2022-2023学年海南省海口市高一下学期第一次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年海南省海口市高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1.已知全集U={1,2,3,4,5},M={l,3},N={3,5},则如图所示的阴影部分表示的集合是（）

A.{3,4,5}B.{1,3,5}C.{1,2,5}D.{2,4}

【答案】D

【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为Q,（M.N）,再利用集合的交并补运算即可

得解.

【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为许（加N）,

因为M={l,3},N={3,5},所以MUN={1,3,5},

因为U={1,2,3,4,5},所以①（MUN）={2,4}.

故选：D.

2.与-1990。终边相同的最小正角是（）

A.80oB.150oC.170oD.290°

【答案】C

【分析】将-1990。表示为-199（）o=-6x360+170,即可得答案.

【详解】因为-1990。=-5χ360-190,-1990o=-6×360+170,

故与—1990。终边相同的最小正角是170。，

故选：C

3.在平行四边形ABCD中，例为AB上任一点，则AM-OM+08等于（）

A.BCB.ABC.ACD.AD

【答案】B

【分析】根据相反向量的意义及向量加法的三角形法则，化简AM-OM+08可得答案.

【详解】AM-DM+DB=AM+MD+DB=AD+DB=AB

故选：B.

4.已知角α的终边过点P(—sin2020o,cos2020。)，且(y^a<360。，则α=()

A.40oB.50oC.220oD.310°

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义和诱导公式即可.

【详解】-sin2020。=-sin(5X360+220)=-sin(180+40)=sin40=cos50；

cos2020o=cos(5×360+220)=cos(180+40)=-cos40=-sin50

角a的终边过点P(-sin2020。,cos2020。)；

.∙.cosa=cos50=COS(360-310)=cos310

sina=-sin50=-sin(360-310)=sin310

且0°≤α<360°;

.∙.a=310

故选：D

5.若A,B,C是三个互不相同的点，则“A8—片0)”是“A,B,C三点共线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分、必要条件、向量共线、三点共线的知识确定正确答案.

【详解】因为4B,C是三个互不相同的点，

所以48,AC均不为零向量，

若48=/UCQ#0),则4,B,C三点共线，反之亦成立，

故"AB=2AC(∕l≠0)''是"A,B,C三点共线”的充要条件.

故选：C

6.已知函数_Ax)的图象关于y轴对称，且火X)在(-8,0］上单调递减，则满足F(3x+1)<∕(;)的实数

X的取值范围是()

【答案】B

【分析】根据条件，可得函数/(X)是偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，然后将问题转化为含绝

对值的一次不等式来求解即可.

【详解】函数/(χ)的图象关于y轴对称，∙∙"(X)为偶函数，∙∙"(χ)=/(IXI),

不等式f(3χ+D<ʃ(ɪ)可变为ʃ(l3χ+l∣)<ʃ(ɪ),

偶函数/(χ)在区间(-e,0］上单调递减，

∙∙J(χ)在区间(O,+∞)上单调递增，

.∙.∣3x+l∣<g,解得

故选：B.

cos40o_

cos250>∕l-sin400

ʌ-0B.-y∕2C.――D.ɔɛ

cos252

【答案】A

【分析】根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正弦公式求得正确答案.

■wR■∞s40o

详窜］cos250√l-sin400

_cos(90°-50°)

cos25°Vsin2200-2sin200cos200+cos220°

__________sin50°

cos25°J(cos20°-Sin20°『

_2sin250CoS25。

-cos250(cos200-sin20°)

2sin25°

2sin25°√2sin25o

√2×sin(45o-20o)-sin25°

故选：A

8.已知函数/(X)=tan(ox-φ×ω>0。<*<兀)与直线V=。交于A,B两点，且线段A8长度的最小值为今,

若将函数/U)的图象向左平移自TT个单位后恰好关于原点对称，则。的最大值为()

ʌπCuC7兀

ʌ-W,T

【答案】C

【分析】确定函数的最小正周期，可求得口=3,根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结

合函数的对称性可求出。=彳Tr-三kττ,AeZ,依据0<。<兀，即可求得答案.

