2023届高考前复习2-2 函数与方程思想中的九种题型导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体与解析几何、计数原理与统计

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案(上海地区专用))

专题2.2函数与方程思想中的九种题型

题型一：导数及其应用

1.(2022秋•上海黄浦•高三格致中学校考阶段练习)定义可导函数y=/(X)在矛处的弹性函

数为/(x)∙τX,其中/(X)为/(X)的导函数.在区间〃上，若函数AX)的弹性函数值大于1,则

f(χ)

称/(X)在区间〃上具有弹性，相应的区间〃也称作ʃ(ɪ)的弹性区间.

(1)若*x)=e*-x+l,求"X)的弹性函数及弹性函数的零点；

(2)对于函数/(x)=(x-l)e*+InXTX(其中e为自然对数的底数)

(i)当f=0时，求/O)的弹性区间。；

(ii)若/(x)>l在(j)中的区间。上恒成立，求实数Z的取值范围.

γγ

【答案】(1)/(x>κ=(e*-l)∙^------X=O;(2)(i)(l,+∞),(ii)(-∞,-l].

Γ(Λ)e-X+↑

【分析】(1)由()=e'τ+l,可得/(x)="7,根据题设条件，即可求得r(x)的弹性函数

及弹性零点；

(2)(i)函数/(x)=(X-I)e，+Inx,可得函数f(χ)的定义域为(0,+∞),函数/⑸是弹性函数

11

fM-=l7?,>>得出不等式组，进而求得函数的弹性区间；

/(ɪ)(ɪ-l)e+Inx

(ii)由/(x)>l在(l,+∞)上恒成立，可得，<(1-1)，+小二1在》>1上恒成立，设

XX

/Z(X)=(1-2)/+虹口，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得f的取值范围.

XX

【详解】(1)⅛r(x)=ex-x+l,可得/(x)=e*T,

YX

则/(').肉=(ef.

ev-x+l

XX

4∙r'(x)-――=(gt-1)∙~-=0,解得X=0,

r(x)e-X+1

所以Nx)弹性函数的零点为x=0.

(2)(i)当f=0时，函数/(x)=(x-l)e'+lnx,可得函数的定义域为(。,内),

1γ2p*+1

因为ffM=(X-I)，+InX=ex+(x-∖)ex+—=--------

XX

Xx2ex+1

函数/(X)是弹性函数/(X)•力=,…I>I,

f(x)(x-l)e+Inx

此不等式等价于下面两个不等式组：

(X-I)e*+lnx>0....①(X-I)e*+InX<0..…③

(I)或(∏)<

x2er+1>(Λ-l)βv+lnx......②X2ex+1<(x-l)ev+Inx.....④'

因为①对应的函数就是/O),

由∕{x)>0,所以/S)在定义域上单调递增，

又由"1)=0,所以①的解为x>l;

由可得g(x)=χlg'+l-[(x-iX'+l∏x]=(x2-x+l)ev+1-Inx>0,

且g'(x)=(2x-l)ex+(x2-x+i)ex--=(V+/)/-1在》>］上恒为正,

XX

则g(x)在x>l上单调递增，所以g(x)>g⑴>0,故②在x>l上恒成立,

于是不等式组(I)的解为x>l,

同①的解法，求得③的解为0<x<l;

因为OcXel时，④χ2e*+l>0,(χ-l)e*+lnx<0,所以不成立，

所以不等式(II)无实数解，

综上，函数，(X)的弹性区间。=(1,一).

(ii)由/(x)>l在(l,+∞)上恒成立，可得/<(1-1)一+也二ɪ在x>l上恒成立，

XX

、九,，、“1、,Inx-I、(x2-x+l)e'+2-lnx

设〃(x)=(1-一)ex+-----,贝IJh'(x)=ʌ----------4------------,

XXX^

而(x2-x+l)el+2-lnx=g(x)+l,

由(i)可知，在x>l上恒为正，

所以"(x)>0,函数〃(x)在(l,+∞)上单调递增，所以MX)>砌=-1,

所以r≤-l,即实数r的取值范围是(-8,-1].

【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成

立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出

相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为

函数的最值问题，试题综合性强，属于难题.

题型二：三角函数与解三角形

一、单选题

1.(2022•上海•高三专题练习)已知锐角ABC的面积为3"，AC=3,BC=A,则角C的

大小为()

【答案】D

【分析】本题先建立方程36=(x4x3SinC,再求SinC,最后求角C的大小即可.

