河北省石家庄市矿区中学2023年数学高二年级下册期末考试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知e为自然对数的底数，则函数y=xe'的单调递增区间是()

A.[-1,÷∞)B.(―∞,—1]C.[l,+oo)D.(―∞,1]

2.设曲线y=ax-ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()

A.0B.1C.2D.3

3.用反证法证明"∀JceR,2∙t>(TM,应假设()

λbΛ

A.3x0∈R,2<0B.Bx0∈R,2°<0

C.V%∈R,2A≤0D.瑞eR,2%>0

4.如图，设A、3两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A、C的距离是50m,ZACB=45，

NCAB=I05，则A、B两点间的距离为（）

5.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”；事件8：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则尸

（B/A）的值等于（)

1111

A.—B.-C.一D.-

18963

6.随机变量X的分布列为

X1234

P0.20.30.4a

则E(2X+0.2)=()

A.4.8B.5C.6D.8.4

23

7.(√3x-l)'=β0+alx+a2x-i-a3x,贝!)(/+%『一(《+/)?的值为()

A.2B.-2C.8D.-8

Il22

8.若a,beR,且M≠0,贝Hg)">(5)””是“方程三+1=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.如图，用5种不同的颜色把图中A、3、C、。四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共

C.240种D.180种

10.在_AgC中，BD=*BC,若AB=α,AC=Z?,则Ao=()

212,D.3』

A.-c2+-hB.—ciH—hC.—a——b

33333333

II.已知定义在R上的函数y=∕(χ)满足：函数y=/(x—1)的图象关于直线X=I对称，且当

;‹^(7,0),/(%)+4'(©<0成立(/'(X)是函数/(X)的导函数)，若

a=(sinɪ)/(sinɪ),b=(In2)f(ln2),c=2∕(∕og［；),则α,Z>,c的大小关系是()

A.a>b>cB.h>a>cC.c>a>hD.cι>c>h

12.在等差数列--中，若=4,.=2,贝!|=()

;“：°-•••：

A.-1B.0C.1D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.从字母。,4°,”,仇/中选出4个字母排成一排，其中一定要选出。和。，并且它们必须相邻(α在。前面)，共有

排列方法种.

14.若随机变量J的分布列如表所示，则。(24-1)=.

-101

ɪ

Pa2

4

15.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60°的概率为

sinA

16.在ΔA3C中，内角A，B,。满足3sinA=2sin2A,且2sin6=sinC,则，,、的值为______.

sιn(A+C)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

X=2cosa

17.(12分)在直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程为Vo.(α为参数)，以原点为极点，X轴正半轴为极

y—3sιnα

轴建立极坐标系，点。(2,彳］在直线/：QCOSe—psin8+m=0上.

(1)求曲线C和直线/的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C的相交于点4、B,求IPAl∙∣P8∣的值.

18.(12分)已知函数/(x)=In(I+x)-"在x=-g处的切线的斜率为1.

(1)求。的值及/(x)的最大值；

(2)用数学归纳法证明：1+，+，+…+!>ln(〃+

23n''

19.(12分)如图，四核锥P-ABCD中，ZABC=NBCD=9仃,△%£)是以AZ)为底的等腰直角三角形，

AB=2BC=2CD=4,E为BC中点，且尸E=√∏^.

(I)求证：平面，平面ABCr>；

(∏)求直线PE与平面Q43所成角的正弦值.

2TT

20.(12分)如图，三棱柱ABC-AIBlG中，平面ABC，平面AB=BC=AC=AAt=2,ZABB1=—.

(I)证明：ABLAiCi

(ID求直线与平面BBlC1C所成角的正弦值.

21.(12分)已知函数Ax)=］/—(α+i)χ2+40c+2,(α为实数).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若/(x)>-(a+∖)x2+2x∖nx+2在［l,e］上恒成立，求α的范围；

22.(10分)已知y=∕(x)在(0,+8)上有意义，单调递增且满足/⑵=Ij(盯)=∕(x)+∕(y)∙

⑴求证：/(χ2)=2"x);

⑵求/(1)的值；

(3)求不等式的/(x(x+3))≤∕(4)的解集

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

因y'=(l+x)/,故当x≥-1时y'=(l+x)e'≥O,函数单调递增，应选答案A。

2、D

【解析】

D

试题分析：根据导数的几何意义，即F(XO)表示曲线f(X)在X=XO处的切线斜率，再代入计算.

.∙.y'(O)=a-1=2,

：・a=l.