【详解】由题意知，函数/(x)的最小正周期T=R则四=。得3=3,

所以/(x)=tan(3x-0,将函数小)的图象向左平移已个单位长度，

兀Tl

得到y=tan3(x+-)-⅞?=tan(3x+^-g)的图象，

因为该图象关于原点对称，则:-*=g,%eZ,所以9=；-g,keZ

当4>0时，kwZ,φ<2,不合题意，当A=0f⅛,9=二,

4

又0<9<π,所以当Z=T时，9取手，当Z4-2,-3,时，夕≥芈，不合题意，

44

故夕最大值为当，

4

故选：C

二、多选题

9.己知函数/(χ)=χ"图象经过点则下列命题正确的有()

A.函数〃x)为奇函数

B.函数“X)在定义域内为减函数

C.若0<x∣<w,则/&)>/(々)

D.若x<0,则/(x)>0

【答案】AC

【分析】将点代入函数得到/(x)=L,利用函数奇偶性的定义可判断A,举反例可判断BD,利用作

X

差法可判断D.

【详解】因为/(X)=X"图象经过点(2,g),

所以2〃=(，即。=一1,则f(x)=',

对于A,易得F*)的定义域为(-8,0)U(0,E),关于原点对称，

又/(-x)=-(=-∕(x),所以/(χ)为奇函数，故A正确；

对于B,/(T)=T<*1)=1,函数不是减函数，故B错误;

对于C,因为0<$<%2，

所以/ɑj-/(w)='-L=&z^∙>0,即/(再)>/(々)，故C正确.

ɪlX]“2

对于D,/(T)=T<0,故D错误；

故选：AC.

10.若向量α力满足Ial=I〃|=2,|4+口=2有，则()

A.a-b=-2B.d与6的夹角为T

1r

C.al(a-2b)D.d在人上的投影向量为万人

【答案】BC

【分析】由模与数量积的关系求得"?82,再根据数量积的性质确定”与人的夹角，判断向量垂直,

求解投影向量即可得结论.

【详解】因为|：|=|1|=2,所以k++J(α+4=^d1+2a-b+b-=√8+2a∙⅛=,

则a?b2,故A不正确；

又CoSG力)=部[=表=g,O≤(M≤g,所以<。力)=，即α与人的夹角为小故B正确；

5La{a-2b)=a1-2a∙b=4-2×2=0,所以a_L(a-2。)，故C正确；

又d-B在B上的投影向量为Id-MCO$,一石出1|=,一4；^^・1=巴芾-∙b=-gb,故D

不正确.

故选：BC.

11.已知X,y均为正实数，且x+2y=4,则下列结论正确的是()

21CC

A.xy≥2B.—+—≥2C.2*+4'≥8D.x-÷Ay2<8

Xy

【答案】BC

【分析】由基本不等式判断各选项.

【详解】A选项：4=x+2y≥2历，所以孙42,当且仅当x=2y,即x=2,y=l时取等号，故

A错误；

B选项：-+ɪ=ʌ-2V=~,由A知孙≤2,则-+1≥2,故B正确；

xyxyxyxy

C选项：2'+4"≥2J2'∙4'=2=2叵=8，当且仅当x=2y,B∣Jχ=2,y=l时取等号，故C

正确；

222

D选项：由x+2y=4,f⅜i6=√+4∕+2×x×2γ≤x+4∕+2×^-!^-.B[Jχ+4γ≥8,当且仅

当x=2y,即χ=2,y=l时取等号，故D错误.

故选：BC.

12.一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心。距离地面6米，已知摩天轮按逆时针方向旋转,

每分钟转动2.5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮（图中点外）开始计时，以凡与底面的交点为坐

标原点，ME,所在直线为了轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P距离地面的高度人（米）与时间

八秒）的函数关系为A=∕（r）=4sin（d+c）+Z>,其中A>（）,-π<e<O,则下列选项正确的是（）

A.OP旋转的角速度0=已

B.摩天轮最低点离地面的高度为2米

C.点P距离地面的高度/?（米）与时间f（秒）的函数关系为∕j="f）=6-4cos]∙

D.点P第二次到达最高点需要的时间32秒

【答案】ABC

【分析】对选项A,根据角速度公式求解即可判断A正确.

对选项B,根据题意得到摩天轮最低点离地面的高度为6-4=2（米），即可判断B正确.

对选项C,根据题意得到∕2=∕（f）=4sin（^∣f+91+6,再将（0,2）代入即可判断C正确.