【详解】解：因为锐角,ΛBC的面积为3百，b=AC=3,a=BC=4,

所以SwC=SinC，即3jJ=；x4x3SinC,解得：SinC=亭，

由因为角C是锐角，所以NC=A

故选：D.

【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，是基础题.

2.(2022春•上海普陀•高一曹杨二中校考阶段练习)设函数

f(x)=mcos(x+a)+ncos(x+∕3),其中，*、〃、a、夕为已知实常数，xeR,有下列四个命题：

(1)若/(())=/(?=(),则AX)=O对任意实数X恒成立；⑵若/(0)=0,则函数F5)为奇函

数；⑶若，图=0,则函数/(χ)为偶函数；⑷当尸①)=尸用≠0时，若

/(xl)=∕(⅞)=0,则χ-9=2M∙*∈Z)；则上述命题中，正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

[分析】利用两角和的余弦公式化简/(χ)表达式.

对于命题(1),将/(0)=0j(^]=0化简得到的表达式代入上述/(X)表达式，可判断出(1)

选项的真假；

对于命题(2)选项，将/(O)=O化简得到的表达式代入上述/(X)表达式，可判断出/(X)为奇函

数，由此判断出(2)选项的真假；

对于命题(3)选项，将/(咬=0化简得到的表达式代入上述/(N表达式，可判断出了(x)为偶函

数，由此判断出(3)选项的真假；

对于命题⑷选项，根据∕2(0)+∕［扑0、/(X1)=∕(Λ2)=O,求得F(X)的零点的表达式，

进而判断出(4)选项的真假.

【详解】/(ɪ)=m(cosxcosα-sinxsina)+"(cosXCoSβ-SinXSinβ)

=(zπcosa+ncosβ)cosx—(msina÷nsin∕7)sinx

不妨设/(x)=(K∞sα1+^2cosa2)cosx-(^1Sinal+k2sina2)sinx.kvk2,ava2为已知实常数.

若/(0)=0,则得⅛1cosα1+⅛2cosa2=O；若/(/)=0,则得KSina∣+《sin%=。.

于是当"O)=/(I)=O时，/(X)=O对任意实数X恒成立，即命题(1)是真命题；

当/(0)=。时，/(x)=-(⅛1sinal+k2sin¾)sinx,它为奇函数，即命题(2)是真命题；

当/(∣∙)=0时，/(ɪ)=cosax+k2cos6z2)cosx,它为偶函数，即命题⑶是真命题；

当了(0)+/图XO时,令f(χ)=0,则

(KCOSa］+⅛28S%)cosX—(KSinaI+&sin%)SinA:=0,

上述方程中，若COSX=0,贝IJSinX=0,这与cos?x+sin?x=1矛盾，所以COSXW0.

将该方程的两边同除以CoSX得

tanχ-^λC0S°,λ+C0Sa~ʌC0Sa*+C0Sa~-1(0)

⅛1sinax+k2sina2'kxsina1+k1sina2

贝IJtanx=t,解彳导X=Z4+arctanf(k∈Z).

x=

不妨取∖⅛∣^r+arctanr,x2=k2π+arctant(⅛1∈Z⅛⅛2∈Z),

则％-马=色一网)］，g∣Jxl-x2=kπ(kwZ),所以命题(4)是假命题.

故选：C

【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推

理变形的能力，属于中档题型.

二、填空题

3.(2022春•上海浦东新•高一校考期末)已知扇形的圆心角大小为?，半径为2,则扇形的

弧长为.

【答案】y

【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可.

【详解】a=^,R=2,.∙.l=∖a∖-R=^×2~.

故答案为：~γ

4.(2022秋•上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考开学考试)在AABC中，

h2+c2=a2+hc,AC.48=4，则AABC面积为.

【答案】2√3

【分析】由廿+/=〃+历，结合余弦定理推论可求得COSA,进而求得SinA,利用平面向量数量

积的定义可求得税的值,再利用三角形的面积公式SM(C=g儿SinA即可求解.

【详解】在Δ4BC中因为b?+/=/+Α,

所以由余弦定理的推论知，COSA=""T=L

2hcIhc2

因为OVAV4，所以A=工,sinA=立，

32

因为AC∙AB=4,即6∙c∙cosA=4,解得6c=8,

所以ΔABC的面积SMKC=ɪiesinA=i×8×-ɪ=26.

