高中数学北师大版练习第二章4-1第1课时函数奇偶性的概念

§4函数的奇偶性与简单的幂函数4．1函数的奇偶性第1课时函数奇偶性的概念水平11．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()2．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()3．奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.()4．若函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0.()5．若f(0)＝0，则函数f(x)是奇函数．()【解析】1.提示：×.反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．2．提示：×.函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．3．√.4．提示：×.比如：f(x)＝eq\f(1,x)是奇函数，但是f(0)不存在．5．提示：×.比如：f(x)＝eq\f(x,x＋1)满足f(0)＝0，但是f(x)是非奇非偶函数·题组一利用定义判断函数的奇偶性1．已知函数f(x)＝3x－eq\f(3,x)(x≠0)，则函数()A.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增【解析】选C.因为f(－x)＝－3x＋eq\f(3,x)＝－(3x－eq\f(3,x))＝－f(x)，又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增．2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)C.y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)【解析】选B.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).令y＝g(x).对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数；对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函数；对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，所以y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．3．下列函数为偶函数的是________(填序号).①y＝x2(x≥0)；②y＝(x－1)eq\r(\f(x＋1,1－x))；③y＝2；④y＝|x|(x≤0).【解析】对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又②中，由得定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；对于③，其定义域为R，且对∀x∈R都满足f(－x)＝f(x)＝2，故③是偶函数．答案：③·题组二函数的奇偶性的图象特征1．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是()A.f(－5)>f(3)B．f(－5)<f(3)C.f(－3)>f(－5)D．f(－3)<f(－5)【解析】选C.设0<x1<x2，则x1－x2<0，由eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，得f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以由－3>－5，可得f(－3)>f(－5).2．已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a－2，2a＋\f(1,3)))上的偶函数，则5a＋3b等于()A.eq\f(5,3)B．eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(2,3)【解析】选A.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1，所以b＝0.又f(x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a－2，2a＋\f(1,3)))，所以3a－2＋2a＋eq\f(1,3)＝0，所以a＝eq\f(1,3).故5a＋3b＝eq\f(5,3).3．(1)若f(x)为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最______(填“大”或“小”)值______．(2)若f(x)为奇函数，f(x)＋2在x∈[a，b]上有最大值M，则f(x)＋2在x∈[－b，－a]上有最________(填“大”或“小”)值________．【解析】(1)设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，所以f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M.因为f(x)为奇函数，所以－f(x)≤M，f(x)≥－M，且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M.所以f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(2)由(1)知，f(x)在[a，b]上有最大值M－2时，f(x)在[－b，－a]上有最小值－M＋2.所以f(x)＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.答案：(1)小－M(2)小－M＋4·题组三利用函数的奇偶性求函数的解析式、函数值1．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A.4 B．3 C．2 D．1【解析】选B.因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1).又g(x)是偶函数，所以g(－1)＝g(1).因为f(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4.②由①②得g(1)＝3.2．奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在(－∞，0)上f(x)的函数解析式是()A.f(x)＝－x(1－x) B．f(x)＝x(1＋x)C.f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(x－1)【解析】选B.设x<0，则－x>0，因为函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，所以f(－x)＝－x(1＋x)，又函数f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)，则当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).3．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，则f(－a)＝________．【解析】根据题意，f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq\f(x,x2＋1)是奇函数；故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)易错点一忽略定义域而出错1．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f(1)等于()A.1 B．3C.eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)【解析】选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1.于是f(1)＝3.2．下列函数中是奇函数的为()A.f(x)＝x3＋x5B.f(x)＝|x＋1|＋|x－1|C.f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)D.f(x)＝【解析】选A.对于A，函数的定义域为R.因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；对于B，f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数；对于C.函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，f(x)的定义域为R，当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，所以当x<0时不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x).故此函数是非奇非偶函数．【易错误区】“函数的定义域关于原点对称”是“函数为奇函数(偶函数)”的必要条件．易错点二忽略奇偶函数定义中的“任意”而出错1．函数f(x)＝|x|＋x的奇偶性为()A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选D.函数的定义域为R，因为f(1)＝2，f(－1)＝0，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．2．(多选)设Q表示有理数集合，已知函数D(x)＝，则下列判断正确的是()A.D(x)的定义域为RB.D(x)的值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))C.D(x)是偶函数D.D(x)是增函数【解析】选ABC.