对选项D,根据点尸第二次到达最高的需要的时间是36秒，即可判断D错误.

【详解】对于选项A,由题意可得，每分钟转动2.5圈，

OP旋转的角速度O=丝（弧度/秒），故选项A正确；

6012

对于选项B,因为摩天轮的半径为4,

所以摩天轮最低点离地面的高度为6-4=2(米)，故选项B正确;

A+⅛=10∫A=4

对于选项C,由题可知-A+b=2^∖b=6

所以/7=/(f)=4sin[?+sJ+6.

把(0,2)代入/∕="f)中，则SinQ=T.又一π<e<0,所以勿=-5,

所以〃=/(。=4sin(2g)+6=-4cos?+6,故选项C正确；

对于选项D,A=/(f)=-4cos-r+6=10,求得五

所以f=12(秒)，根据摩天轮转一周需要,=24(秒)，

故点P第二次到达最高的需要的时间是36秒，故选项D错误，

故选：ABC.

三、填空题

13.tan105°=.

【答案】-2-指

【分析】由两角和的正切公式求解即可.

oo

R.⅛AZJ1Az；ZCOU。、tan60+tan45∖∣3+∖4+26C∕τ

【详解】解：tanι1n0c5oo=tan(60o+4ZI5°)=-----------------------=-~~F=-------=-2-√3.

1-tan60otan45ol-√3-2

故答案为：-2-√3

14.已知向量Q=(1,3),α+>=(-l,2),则〃力=.

【答案】-5

【分析】求出向量8的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得〃力的值.

【详解】因为£=(1,3),α+⅛=(-l,2),则b=(-2,T),因此，a.b=-2-3=-5∙

故答案为：-5.

15.已知/(x)=cos(2x+?在[0,向上的最大值为｝则实数机的最大值为.

【答案】ɪ/j/r

【分析】由Xe[0,〃?],得2x+geɪ2∕n+∣,再根据余弦函数的性质列出不等式，即可得解.

【详解】由X式。,，〃],得2x+]e∣∙,2w+∙∣,

因为/(X)=cos(2x+在[O,〃?]上的最大值为十，

所以1<2加+]≤年，解得0<zπ≤∣,

所以实数加的最大值为g∙

故答案为：ʒ--

16.高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子''的美誉，用其名字命名的“高斯函

数”：设xwR,用[χ]表示不超过X的最大整数，则y=[χ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：

[一3.7]=T,[2.3]=2.己知〃X)=美;，则函数y=["x)]的值域为.

【答案】｛—1,0,1｝

9-v+I一1

【分析】先把函数F(X)=黄:分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求解

y=["χ)]∙

【详解】X)=ɪ2zl=2x2*+23=2(2*+l)3_2_3

v,2x+l2Λ+12Λ'+12Λ+1

133

又2Λ>0/.2t+l>l∕.0<-------<1Λ-3<一——<0∕.-l<2一——<2,

2Λ+12A+12t+l

ɔ「3^l

当_1<2-的<0时.∙.2-ɪ7-y=-1,所以y=[∕(x)]的值域里有T

当0≤2-^j<l时2-3=0,所以y=[∕(x)]的值域里有O

OQ-

当1≤2-黄y<2时.∙.[2-M]=1,所以y=["x)]的值域里有1

所以y=[f(χ)]的值域为｛-I,。」｝

故答案为：｛-ι,o,ι)

四、解答题

17.如图，在菱形ABC。中，BE=；BC,CF=2FD.

Dl~ζ------------7C

'E

AB

W^EF=xAB+yAD,求3x+2y的值;

(2)若IABI=6,ZBAD=60°,求ACE尸.

【答案】(I)-I

(2)-9

12

【分析】(1)由题意可知即可求解；

12

(2)AC=AB+AD<从而46'・防=(48+4。)-(54。-§48)即可求解.

【详解】(1)因为在菱形ABC。中，BE=^BC,CF=2FD.

12

^EF=^EC+CF=-AD--AB,

23

21

故x=-；，N=；，所以3x+2y=-l.

⑵显然AC=Ag+AE>,

12

所以ACEF=(A8+AO)∙(-AZ)——AB)

23

22121

=——AB+-AD——AB-AD①，

326

因为菱形ABC。，且∣4B∣=6,ZBAD=60°,

故IAol=6,{AB,AI^=60°.

