江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷

PAGE12022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分）下列运算中，正确的是(

)A.x6÷x2=x3 B.下列不等式变形正确的是(

)A.若a<b，则a−3<b−3 B.若−12a<3，则a<−6

C.若a>b，则3−2a>3−2b D.若在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离DE为(

)A.2

B.4

C.5

D.6七年级选修击剑课的学生共有20人，某天一女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的一半，若设该班女生人数为x，男生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是(

)A.x−y=20x−1=2y B.x+y=20x−1=2y

C.x−y=202(x−1)=y若方程组2x+y=3+ax+2y=−1−a的解满足x<y，则a的取值范围是(

)A.a<−2 B.a<2 C.a>−2 D.a>2如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是(

)A.∠C+∠ADE=95°

B.∠C−∠ADE=25°

C.∠C−∠ADE=35°

D.∠C=2∠ADE二、填空题（本大题共10小题，共20分）大金同学通过高尔夫球选修课知道高尔大球表面有300～500个凹洞，可以减少空气阻力，并增加球的升力，让高尔夫球飞得更远．凹洞的平均深度约为0.00025m，用科学记数法表示为______m.命题“三角形的外角和是360°”是______(填真、假)命题．计算：(−12)0若ax=12，ay=6，则a已知(m+n)2=7，(m−n)2=3已知a、b是二元一次方程组a−3b=63a+9b=5的解，则代数式a2−9b不等式3x−12+1≥2x的非负整数解是______．若不等式组x>1x<a有解，则a的取值范围是______．如图，AD是△ABC的角平分线，从下列四个条件：①AB=AC，②BD=CD，③∠ADB=90°，④∠BAC=90°中选一个条件，能使△ABD≌△ACD的有______.(填序号)

已知△ABC中，∠A=65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′=35°，则∠1+∠2+∠3=______°.三、解答题（本大题共10小题，共68分）(1)计算：(2a)3⋅(−3ab2)；

分解因式：

(1)ax2+2ax+a；

(2)(m+4)(m−4)+7(1)解方程组2x+3y=1x−2y=4．

(2)直接写出方程组2(x+1)+3(y−2)=1(x+1)−2(y−2)=4的解是______解不等式组：4x+6>1−x3(x−1)≤x+5，并把解集在数轴上表示出来．如图，在△ABC中，∠B=35°，点D在BC上，∠BAC=∠ADC，点E在AB上，

(1)若DE/​/AC，求∠ADE的度数．

(2)当∠BED的度数是______时，△BDE是直角三角形．定义一种运算：a∗b=a,a≥bb,a<b，请解方程：(2x−1)∗(1+x)=1−x(1)问题探究：已知a、b是实数，求证：a2+b2≥2ab．

(2)结论应用：已知m、n是实数，且已知：如图，AD、BF相交于O点，OA=OD，AB/​/DF，点E、C在BF上，BE=CF．

(1)求证：△ABO≌△DFO；

(2)判断线段AC、DE的关系，并说明理由．颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需200元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需260元．颜主任准备购买A、B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25，问：

(1)A、B两种奖品的单价分别是多少元？(用二元一次方程组解决问题)

(2)A种奖品至少买几个？(用一元一次不等式解决问题)

(3)在购买方案中最少费用是______元．【探究结论】

(1)如图1，AB/​/CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是______(直接写出结论，不需要证明)：

【探究应用】利用(1)中结论解决下面问题：

(2)如图2，AB/​/CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2=180°．

(3)如图3，已知AB/​/CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A选项，原式=x4，故该选项不符合题意；

B选项，原式=2x2，故该选项不符合题意；

C选项，原式=x6，故该选项不符合题意；

D选项，原式=−x3⋅x2=−x5，故该选项符合题意；

故选：D．

根据同底数幂的除法判断A2.【答案】A

【解析】解：∵a<b，

∴a−3<b−3，

∴选项A符合题意；

∵若−12a<3，则a>−6

∴选项B不符合题意；

∵若a>b，则3−2a<3−2b，

∴选项C不符合题意；

∵a<b，c=0时，ac2=bc2，

∴选项D不符合题意．

故选：A．

根据不等式的性质，逐项判断即可．

此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)3.【答案】B

【解析】解：∵BC=10，BD：CD=3：2，

∴BD=6，CD=4，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴CD=DE=4，

故选：B．

先求出CD的长度，根据角平分线的性质即可求出答案．

本题考查角平分线，解题的关键是求出CD的长度，本题属于基础题型．

4.【答案】D

【解析】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x−1=12y，即y=2(x−1)；根据某班共有学生20人，得x+y=20．