故答案为：2√3

【点睛】本题主要考查三角形的余弦定理和三角形的面积公式;其中余弦定理与平面向量数量

积结合是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

5.(2021春•上海•高一期末)已知函数y=f(x)是在的偶函数，当x≥0时,

关于X的方程/(X)=有且仅有四个不同的实数根，若α

是四个根中的最大根，则Sin(I+α)=——•

【答案】一显

2

【分析】作出函数y=∕(χ)的图像，结合图像可得加=1,即y=ι,从而可得四个不同的实数

在区间上是减函数，/(x)的极大值为ʤ)=应，

极小值为了图=0,

作出函数当x≥0时的图像如图，

函数函数y=/(X)是在的偶函数，

•・・当x<0时y=∕(x)的图像与当XNO时的图像关于y轴对称,

故函数XeR的图像如图所示，

将/(X)=皿μWR)进行平移，可得当根=1时，

两图像有且仅有四个不同的实数根，

3π3π

令y=ι,可得XI=，W一,XA=一

44

所以α=q~,

4

./4、3汽屈

:.sɪn(-+2)=cosa=cos——=------

242

故答案为：一旦

2

【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值,

考查了数形结合的思想，属于中档题.

6.（2021秋•上海徐汇•高三上海市南洋模范中学校考期中）已知勿是实常数，若

∣%∣cos2x÷sinx+A∏=O∣≠0,则渊取值范围是.

【答案】[-，,1]

【分析】由题意可转化为加=Sirx-SinxT有解，换元求函数的值域即可.

【详解】由CoS2χ+sinx+"z=0可得：

W=Sin2X-Sinx-I,

若∣x∣cos2x+sinx+λ∏=O^≠0,

则方程m=si∏2X-SinX-1有解，

令∕=sinx,-1≤∕≤1,

贝Uy=∕τ-l=（"!）2-=eJ=J]，

244

所以只需me[-[,l],

故答案为：[-1』]

【点睛】本题主要考查了含SinX的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档

题.______

7.（2023春•上海金山•高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）函数y=.T

的定义域是

【答案】2kπ+-,2kπ+-,k≡Z

L66_

【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域.

【详解】由题意知，SinX-!20nsinx≥!,

22

即2kπ+-<x<2kπ+-,k≡Z,

66

TTSTr

所以/（X）的定义域为：2kπ+-,2k-,keZ

_6π+6

故答案为：[2版∙+f,2公∙+^],%eZ

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条

件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

三、解答题

8.（2021秋•上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）在ABC中，角A,B,C

的对边分别是“，b,c,已知COS2A=-,,c=yfi>SinA=GSinC.

（1）求α的值；

（2）若角A为锐角，求b的值及ABC的面积.

【答案】（1）α=3√2（2）b=5,SMJC=平

【分析】（1）结合题设条件和正弦定理W∙=-⅛,即可求解；

sinAsinC

（2）由余弦的倍角公式，求得CoSA=3，SinA=述，再结合余弦定理和三角形的面积公

33

式，即可求解.__

【详解】（1）在_ABC中，因为C=6，sinA=∖fβs∖nC,

由正弦定理，解得α=3√∑

sinAsinC

1jr

(2)因为COS2A=2cos?A-I=——,又0<A<一,

32

所以COSA=∙^,SinA=逅-.

33

22

由余弦定理/=b-be-2bccosAf得〃一2)一15=O,

解得〃=5或人=一3(舍)，所以SAAsc=；力CSinA=^.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角

形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解

答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

sin(^∙+0)COS(24一a)tan(2∕τ-a)

9

∙(2021春•上海•高一期末)已知/°tan(_«..)cosf-^-«]

(1)化简：/(«)；

(2)在ABC中，内角/、B、。所对的边长分别是a、b、c,若c=2,/(C)=-g,且ΛBC的

面积S=√L求a、6的值.

【答案】(1)/(a)="cosα5(2)a=b=2.

【分析】(1)根据诱导公式可化简A。)；

Jriab=4

(2)由(1)可得C=J,再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得，二Q,解之得答

3[a~=S

案.

【详解】(1)因为F(α)=二包gc°sα(-ta二)=_oSa,所以/(a)=—cosα；

-tanasina

11JT

(2)因为/(C)=-/,BP-cosC=--,又0<C<]，所以C=§,

因为一ABC的面积S=√L所以S=IaAing=百，解得而=4,又CoSC=也险,=L所

23Iab2

以cr+Z?2=8,

[ah=4「,(a=2〜，

由ι《)/Ο，解得\所以α=b=2.

