ0=-3代入,得x0=γ,则这个圆的圆心

为①一3),半径为日,

2

故所求圆的方程为(％—9)+(y+3)2=矍.

2

(2)5∆A0β=5∆A0F÷5∆B0F=∣∣OF∣×∣^1-γ2∣=∣×2√(y1+y2)-4y1y2=ɪθ∙

能力提升练

LB2.ACD3.BD5.A6.B7.D8.D9.C

10.C11.AD12.BCD

1.B由题可知鸣0),设P点坐标为卷,yo)(yo>O),则丽=次+

FM=OF+-FP=OF+-(OP-OF)=-OP+-OF=(^-+

44144∖8p

yp_

空),kθM=-2^-==V，当且仅当羽=3p2,即^o=√3p时，

oτ,zJoLJP----十—ɔɔ

而+τp

等号成立.故选B.

2.ACD由题意知,抛物线C的方程为>2=4%,线段AB长度的最小值

为2p=4,A正确;

易知∣AΛ∣=∣A∕η,44∣"%轴，.∙.ZAFA↑=ZAAiF=ZA↑FO,同理N3FB=

∕B∖FO,：.ZA↑FB↑=90°,B错误；

设直线AB∖x=my+∖,与抛物线方程联立并整理，得γ2-4mγ-4=0,设

A(%],yι),B(%2,y2),

贝IJy+y=4m,ʃɪ72=-4,koA=-=~=-yι,

l2xι3zι

••"(I,γ2),：.kOB=-y2=koA,故A,O,Bl三点共线,C正确；

设P(xo,yo),则yo=丐也=2叫xo=myo+l=2m2+l,当m=-l时，尸⑶-2),D

正确.

故选ACD.

3.BD设直线AB的倾斜角为α,即NAFx=a,设

A(XI,yι),B(%2,y2),P(ɪo,yo),

若∣A∕ψ∣8K∣=∣4K]∙∣3F1,则黑=黑,则根据角平分线的性质可知,％轴

IBFl∖BK∖

应平分N4K3,但尤轴不一定平分NAK3,故∣Af]∙∣B2=∣4N∙∣8F∣不一定

成立,故A错误；

过A作AO轴，垂足为。，则tanZAKF=^-ι=ɪ,cosZ

IKDlx1+^

PQF=CoSC—α)=Sina=ɪ^ɪ=ΛtanZA∕fF=cosZPβF,故B

正确；

S^AKB=S^AKF+S∕∖BKF=^∙∖KF∖∙(ʃɪ-ʃl)=Y(^1-)^2)20∙2p=p2,当且仅当γ∣-

y2=∖AB∖=2p,即ABVx轴吐取等号,故AAKB面积的最小值为p2,但

此时Q不存在,不符合题意,故C错误；

对于D:但(P/'≠>(yi+>2)。1-”)=2〃3-%2),则tana=八二%=

[72=2p%2^'''XlT2

2p_P

,

yι+y2yo

.∙.直线PQ的方程为y-yo=-彳(%-%()),令尸0,得-yo=*(%-%o)=Λ=p+%o,

Q(p+xo,O),.,.∖FQ∖=p+xo-^=^+ΛO,.,.∖AB∖=xι+x2+p=2xo+p=2∖FQ∖,故

D正确.故选BD.

4.答案y2=4x

解析抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光线经抛物线上一点反

射后，反射光线沿平行(或重合)于抛物线对称轴的方向射出，•••

∖AB∖+∖FB∖=6,.∖XA-XB+XB+1=6,即5+舁6,.∖p=2,六抛物线的标准方程

为y2=4x.

5.A因为直线∕∣过尸,且尸(1,0),所以设∕∣的方程为盯+1,联立

'y2=4x,

ɪ得产4冲-4=0,设A(Xl,yι),B(X2,y2),故y↑+y2=4m,y↑y2=-

X=my+

4,则∖AB∖=y∕m2+lV16m2+16=4(m2+l).同理可得IjD£]=4(*+1),

所以|4引+储石|=4(2+血2+*)216,当且仅当m=±l时,取“=”,故选

6.B易得尸(々,0),设直线方程为y=N%A(xι,y),3(孙义)，联

立y=k(x-ι)'得以2(2p+2p)%+W=0,所以

y2=2px,

Ii

%∣+%2=/P,即尤2=ɪ,又∖AF]=xι+3,∣BF∣=Λ2+§,所以高+马荷=

κz422∣ΛFIIBFI

x+x+Pk2p+2p小定?代入得篇+六=；=所以

12把X1+X2=2,

,

XiX2⅛ι÷x2)÷⅞

P=L

导师点睛AB是抛物线γ2=2p%(p>0)的焦点弦，A在第一象

限,AG"ι),3G"2),弦AB所在直线的倾斜角为α,则有下列结论

成立:

2

(l)x∣X2=y,y∖y2=-p.

l+cosα

(2)∖AF]=x∖+^=P»∖BF∖=X+3=PIAFl-----1-----

l-cosα2l+cosa,∖BF∖l-cosα∖ΛF∖∖BF∖

2

V

⑶IA8IF+%2+p=^⅛

7.D解法一：由题意知Fg,0),准线/的方程为x=-l,设

A(%ι,y),3(%2,>2),

则而二（1％1，一%）,而=G24，%），由9=2而，Wf-Xl=

212-即％2=[（3p-2xι）,①

由题意知直线AB的斜率存在且不为0,

设直线AB的方程为产M％—与GWO）,代入抛物线方程,消去X得

“2∙2

d%2-（好p+2p）x+n-=0,

所以X1X2—②

4

联立①②,得2*-3∕zxι+p2=0,

解得％ι=P或X名（舍去），所以IylI=V⅛,

因为S四边形A&CF=沿1+/p）∙Wl=5√Σ,

将孙M的值代入,解得P=2（舍负），所以准线I的方程为X=-1,故选

D.