故答案选D.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

3、A

【解析】

根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项.

【详解】

根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，尸(Xo)成立的否定是使得P(Xo)不成立，即用反证法证明"∀X∈R,2*

>0”,应假设为mxoGR,2"≤0

故选：A.

【点睛】

本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意“改量词否结论”

4、A

【解析】

利用三角形的内角和定理求出NB=30，再利用正弦定理即可求解.

【详解】

由三角形的内角和可得NB=30，

AQAB

在ΔABC中，由正弦定理可得^——=二一

sinNBsinZC

所以AB=ACSin/C=2=(机)，

sinZB11)

2

故选：A

【点睛】

本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.

5、C

【解析】

利用古典概型的概率公式计算出P(43)和P(A),然后利用条件概率公式P(B∖A)=

P(AB)

γ7√可计算出结果。

P(A

【详解】

事件45:甲的骰子的点数大于3,且甲、乙两骰子的点数之和等于7,则事件AB包含的基本事件为(4,3)、(5,2)、

3

(6,1),由古典概型的概率公式可得P(AB)=-

6×6^12,

31

由古典概型的概率公式可得P(A)=57，

62

/I、P(AB)1

由条件概率公式得P(MA)=丁八=T^X2=工,故选：C.

r(/ɪlIZO

【点睛】

本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率，解题的关键在于条件概率

公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题。

6^B

【解析】

分析：先求出a,再求EX,再利用公式求E(2X+0.2).

详解：由题得a=1-0.2-0.3-0.4=0.1.

1+2+3+45

由题得工=

42

所以欧=lχθ.2+2χθ.3+3χθ.4+4χθ.l=2.4

所以E(2X+0.2)=2EX+0.2=2X2.4+0.2=5.故答案为：B.

点睛：(1)本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运

算能力∙(2)若77=a4+b(a、6是常数)，J是随机变量，则〃也是随机变量，Eη=E(aξ+b)=aEξ+b.

7、D

【解析】

3

试题分析：(√3x-l)=«+ax+ax2+axi,所以当时，

0{2iX=I(0-1)a0+al+a2+a3；当X=-I时,

(—ʌ/ɜ-1)=tz0—ai+a2-Cii>故

2+aa3

(tz0+tz2)一(α∣+%)?=(/+%2+%)(%-a↑+a2~iI=(-2)=-8

考点：二项式定理

8、B

【解析】

由指数函数的单调性可得。<匕；由椭圆方程可得0<α<匕，再由充分必要条件的定义，即可得到所求结论.

【详解】

解：若仕、<1Y

>—.则α<b,

22

若方程二+匕=1表示焦点在y轴上的椭圆，则h>a>O,

ab

/1Yf1Y22

即“上>上”是“方程上r+匕=1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.

^2√∖2Jab

故选：B

【点睛】

本题考查指数函数的单调性以及椭圆方程，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题.

9、D

【解析】

根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A、B、C、D按顺序着色，推出其

各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案.

【详解】

涂A有5种涂法，8有4种，C有3种，因为。可与A同色，故。有3种，

.∙.由分步乘法计数原理知，不同涂法有5x4x3x3=180种.故答案选D.

【点睛】

本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理.

10、A

【解析】

根据平面向量的线性运算法则，用AB、AC表示出发即可.

【详解】

AD^AB+BD^AB+-BC^AB+-(AC-AB^-AC+-AB

33v,33

21

即：A。=—α+4

33

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.

11、A

【解析】

由导数性质推导出当XG(-8,0)或XG(0,+∞)时，函数y=xf(x)单调递减.由此能求出结果.

【详解】

,：函数y=∕(χ-l)的图象关于直线χ=l对称，.∙.y=/(X)关于)'轴对称，二函数y=∙√'(χ)为奇函数.因为

[V(χ)T=∕(χ)+V'(χ),

.∙.当x∈(-∞,O)时,H(X)T=/(x)+矿(x)<O,函数y=v(x)单调递减，

当XG(O,+8)时，函数y=4(x)单调递减.

=

O<sinɪ<ɪ,1>ln2>ln>∕e=ɪ,log∣~20<sin—<In2<log1—,.∙.a>b>c>故选A

22224224

【点睛】

利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数

法则进行：如r(x)<∕(x)构造g(x)=4»,r(x)+∕(x)<0构造g(x)=e"(x),0∙'(x)<∕(x)构造

g(χ)=芈ɪ,∙V'(χ)+/(X)<0构造g(χ)=M'(χ)等

12、B

【解析】

在等差数列二.中，若.=4°,=2，则，解得=0,故选区

〜Bt%%cv=i(a：+ej=.;(4+o.)=2%

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、36

【解析】

从剩余的4个字母中选取2个，再将这2个字母和整体出J进行排列，根据分步计数原理求得结果.