[a~+b~=S[b=2

【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于

中档题.

题型三：平面向量

一、填空题

1.(2022春•上海闵行•高三上海市七宝中学校考开学考试)已知平面向量〃、匕满足

∣2α+S∣=∣α-3⅛∣=l,则卜+目的取值范围是

「351

【答案】

【分析】利用待定系数法，可得“+)=524+6)-如-3q，再利用数量积运算可得到关于日

的关系式，进而可求得卜+4的取值范围.

【详解】不妨设2α+6与4-3〃的夹角为。，且α+&=x(2α+Zj)+y(α-3∕?),

4

x=-

2x+y=1A,7

得α+8=(2x+y)α+(x-3y)b,故√,解得

x-3y=ι11,

y=~i

所以4+6=3（2[+匕）一3（4一3/?）,

为计算方便，不妨令2。+/?=〃?，a-3b=n,则。+人=亍加一;""?I=W=1,

所以卜+=-m--n=—W2--^-m∙n+-n=黑|加「一HHC°s。+占IH-=cos^'

II77494949491149l11149114949

O17R75QIp75

因为-l≠teosO1,所以二≤'-acos9≤上，gp-∑-≤L⅛^≤±Ξ,

49494949491+∣49

½∣≤∣6f+⅛∣≤∣,即k+*|,1.

「351

故答案为：py.

2.彳20甲”「上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知向量〃、b满足

W=WTa+0=1,则“、匕的夹角为.

【答案】y

【分析】由平面向量数量积的性质知，∣α+d=W+2α∙6+ML再利用平面向量的数量积的夹角

a∙b

公式CoSGm=而即可求解.

【详解】由平面向量数量积的性质知，,+4=@+2夕6+忖;

因为14=WTa+@=1，所以“力=_；,

因为ss（ɑ,*箭，所以CoSa,3W=,

因为O≤（",b>≤万，所以〃、6的夹角为

故答案为:告r）τr

【点睛】本题考查平面向量的数量积及其夹角公式;重点考查学生的运算能力;属于基础题.

3.（2021春•上海•高一专题练习）已知AABC内一点。是其外心，cosA=∣,且

AO=mAB+nAC，则加+〃的最大值为_______.

3

【答案】ɪ

4

【分析】如图所示，延长Ao交8C于。，令A。=；IAO=AQ=42='A8+'AC,由8,C,。

A,A,λ

三点共线，得，”+〃=4,将问题转化为求4的最大值，利用解三角形知识，即可得答案.

【详解】如图所示，延长Ao交BC于。，

^∙AO=ΛAD=>AD=-=-AB+-AC,

r>ιn

・・・民。,。三点共线，.∙.y+γ=l=>^÷∕2=Λ,

λA

...2取最大值时，川+〃取最大值，

.∙.4=也，∙.∙IAOI为外接圆的半径定值，

I皿

.∙.当|4。|取得最小时，2取最大值，此时AOLBC,

.∙.ΔA8C为等腰三角形，且cosA=:，.∙.sinA=里,

33

..A√3A√6Al

•∙sin—=—,cos—=—,Uin—=~,

23232√2

a

MOl=ɪ--

/1

tan—

2

故答案为：%

【点睛】本题考查向量在三角形中的运用、同角三角函数基本关系、倍角公式、解三角形，考

查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，综

合性较强.

题型四：数列

一、单选题

1.（2022•上海•二模）已知等差数列｛为｝的前“项和为S,,,若%=2,且邑=邑，则下列说

法中正确的是（）

A.为递增数列

B.当且仅当〃=5时，5.有最大值

C.不等式S“>0的解集为｛"∈N*∣"≤10｝

D.不等式4,>O的解集为R

【答案】C

【分析】根据已知求出首项和公差即可依次判断.

【详解】由S4=S7,知/+4+%=0,即4=0,

Q10

设等差数列｛%｝的首项4,公差d，解得.

j^-3

对于A,由d<0,知｛%｝为递减数列，故A错误;

对于B,由R=0，知当"=5或〃=6时，S.有最大值，故B错误；

对于C,由等差数歹IJ求和公式知5"="'，+^^义(一：［=^^^>0,即〃2—11〃<0,解得

O<n<ll,即｛"eN*∣"<lθ｝,故C正确；

ι∩ɔɔ

对于D,由等差数列求通项公式知。“=£-蓝("-1)=4、〃>0,解得〃<6,故D错误；

故选：C.