解法二:不妨设A在第一象限,A（%ι,yι）,8（%2,》2）,ZxFA=θ,

贝”AFl=j,∣M=y,

7I-CoSeτl+τcosθ

因为Q=2FB,所以丁q=2X[J,解得cosF贝!Jsinθ邛,

I-COSel+cosθ33

因为四边形AAiCF是直角梯形，其中ICFl=P,IAAIl=IA∕η=τ^=⅛,

I-COStzz

高为∣AF∣sinQ∣p∙竽=√∑p,所以四边形AAiCF的面积为

；（p+汨∙√∑p=乎p2=5√Σ,解得p=2（舍负），所以准线I的方程

2\2/4

为x=-l,故选D.

8.D由题得直线AB的方程为γ-O=x-l,即y=x-l,设

A(ɪi,yι),B(X2,yι),

cV-Xɪ

联立)24'可得Λ2-6x+l=0,.∙.%l+%2=6,%1∙%2=1,

U=4x,

1

.,.^γ^=3,=乱二产=2,IABl=√1+12∙√36-4=8,

/.以线段AB为直径的圆E的圆心为(3,2),半径为4,

.∙.圆E的方程为(X-3)2+(y-2)2=16,

.∙.点。恒在圆E外，

若圆E上存在两点P,Q,使得以尸。为直径的圆过点0(-2"),即圆E

上存在两点P,。,使得DPLDQ,显然当DP,。。均与圆E相切时一，Z

PDQ最大,此时应满足NPDQ考,所以震=∙7=⅛=≥y,整理

得Λ4z-3≤0,

解得2-√7≤f≤2+√7,故选D.

9.C解法一：(特值法)取I的倾斜角为«=p不妨设8在A上方,联立

(_1

忙孩…得二独咪之故心食皿®

kʃ3

又M(-l,-2√3),F(1,O),ΛMA==(4,4√3),AF=

Q,^),βF=(-2,-2√3),.∙.2ι=2"2=-2,.∙.九+七=0.故选C.

解法二：如图，易知九<0"2>0.过B作BNLl于点N,由丽=

42丽=COSα=制=盟=擀，

由加=/11而=∣M4∣=-九IAFI=(I+22)∖BF∖+∖AF∖=-λ↑∖AF∖^^∙=1+22

,

IBFl1+Λ1

又"I=一,所以-当产吧=上孕,化简得为+22=0,故选C.

乂IBFl

l-cosαl+λ1l-cosα1--

10.C由题意知,抛物线C的准线方程为x=-i,即畀1,解得〃=2,故选

项A中结论正确；

因为p=2,所以抛物线C的方程为V=4%,其焦点为(1,0),记F(l,0),

又直线l∙∙2kx-2y-kp=0,即y=Z(%-l),所以直线/恒过抛物线的焦点

F(l,0),

设点AabyI),3(%2,”)，因为A、3两点在抛物线C上，

所以仍=’1'两式相减并整理可得,上及=-=k,设AB的中点

(光=4X2,XlT2yι+y2

为Q(xo,yo),则yo="詈=p

ZK

因为点Q(%o,yo)在直线/上,所以yo=Z(%o-l),所以％o=∙⅛+l,所以点

K

。(高+1,£),易知。是以ÆB为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆Q的半径厂”=%1+%2+2=筌"=⅛+2∙

222KΔ

因为IQM=(ɪ+2)2+ɑ+1)2=A所以信+a)?+佞+1?=

(ɪ+2)；解得k=-2,故选项B中结论正确；

因为k=-2,所以IABl=5,直线∕I>,+2(Λ-1)=0,即2x+y-2=0,

由点到直线的距离公式可得,点M到直线/的距离^Z=¾⅛1=√5,

所以S^MAB=1-d-∖AB∖=并而*5=乎,故选项C中结论错误,D中

结论正确.故选C.

11.AD若直线/_Ly轴,则直线I与抛物线y2=2∕*(p>0)有且只有一

个交点,不符合题意.