【详解】

由于。。已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有C：=6种，

再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，

根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6x6=36种，故答案为36.

【点睛】

本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题.

11

14、

4

【解析】

先由分布列，根据概率的性质求出。，再求出期望，根据方差的计算公式，即可得出结果.

【详解】

由分布列可得：a2+a+-=l,解得a=',

42

所以E(O=TXg+Ox(+lx；=—1,

2

因此0(3=卜1+；XLnL2+L竺=U

414)432646416

所以。(2j-ι)=22g(g)=?.

故答案为：一.

4

【点睛】

本题主要考查求离散型随机变量的方差，熟记计算公式即可，属于常考题型.

15,ɪ

11

【解析】

正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60。，得共有12x8对对角线

所成角为60。，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60。的有48对，根据古典概型概

率公式求解即可.

【详解】

如图，在正方体A8Q7-A∕3∕Ge中，与上平面A//GQ中一条对角线4。成60。的直线有：

AlD,BιC,AlB,DlC,BCnADl,ClD,3∣A共八对直线，总共12条对角线;

二共有12x8=96对面对角线所成角为60°,而有一半是重复的；

.∙.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60。的共有48对.

而正方体的面对角线共有12条,

488

所以概率为：ɪ=-

C∣2ɪɪ

Q

故答案为A

【点睛】

本题考查正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本

题的关键.

16、√2

【解析】

利用二倍角公式得出CoSA=°,再利用正弦定理转化2sin3=SinC,后用余弦定理求得:=血，再利用正弦定理

4b

即可

【详解】

3

由3sinA=2sin2A得，3sinA=2(2sinAcosA),.∙.cosA=-

2sinjβ=sinC,根据正弦定理可得，2b=c,

⅛2+(2⅛)2-Λ2_3

根据余弦定理cosA=—

2b(2b)-^4

Ibc

b

sinA_sinA_。_后

sin(A+C)sinBh

【点睛】

本题考查解三角形中正弦定理进行边角转化，余弦定理求角，以及三角形中两角和正弦与第三角正弦的关系

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22r)(∖

17、(1)C：—+ɪ-ɪl;/：χ-j+2√2=0;(2)∣PA∣∙∣PBb-

4913

【解析】

(1)直接把曲线C的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C的普通方程，把P的极坐标代入直线方程求得机，结

合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线/的直角坐标方程；

(2)写出直线/的参数方程，把直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于f的一元二次方程，利用此

时t的几何意义及根与系数的关系求解.

【详解】

X=2cosaγ2v2

(1)由ɔ.(二为参数)，消去参数α,可得曲线C的普通方程为上+匕=1；

y=3sιna49

由在直线，：ρcosθ-ρsinθ+zn=l±,得一五-0+加=0，得加=20.

由X=pCOSe,y=psinθ,

J直线Z：ρcosθ-ρsinθ+∕π=l的直角坐标方程为x-y+2&=1;

(2)由⑴知直线/的倾斜角为个，P(-√2,√2),

x=—√Σ+立/

直线,的参数方程为＜/(t为参数)，

y=√∑+乌

I2

29

代入二+匕=1,

49

得：13∕2-21∕-21=1.

：.\PA\-\PB\=\tA-tB\=^.

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时f的几何意义的应用，是中档题.

18、(1)α=lj/(X)nux=O(2)见证明

【解析】

(1)求出函数的导函数，利用/'(-：)=1即可求出"的值，再利用导函数判断函数

的增减性，于是求得最大值；

(2)①当〃=1,不等式成立；②假设当〃=&时，不等式成立；验证〃=A:+1时，不等式成立即可.

【详解】

解：(1)函数/(X)的定义域为(-1,+8).求导数，得r(X)=」——a.

1+x

ɪ-------------α=]

由已知，得1J5)=l,即]+(」)，.∙.α=l∙

1—Y

此时/(x)=In(I+x)-x,f∖χ)=--------1=——，

1+x1+x

当T<x<O时，/'(X)>0；当X>O时,/'(X)<0.

...当X=O时，F(X)取得极大值，该极大值即为最大值,

"⅛ax=∕(O)=O;

(2)用数学归纳法证明:

①当”=1时，左边=I=Ine,右边=In2,...左边>右边，不等式成立.