2.(2022•上海•高三专题练习)已知数列｛叫满足：%>0,且=2个”-卬田(〃∈N*),下

列说法正确的是()

aa

A∙若4=5，则。〃>〃“+1B.若〃〃<n+∖,则∖>ɪ

C.al+a5≤2aiD.|«n+2-¾+l∣≤^γ∣aπ+∣

【答案】D

【分析】化简已知递推关系式可得至M%-1)(%M-1)>O,由此分别判断AB选项，可知AB错

误；

设%M=χ,则凡=亚正=，4+2；采用数形结合的方式知ML4,+J越来越小，C

错误：假设。成立，通过化简不等式可知不等式恒成立，知。正确.

【详解】d=2q>-a,,+∣,.∙∕-l=2a,3-%-l,.∙.(q-l)m+l)=(q,+∣-l)(2q田+1),

又∕>0,.∙.%+l>0,2¾+1+l>0,.∙.(a,,-l)(¾+l-l)>O

对于A,若q=；,则a“-l=-；<0,∙∙.a∙+∣-l<°,

∙∙∙d-W+ι=W+∣-4+ι=an+ι(a"+ιT)<0,-an<an+l,A错误；

对于8,若能<4+∣,则4；-喙=。；+|-%=4+|(%-1)<0,

.∙.q,-l<0,即a,,<l,.∙.q<l,B错误；

对于C,设a,,+∣=x,则q=j2χ2-x,

考虑函数y=∙√2χ2-χ与的图象,如卜图所示：

｝越来越小，，4—仅3>“3—。5,

1+Jl+8χ-

对于£),设。什I=X,则a*=也/-x,a"+?=

4

若∣4.2-。局4日旧+1-α,J,则「--X卜.卜-J2x2-x∣,

笑:彳介J-1+8x,∖j2,x2-X≤Jl+8x~∙（4x—1），HIJ2∖∣2x2^-x≤3x-1,艮IJX?—2x+1≥O»

而x?-2x+l=（x-l）-≥0显然成立，∣αn+2-αn+11≤-^-∣απ+l-απ|,£）正确.

故选：D.

【点睛】本题考查根据数列递推关系式研究数列的性质的问题，关键是能够通过递推关系式得

到数列前后项所满足的关系，同时借用函数的思想将数列前后项的大小关系变化利用函数图象

来进行表现，属于难题.

二、填空题

3.（2022•上海•高三专题练习）数列｛叫满足4=1,旧二=T一，记S,,=fd,若

52,川-凡4《对任意的“€%+恒成立，则正整数f的最小值为.

【答案】10

【分析】先求出数列｛“：｝的通项公式，化简（S2向-5“）-（52“+3-$向）＞0得到数列｛52.”-，｝为递

1414t

减数列，求得数列EM-SJ的最大项为邑-E=],得到急喘,即可求解.

【详解】由题意，数列｛%｝满足4=1，,54=-L,所以十T=4,

所以数列15｝是以4为公差，以1为首项的等差数列，

可得^⅛∙=1+（"T）X4=4"-3,所以

a

令（S2〃+I—S"）—（S2,1+3—S“+[）=（*∣÷*2+L+2n+∖）-（。3+〃；+3+L+¾+3）

1

=4幻一片,,+2—。黑3=77-上一二=（4-二）+（4一二）＞0所以数歹1」

4n+l8H÷58n÷98/7+28n÷58〃+28n+9

｛显用一凡｝为递减数列,

所以数列—」的最大项为$3-5=d+d=+]=〃'

因为余≤R,解得fzg,

又由，为正整数，所以％,=10,

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的恒成立问题的

求解，其中解答中利用数列的递推公式求得数列的通项公式，结合数列的单调性求解是解答的

关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

4.（2020•上海市进才中学高三阶段练习）已知数列｛4｝的首项为4,且满足

2（”+1）%-加3=0（"eN*）,则下列命题：①是等差数列；②｛为｝是递增数列；③设函数

/（x）=x-∣-，工,则存在某个区间（","+D（"WN∙）,使得"X）在（〃,〃+1）上有唯一零

，∖¾+I＞

点；则其中正确的命题序号为

【3析】对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项

公式可求得%，可验证出“厂可＞0,知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定

/（x）单调性，利用零点存在定理可得到结论.