设ACX1,yι),3(x2,”),直线AB的方程为x=my+^,

Λ∕2=2T)X

X_Myp整理可得yλ-2pmy-p1=Q,

{+

2242

贝(jJ=4m2p2+4p2>0,yι+y2=2pm,yιy2=-p2,%的嗡∙=ɪ=γ,

.,.OA∙OB=xlx2+yly2—p2=—jp2,A正确；

12

∣AF∣∙∣BF]=(x1+θ(x2+9=(W+P)(阳2+p)=my↑y2+mp(y1+y2)+p=~

m2p2+2m2p2+p2=(m2+l)p2=4p2,解得m=÷V3,

所以直线AB的斜率为工=±”,B错误；

m3

若抛物线上一点Ed0到焦点的距离为3,则2+f=3,可得p=2,故抛

物线方程为γ2=4x,C错误；

抛物线的焦点厂到准线的距离为2,则p=2,所以抛物线的方程为

y2=4x,

所以y∖+yι=^m,yy2=-4,x↑+x2=m(γ1+γ2)+2=4m2+2,

所以圆尸的直径为|4用=%1+%2+2=4/+4,则半径r=野ɪ=2/+2,

点P到y轴的距离d=&产=2/+1,

2病+12m2+2-l.1

.∙.sinN≡vq=---------ɪ--------

2τn2+22m2+22m2+2,

V2m2+2≥2,

1.-

.

-.

—∈O,2.

2

2m+2一

.∙.sinZPW∈[∣,l),

即(SinNPMN)mi∏=∣,D正确.

故选AD.

12.BCD点P到点M的距离比其到直线I的距离小1,等价于点P

至U点M的距离等于其到直线Γ-.x=-∖的距离，故点P的轨迹是以

M(1,0)为焦点,直线Γ∙.x=-∖为准线的抛物线，其方程是y2=4%,故A

错误；

点P的轨迹是抛物线y=4x,它与直线「没有交点,故B正确；

要成为“最远距离直线”，则必须满足其与抛物线∕=4Λ有交点，把

y=2x+6代入抛物线方程y2=4%中，消去γ并整理得Λ2+5Λ+9=0,因为

J=52-4×1×9=-11<0,无解，

所以y=2x+6不是“最远距离直线”,故C正确；

把γ⅛+l代入抛物线方程户4%中，消去y并整理得PI2X+4=0,因

为/=(-12)2-4X1X4=128>0,有解,所以γ⅛+l是“最远距离直线”,

故D正确.故选BCD.

13.解析⑴设抛物线的方程为y2=2p%(p>0),

由抛物线经过点A(1,2),得p=2,

.∙.抛物线的方程为γ2=4x.

⑵设c(xι,jɪ),D(X2,y2),%l≠l,%2≠l.

若直线CD的斜率存在,设直线CD的方程为y=kx+t(k≠Q).

由？~KX\,消去％,得^y2-4>'+4∕=0,

Iy—Kx十tf

r144£

则y∖+y^~,y1y2=-.

K.Zv

∙.∙h+22=及二十及==曳左a+竺竺卫

—1%2—14%]—44%2—4

_4(为一2)4(72-2)_44_/

-------------T-----------------------T---------—Z-L

光-4据-4y1+2y2+2

.∖y+2+y2+2=-(y]+2)(”+2),

.,.3(y1+y2)+y1y2+8=O,

—+竺+8=0,即t=-2,k-3,

kk

直线CD'.y=kx-2k-3,即y=k(Λ-2)-3,

，直线CQ过定点⑵-3).

若直线CQ的斜率不存在,则C3,y),ZX%ι,-y),

.,.k∖+k2=^~+yι=——=-4,.,.xι=2.

x1-lx1-lX1-I

.,,直线CD.x=2,此时直线CD过点(2,-3).

综上所述，直线CD过定点(2,-3).

方法点睛在圆锥曲线综合题的运算中，参数的选择很重要,在有关

抛物线的问题中巧妙运用抛物线方程的特点进行变量的转化能够很

大程度降低运算量.

14.解析⑴当p=⅛时-，C2的方程为∕⅛,故抛物线C2的焦点坐标

168

为(⅛,0)∙

⑵解法一(根与系数的关系+基本不等式法)：设

A(%ι,yι),3(%2,>2),MeXO,yo),l'.x=λy+m(m≠0),

%2

2+'—1'得(2+%2)y2+22ZWy+/I=。，

{X=λy+m

•-2λm-λmA2m

•.6+»=〜，*=而，^=λyo+m=-,

由M在抛物线上,可得W⅛=黑,即碧=4p,①

2

又{；二μ'rn=y2=2p(力+㈤^y-2pλy-2pm=Q,

.∙∙y+yo=¾U,

.∙.%I+X()=2Vl+m+λyo+m=2p}}+2m,

.*.x∣=2^>λ2+2∕n-^τ.(2)

2+/L,

∕γ2

土-I-V2=1

由2y'得χ2+4px-2=0,

y2=2px

.,.x∖=~4p+^6p+8=—2p+J4p2+2,③

由①②③得-2p+j4p2+2=2pλ2+2m•翳=2pλ2+墨+8pN16p,

当且仅当λ2=2时,2=√Σ时取“=”,

.,.ʌ/4p2+2≥18p,即Py击,故0<pW^^,

：.P的最大值为当,此时2=√2,m=^∙.

405

解法二(直接法):设直线l∙.x=my+t(m≠0,∕≠0),A(%o,yo).

2

将直线I的方程代入椭圆G的方程γ尹户1,

得O+2)y