②假设当“=Z时，不等式成立，即1+^+1++i>ln(⅛+l).

23k

E…1I11

那么1+—+—++—+>ln(k+1)H--------

23k1+14+1

由(1),知x>ln(l+x)(χ>-i,且XHo).

11

令X=,则>ln(l+=心

1+1k+∖k+i

∖ιc+2

.∙.ln(Z+1)H-------->In(Z+l)+ln-------=ln(k+2),

Z+1k+∖

,11+ɪd———>ln(⅛+2).

Λ1+-+-+

23kΛ+l

即当〃=左+1时，不等式也成立.

根据①②，可知不等式对任意〃eN*都成立.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求函数的最值，数学归纳法证明不等

式，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.

19、(I)见解析(II)

33

【解析】

(I)过P作AO垂线，垂足为尸，PE2=PF2+FE2^,NPFE=90°.又P尸_LAD,可得PbL平面ABCO,

即可证明.(∏)易得E到平面∕¾6距离等于尸到平面RS距离.过户作AB垂线，垂足为G,在APFG中，过户

作PG垂线，垂足为。，可证得：尺2,平面∕¾6∙求得：FQ=从而Sine=士旦=巫，即可求解.

3PE33

【详解】

(I)过P作AO垂线，垂足为尸，由PE?=PF?+FE得,ZPFE=90°.

又PF_LAD,二PE，平面ABCr),

ʌ平面PAD_L平面ABCD；

(II)TE∕3∕A6,.∙.E到平面∕¾6距离等于尸到平面2钻距离.

过户作AB垂线，垂足为G,在∆PFG中，过尸作PG垂线，垂足为Q,

可证得：尸QJ■平面

求得：FQ=显,从而Sine=丝=巫，

3PE33

即直线PE与平面∕½B所成角的正弦值为巫.

33

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求解、是中档题.

20、(I)见解析；(II)至

5

【解析】

TT

(I)如图做辅助线，D为AB中点，连A。，AtB,由A6C是等边三角形可知8,45,NBA4l=§,且AB=AA∣,

则加力4是等边三角形，ABlA1D,故ABL平面CD4∣,ACU平面Co4,那么ABLAC得证.(∏)建立空

间直角坐标系以D为原点，先根据已知求平面6CC∣g的一个法向量〃，再求向量44，设直线4B∣与平面6CC∣g

所成的角为α,贝Usinα=ICOS<44，〃>|,计算即得.

【详解】

(I)取AB中点D，连AD,48,因为AB=Be=AC=Λ41=2,ZBAAi=60

所以CDLAB,AB4。，所以AB，平面C。A因为4。u平面Coa

所以ABLAC.

(U)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

可得A(l,0,0),A(。，后。)，4(—2,6,0),c(θ,θ,√3),β(-L0,0)

设平面BCGBl的一个法向量为n=(x,y,z)

BBlF=O~x+ʌ/ɜʃ=O

则而,

BCH=OX+ʌ/ɜz=O

所以〃=(√3,1,-1).又44=(-2,0,0),设直线44与平面BCC国所成的角ɑ,

AB∙n2√3_√15

则Sina=CoS(A4，〃ii

MR√5∙2^5

【点睛】

本题考查两条直线的位置关系和立体几何中的向量方法，是常见考题.

21、(I)见解析；(∏)(ɪlnɜ-ɪ,+?)

44

【解析】

(I)求得函数的导数//幻=(X-2)(%-2α)令/(X)=0,解得χ=2或2α,根据根的大小三种情况分类讨论，即

可求解.

(II)依题意有;V-(α+I)X2+40r+2>-(α+1)/+2xlnjc+2在［l,e］上的恒成立，

1ɔ11,1

转化为“>-不V+Mx在［l,e］上的恒成立，设g(x)=--%2+-In%,x∈［l,e］,利用导数求得函数g(x)的单

ɪ乙乙L乙乙

调性与最大值，即可求解.

【详解】

(I)由题意，函数/(x)=(α+I)X-+4<xx+2,

贝!］f^x)=X2-2(α+1)%+4a=(X-2)(X-2a)

令/'(x)=0,解得χ=2或2α,

①当。=1时，有2α=2,有∕0>)=(x-2)2?0,故/(x)在R上单调递增;

②当。<1时，有24<2,/(x),/'(X)随X的变化情况如下表:

X(-8,2。)