【详解】对于①，由2(〃+1)4-皿e=0得：S=2∙%,

n+1n

又，=4,，｛7｝是首项为4,公比为2的等比数列，①错误;

l,nt+

对于②，由①知：^=4∙2-'=2',.∙.al,=n-2"',

n

+2+,,+

.∙.α,,+l-«„=(«+1)•2"-n-2"'=2'(2〃+2一〃)=(〃+2)2'用>O,

.,.｛4｝是递增数列，②正确;

/\-v-2

对于③，由②知：0<'<l,.∙.y=2单调递减,

I%+ι>

n

f[n)=n-

2〃+2∕5+∣)="HΞ⅛)

71

当”=1时，/(l)=-p/(2)=∣,即/⑴/(2)<0,由零点存在定理知③正确；

综上所述：正确的命题序号为②③.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根

据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是

能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.

5.(2020•上海•高三专题练习)已知数列｛4｝是公差不为零的等差数列，且4=2,5“为其

前〃项和，等比数列也,｝的前三项分别为外，%，““，设向量OQ=(?，*)，贝听。0|的最大值

是

【答案】2√2

【分析】由题意得s；=。/%，求得d=l,可得q=〃+1,S,,=〃(2=+1)=普2,表示出

∖0Q,∖=-∙,∣13-(-+-)2+-再由二次函数的性质，可得最大值.

112V〃1313

【详解】由题意构成等比数列，所以为2=出外，即(01+4d)2=(4+d)∙(4+10d),解

得4=2d,

π(2+π+l)鹿(〃+3)

又由q=2,所以d=l,所以4=〃+l,S“

22

所以OQ“=(”必)=(竺ɪ,宇),

nnn2n

+14∕z+13ɪ工JJl3∙(L4+3,

所以

4n22n2V«1313

由二次函数的性质，可得当〃=1取得最大值,此时最大值为

1°QL=,J13∙(1+否］+仁=2√2.

故答案为：2&.

【点睛】本题考查等差数列、等比数列的性质，通项，前〃项和，以及向量的模的综合运算，

关键在于正确地运用公式，利用定义进行转化，属于中档题.

6.(2020•上海交大附中高三阶段练习)已知等差数列｛4｝(公差不为零)和等差数列

也｝，如果关于X的方程：2O21χ2γ4+%+...+%o2Jχ+4+4+∙∙.+%2∣=O有实数解，那么以下

222

2021个方程V-α∣x+4=O,x-a2x+b2=O,x-a3x+bi=O,…，x-α2021x+⅛021=Oφ,无实

数解的方程最多有个.

【答案】IOIO

【解析】设等差数列｛《,｝的公差为4M,o,等差数列他,｝的公差为乙，由等差数列的性质可

得You2的011，设y=4：=[4+(iT)dJ,(iwN*,i≤2021),

%=44=4[4+("l)dJ(i∈N*,i≤2021),由一次函数与二次函数的图象与性质即可得解.

【详解】设等差数列｛为｝的公差为4,4/0,等差数列｛"｝的公差为外，

则q+a2-iHO202l=2021<7∣0∣∣,bt+b2-∖+-b202t=202l⅛∣0l∣,

所以原方程可变为2023—202IaK)UX+2021∕u=0,

由该方程有实数解可得(2021ακm)2-4x20212%u≥0即屋m≥46κm,

若要使方程Y—qx+4=O,(ZeN∖i<2021)无解，

则要使Δ=a：-bi<0,(/∈N∖i<2021),

22

设J∣=ɑ,=[α1+(I-1)rfl],(i∈M,i≤2021),

y2=4bi=4也+(Z-l)⅛],(z∈7V*,∕≤2O2l),

易得,为开口向上的抛物线的一部分，内为直线的一部分，

又i=1011时，M2%，

所以满足/的i的取值最多可有Iolo个，

即无实数解的方程最多有IoIO个.

故答案为：1010.

【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，考查了函数与方程思想及转化化归思想，属于中档

题.

三、解答题

7.(2019•上海市建平中学高三阶段练习)己知数列｛《,｝的前〃项和为S“，对一切正整数〃，

点七,(〃，S,)都在函数/(x)=V+2x的图像上，过点Pn(〃,S,,)的直线/斜率为左且与"X)=d+2x

的图像有且仅有一个交点.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设S=｛x∣x=g"∈N*｝,T=NX=2α,,,"∈N"｝,等差数列｛%｝的任一项％eSIT,其中£

是ST中的最小数，110</<115,求｛c,,｝的通项公式.