所以Aβ∙AD=6χ6xcos6(T=18∙

211

故①式=-Wχ62+∙Wxl8=-9.

326

故AC∙EF=-9∙

18.已知α,A为锐角，cosa=∣,cos(a+y?)=--.

(1)求sin2α的值；

(2)求cos/?的值.

24

【答案】(I)Sin2α=不

⑵当

【分析】(I)根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可;

(2)根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.

【详解】(1)因为α为锐角，CoSa=3，所以Sina=>∕l-cos2a=.II--=—

5V255

3424

则sin2α=2sinacosα=2×-×-=——；

5525

(2)由于α,α为锐角，则0<a+力<π,

又CoS(α+1)=_■^=Sin(α+1)=Jl—cos?(Q+夕)=Jl=,所以

cosy?=CoS[(α+夕)-α]=CoS(α+/?)CoSa+sin(α+∕7)Sina=-^-×∙∣+^^-×∙∣=-

19.已知函数/(x)=2sin(2x+；J.

⑴利用“五点法’’完成下面表格，并画出了(x)在区间［(),可上的图象;

C兀π3π

2x+-π2π

42T

XOπ

/(x)

4

2

1

7)

-1

-2

⑵解不等式/(χ)≥6∙

【答案】(1)答案见解析

(2){x∣-^-+Aπ≤x≤-+kπ,keZj

【分析】(1)根据表格中数据直接计算可完成表格，由此可作出函数的图象;

(2)结合函数图象解三角不等式，即得答案.

【详解】(1)由题意，列表如下：

C兀ππ3兀9π

2XH—π2π

442~2T

π3π5π7π

XOπ

8TTT

/(x)2O-2O√2

画出/(χ)在区间［0,可上的图象如图:

(2)不等式/(x)≥6,即2sin(2x+^)≥√J,所以sin12x+：卜等,

冗Tr2冗π5JT

:

所以一+2Aπ≤2x+-≤—+2kπ,k∈Z,即--∖-kπ<x<——卜kπ,k∈Z,

3432424

故/(x)≥√J的解集为{x∣&+E≤X≤∣^+々7MΓ∈Z}.

20.已知函数〃力=-/+(2-α)x+4.

(1)当α=0时，解关于X的不等式/(x)>l:

⑵求实数〃的取值范围，使得"x)在区间[-2,5]上是单调函数.

【答案】(I)(T,3)

(2)(—∞,-8][6,+∞)

【分析】(1)带入数据得到(x-3)(x+l)<0,解不等式得到答案.

(2)函数对称轴为X=?2—a,根据单调性得2到—a?4-2或2一—ci≥5,解得答案.

222

【详解】(I)a=0,/(X)=-X2+2X+4,/(X)>1,即一W+2χ+4>i,(x-3)(x+l)<0,

解得一l<x<3,B∣JX∈(-1,3)

(2)/(x)=-x2+(2-a)x+4,函数对称轴为X=二,

/(x)在区间［-2,5］上是单调函数，则瞪≤-2或F≥5,解得α≥6或a≤-8.

即α∈(-∞,-8]l[6,+∞).

21.在校园美化、改造活动中，要在半径为30m、圆心角为冷的扇形空地尸的内部修建一矩形

观赛场地ABCr>,如图所示.取8的中点M,记NMOC=6.

⑴写出矩形ABCD的面积S与角。的函数关系式；

(2)求当角6为何值时，矩形ABCf)的面积最大？并求出最大面积.

【答案】(1)5=600√3sin［^2θ+^∖-300√3,公佗)

(2)当。=?时一，矩形ABCD的面积最大，最大值为300屈2

O

【分析】(I)首先得出。《0,3,再用。的三角函数分别表示出MN和NB,则SABe=2∙BN∙MN,

再根据二倍角公式，降幕公式和辅助角公式化简即可；

(2)由Oe(O,，得出29+3传号］,根据正弦函数的图像，得出29+3=1时，面积最大，即

∖ɔ/O∖oo762

可得出最大面积.

【详解】⑴由题可知，94呜)，

在RfMoC中,

OW=3()COS6,

MC=30sin6>,

.-.BN=CM=30sinθ,

在RJBO