因为Q∪(RQ)＝R，所以定义域为R，因为D(x)只有两个函数值，所以值域为{0，1}，对于任意的x∈Q，－x∈Q，都有D(－x)＝1，D(x)＝1，对于任意的x∈RQ，－x∈RQ，都有D(－x)＝0，D(x)＝0，所以对于任意实数x，都有D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函数．所以ABC都是正确的．因为D(0)＝1>D(eq\r(2))＝0，所以D(x)不是增函数．所以D错误．【易错误区】用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，需要判断定义域内的“任意一个x”，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，不是只验证某一个或某几个．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1 D．y＝x－eq\f(1,x)【解析】选B.因为y＝x3在定义域R上是奇函数，故A不对；y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对；y＝x－eq\f(1,x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故D不对；B中y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A.－3 B．－1 C．1 D．3【解析】选C.令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1，因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1.3．已知f(x)＝x5－ax3＋bx＋2，且f(5)＝17，则f(－5)的值为()A.－13 B．13 C．－19 D．19【解析】选A.设g(x)＝x5－ax3＋bx，则g(x)为奇函数．f(x)＝g(x)＋2，f(5)＝g(5)＋2＝17.所以g(5)＝15，故g(－5)＝－15.所以f(－5)＝g(－5)＋2＝－15＋2＝－13.4．若函数f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)为奇函数，则a等于()A.1 B．2 C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】选C.由题意得f(－x)＝－f(x)，则eq\f(－x,（－2x＋1）（－x－a）)＝－eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)，当x≠0时，2x2＋(2a－1)x－a＝2x2＋(1－2a)x－a，所以2a－1＝1－2a，所以a＝eq\f(1,2).当x＝0时，也符合．所以a＝eq\f(1,2).5．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是()A.f(－1)＝0B.f(x)的最大值为eq\f(1,4)C.f(x)在(－1，0)上单调递增D.f(x)>0的解集为(－1，1)【解析】选AB.f(－1)＝f(1)＝0，A正确；当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，所以f(x)的最大值为eq\f(1,4)，B正确；f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上是减函数，C错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，D错误．6．(金榜原创题)(多选)设a是实数，关于函数f(x)＝2x2＋eq\f(3a,x)的性质正确的为()A.当a＝0时，f(x)是偶函数B.当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数C.当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上单调递增D.当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上的最小值为12【解析】选AB.因为当a＝0时，f(x)＝2x2，所以f(x)是偶函数．当a≠0时，f(－1)＝2－3a，f(1)＝2＋3a，所以f(－1)－f(1)＝－6a≠0，即f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数，因为f(－1)＋f(1)＝4，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)是非奇非偶函数．当a＝1时，在(－∞，0)上2x2是减函数，eq\f(3,x)也是减函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．当a＝2时，f(1)＝8<12，所以f(x)在(0，＋∞)上的最小值为12是错误的．二、填空题(每小题5分，共20分)7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在x∈[0，＋∞)上单调递减，所以f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0).答案：f(－2)<f(1)<f(0)8．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________．【解析】f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，因为1∈(0，2)，所以f(1)＝2×12＝2，所以f(7)＝－f(1)＝－2.答案：－29．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数．当x<0时，f(x)＝x2－4，则x>0时，f(x)的解析式为________，不等式f(x)<0的解集为________．【解析】当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－4＝x2－4，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝x2－4＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋4，即x>0时，f(x)＝－x2＋4.当x<0时，f(x)<0，即x2－4<0，解得－2<x<2，又因为x<0，所以－2<x<0；当x>0时，f(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因为x>0，所以x>2.综上可得，f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).答案：f(x)＝－x2＋4(－2，0)∪(2，＋∞)10．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，则函数f(x)，g(x)的解析式分别为__________________________________________．【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.答案：f(x)＝x2，g(x)＝2x三、解答题11．(10分)已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．【解析】(1)因为f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)，令x＝y＝0，得f(0)＝0＋0＝0，即f(0)＝0.令x＝y＝1，得f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)是奇函数．因为f(1)＝f[(－1)·(－1)]＝(－1)f(－1)＋(－1)f(－1)＝0，所以f(－1)＝0.对任意的x∈R，f(－x)＝f[(－1)·x]＝(－1)f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．【加练备选】已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证:f(x)是R上的减函数;(3)求f(x)在区间[3,3]上的值域;(4)若对任意x∈R,不等式f(ax2)2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.取y=x,则f(xx)=f(x)+f(x)=f(0)=0,所以f(x)=f(x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(∞,+∞),且x1<x2,则x2x1>0,f(x2)+f(x1)=f(x2x1)<0,所以f(x2)<f(x1).又f(x)为奇函数,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的减函数.(3)由(2)知f(x)在R上为减函数,所以对任意x∈[3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(3),因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=2×3=6,所以f(3)=f(3)=6,f(x)在[3,3]上的值域为[6,6].(4)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+f(2x)<f(x)+f(2),则f(ax22x)<f(x2),因为f(x)在(∞,+∞)上是减函数,所以ax22x>x2,当a=0时,2x>x2在R上不是恒成立,与题意矛盾;当a>0时,ax22xx+2>0,要使不等式恒成立,则Δ=98a<0,即a>QUOTE;当a<0时,ax23x+2>0在R上不是恒成立,不合题意.综上所述,a的取值范围为QUOTE.已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n