【答案】(1)a,,=2n+∖(2)cn=∖2n-6

【分析】(1)由点月(",邑)都在函数/("=9+2了的图像上可得2,的表达式，利用作差法可求

得乙，再检验”=1时表达式是否成立，即可求得数列何｝的通项公式；

(2)斜率心应为函数”x)过点匕(〃,S,,)的导函数的值，先化简集合S,T,可得5-7=7,结

合题意求得9,再由不等关系求得为,利用等差数列性质可求得公差"，进而求得卜“｝的通项

公式

【详解】(1)由题可知，S„=n2+2«,贝IJS,ι=("Ty+2(a7),"W2,由S,,-S.τ=α,,,“≥2可得

2

an=2n+∖,n≥2,S1=l+2×l=3=al,经检验符合”,,=2"+l表达式，故。“=2〃+1：

(2)/'(x)=2x+2,由题知K,=2"+2,"cN*,所以S=NX=2〃+2,〃eN*｝,

7'=｛x∣x=4"+2,"wN"｝,ST=T,由c“eSIT可得C“eT,

当〃=1,芭=4xl+2=6,故q=6,cfl=4HI+2,H1∈/V',110<ς0<115,故

4∕+2∈(110,115)=n,=28,4%+2=114,故CKI=II4,67ɪ⅛ZΞL=U±Ξ±=ɪ2,

ctt=6+12(∕ι-l)=12n-6

【点睛】本题考查函数与数列的转化，由S〃的表达式求〃〃，集合的交集运算，数列通项公式

的求法，综合性强，但难度不大，属于中档题

8.(2020•上海•高三专题练习)已知卬生，，均为等差数列，其中奇数项和比偶数项和大

15,且“20=3%,求4+々++a20∙

【答案】280

【分析】设等差数列的公差为d，由题得q+10d=15(1),2q+5d=0(2),解方程即得

q=-5,d=2,再求数列的和得解.

【详解】设等差数列的公差为d,

因为奇数项和比偶数项和大15,

所以-Iod+沏=15,.∖01+10d=15(1)

因为。20=349，所以q+19d=3(α∣+8"),r.2%+5"=°(2)

解方程(1)(2)得al=-5,d=2.

20x19

所以4+生++¾=20×(-5)+――×2=280.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的求和，意在考查学生

对这些知识的理解掌握水平.

9.(2021•上海师大附中高三期中)有下列三个条件：①数列｛。"-2｝是公比为T的等比数

列，②是公差为1的等差数列，③S“=在这三个条件中任选一个，补充在题中

"”处，使问题完整，并加以解答.

设数列｛4｝的前〃项和为5“，4=1,对任意的"∈N*,都有.已知数列也J满足

2=图”，是否存在使得对任意的"wN*,都有青吟？若存在，试求出k的值；若

不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【分析】根据等差、等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条

件，选取一个进行分析即可.

【详解】记I=:,从而有c,,≤Q("WN*).

选择①，数列何-2｝是公比为1的等比数列，

因为4=1，所以。,一2=-弓「，即4=2-

所以ςι=%=2］二2>0,所以4±L=-^_ɪɪ

1,jλ,,

⅛3''cn3(2-l)-

由3j2二"io2*。""当〃=1时，G=C-当"≥2时'ς,+l<ς,,

所以当〃=1或2时，％取得最大值，即向取得最大值.

所以存在&=1,2,使得对任意的〃eN*,都有含≤｝

选择②，方法一：是公差为1的等差数列，

因为q=ι,所以s,,="2,

当〃≥2时，5„_,=(Z?-1)2,

aSs22

贝n=n-,l-l=«-(«-1)=2H-1,

当”=1时,，上式成立，

所以%=2"-l.

所以G=青=(2”帽>0,从而U=怒斗

2(2"+l)<

由I<≠>2«>5<≠>n>—

3(2n-l)^2

c

所以当时，ς,tl>cn;当"≥3时,∏÷∣<%，

所以当〃=3时，c”取得最大值，即，L取得最大值.

所以存在％=3,使得对任意的"∈N,都有户，

方法二：利用“夹逼法”，即利用FjQ”来求解.

Iq≥CI

G+=(2"-l)gf,

由jk”(%≥2),得∖≤k≤<,解得k=3.

ICT22

选择③，方法一：Sn=2al,-∖,

则SN=21-1,

从而0,,+l=Sll+l-Sn=2a,,+l-l-(¼,-l)=¼,+,-¼,,

BP4,+∣=X.

又4=1,所以数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列,

所以/=2"1

it

所以q=m">0,从而⅞=g>ι,即总>ς1,

所以数列｛c,J为单调递增数列，

故不存在壮N*,使得对任意的〃€N*,都有?≤%

nk

方法二：利用JLqn0≤*求解.

%υk%Pk

贝卢=<

3,⅛2、TEj

因为SN*,所以不存在A∈N*,使得对任意的“eN*,都有自号.

【点睛】关键点点睛：本题属于开放性试题，选择不同的条件，,根据数列通项及单调性得到的

结论不同，关键点即复合数列单调性的判断.

10.(2022•上海市实验学校高三开学考试)对于有限数列｛a〃｝,P≤∕⅛∕V≥3,Λr∈N,,定

义：对于任意的〃W%4GN*,有

(1)5*(A)=∣aJ+∣a^∣+∣aj∣+-+∣a⅛∣；

(2)对于ceR,记/(A)=∣a∕-c∖+∖a2-c∖+∖a3-c∣+→∣aA-c∣.对于A∈N*,若存在非零常数。，

使得£(公=C(A),则称常数C为数列｛a〃｝的郊介。系数.

(i)设数列｛a〃｝的通项公式为q,=(-2)",计算9(4),并判断2是否为数列｛ari∖的4阶。系数；

(ii)设数列｛aa｝的通项公式为a〃=3〃-39,且数列｛a〃｝的那介。系数为3,求勿的值；

(iii)设数列彷〃｝为等差数列，满足-1,2均为数列｛a力的那介3系数，且65)=507,求必的

最大值.

【答案】(i)30,2是数列｛aα｝的4阶。系数;(ii)26;(iii)26.

【分析】(i)结合已知条件，利用等比数列求和运算即可；(ii)利用等差数列求和方法分别求

出S，(〃)和L5),结合已知条件运算即可；(iii)结合已知条件，构造新函数，并求出函数的零

点，根据函数性质可得到加的最大值.

【详解】⑴因为4=(-2)",所以Ia“1=2",故夕(4)=Iq|+|生|+血1+1%I=2"-2)=30,

1—2

因为L(4)=∣q-21+&-2∣+∣4-2I+I%-2∣=30=S*(4),

所以2是数列的4阶。系数；

(ii)因为数列｛凡｝的拉阶0系数为3,所以当c=3时，存在机，时L(m)=5*(⑼成立，

设等差数列｛4｝的前"项和，由a〃=3〃-39可得，S,,=-39"剋罗，

令0.≥0,则〃≥13,

3H(H÷1)

39/7-------------,∕?≤13,

故S*(〃)=八

CC3∕∕(∏+1),

-39/1H-------——-+546,n≥14.

设等差.数列｛〃“一3｝的前〃顶和为7；,%-3=3〃-42,贝也=-42〃+,

令4ZI-3≥0,则〃≥14,

3心+1)

42〃-------------,n≤13,

故L(n)=12

一42〃+---------,Ai≥14.

2

当∕n≤13时,显然L(∕n)WS*(m)；

当m≥14时，由S+(M=L(m),得•一39团+3皿"+°+468=~42加+'〃("+'+546,

22

解得机=26；

(iii)由题意可知，Iall+1生I+1/I++1I=I4+11+1々+11+1“3+11++∣α,"+l∣

=∣α,-2∣+∣α,-2∣+∣03-2∣++∣α,,,-2∣=507,

设数列｛““｝公差为d,构造函数/(x)hx-4l+∣x-2d∣+∣x-34∣++∣x-wJ∣-507,

故/(«„,+d)=II+1am-λI+1am-i1++1«,I-507=O,

同理/α+d+l)=0,/(¾j+J-2)=0,

即q“+d,am+d+∖,a”+d-2为/(x)的三个零点，

由函数/(x)的图像和性质，可知加为偶数，且满足

md,八,

-≤am+d-2<am+d<am+d+∖≤(y+l)<∕d≥3

解得，m2du,、r

/(一)=0——=507

I4

从而m≤26,

当数列a,,=3n-40,1≤“≤26且,zeN∙,可知当m=26时命题成立，

即机的最大值为26.

11.(2021•上海普陀•模拟预测)设数列｛“"｝的前"项和为S“，若对任意的