列方程组为：x+y=202(x−1)=y．

故选：D．

此题中的等量关系有：

①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；

②男生人数+女生人数=205.【答案】A

【解析】解：2x+y=3+a①x+2y=−1−a②，

①−②得：x−y=4+2a，

∵x<y，

∴x−y<0，

∴4+2a<0，

∴a<−2．

故选：A．

将方程组中两方程相减，表示出x−y，代入x−y<0中，即可求出a的范围．

此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x−y是解本题的关键．6.【答案】B

【解析】解：∵∠CED=105°，

∴∠AED=180°−∠CED=75°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，

∴∠C−∠ADE=(130°−∠A)−(∠105°−∠A)=25°，

故选：B．

先求出∠AED=180°−∠CED=75°，再根据三角形内角和定理可得∠C=180°−∠B−∠A=130°−∠A，∠ADE=180°−∠A−∠AED=105°−∠A，从而可得∠C−∠ADE=(130°−∠A)−(∠105°−∠A)=25°，即可求解．

本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用△ABC和△ADE的内角关系．

7.【答案】2.5×10【解析】解：0.00025=2.5×10−4，

故答案为：2.5×10−4．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n8.【答案】真

【解析】解：命题“三角形的外角和是360°”是真命题，

故答案为：真．

利用多边形的外角和进行判断即可．

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定理，难度不大．

9.【答案】5

【解析】解：(−12)0×(15)−1

=1×5

=5，10.【答案】2

【解析】解：∵ax=12，ay=6，

∴ax÷ay=12÷6，

11.【答案】5

【解析】解：∵(m+n)2=m2+n2+2mn=7①，(m−n)2=m2+n2−2mn=3②12.【答案】10

【解析】解：原方程组变形为a−3b=6a+3b=53，

∴a2−9b2=(a+3b)(a−3b)

=53×6

=10，

∴a2−9b13.【答案】0，1

【解析】解：整理得：3x−1+2≥4x，

移项得：−x≥−1，

系数化为1得：x≤1，

故不等式3x−12+1≥2x的非负整数解为0，1．

故答案为：0，1．

首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．

14.【答案】a>1

【解析】【分析】

此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键.根据题意，利用不等式组取解集的方法即可得到a的范围．

【解答】解：∵不等式组x>1x<a有解，

∴a>1，

故答案为a>1

15.【答案】①②③

【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD=AD，

∴①AB=AC，由SAS证明△ABD≌△ACD，正确；

②BD=CD，延长AD到E使DE=AD，可证△ADC≌△EDB，得AC=BE，再证AB=BE，证得AB=AC，从而可证△ABD≌△ACD，正确；

③∠ADB=90°，由ASA证明△ABD≌△ACD，正确；

④∠BAC=90°，不能证明△ABD≌△ACD，错误．

故答案为：①②③．

先由角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，再根据全等三角形的判定解答即可．

本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”.直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．本题也考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，角平分线定义．

16.【答案】265

【解析】解：由折叠知：∠B=∠B′，∠C=∠C′．

∵∠3=∠B+∠4，∠4=∠ADB′+∠B′，

∴∠3=∠B+∠ADB′+∠B′

=2∠B+35°．

∵∠1+∠2=180°−∠C′GC+180°−∠C′FC

=360°−(∠C′FC+∠C′GC)，

∠C′FC+∠C′GC=360°−∠C−∠C′

=360°−2∠C，

∴∠1+∠2=360°−(∠C′FC+∠C′GC)

=360°−(360°−2∠C)

=2∠C．

∴∠1+∠2+∠3

=2∠C+2∠B+35°

=2(∠C+∠B)+35°

=2(180°−∠A)+35°

=2(180°−65°)+35°

=265°．

故答案为：265°．

利用三角形的内角和定理的推论，先用∠B表示出∠3，再利用邻补角和四边形的内角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2+∠3．

本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“四边形的内角和是360°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．

17.【答案】解：(1)原式=8a3⋅(−3ab2)

=−24a4b2；

(2)原式=4x2+4x+1−(4x2−1)

=4x2【解析】(1)先算乘方，再算乘法；

(2)先展开，去括号，合并同类项，化简后将字母的值代入即可．

本题考查整式运算及化简求值，解题的关键式掌握完全平方，平方差公式及相关的整式运算法则．

18.【答案】解：(1)原式=a(x2+2x+1)

=a(x+1)2；

(2)原式=m2−16+7【解析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)原式整理后，利用平方差公式分解即可．

此题考查了因式分解−十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

19.【答案】x=1y=1【解析】解：(1)2x+3y=1①x−2y=4②，

①−②×2得：7y=−7，

解得：y=−1，

把y=−1代入②得：x+2=4，

解得：x=2，

则方程组的解为x=2y=−1；

(2)根据(1)中方程组的解得：x+1=2y−2=−1，

解得：x=1y=1．

故答案为：x=1y=1．

(1)方程组利用加减消元法求出解即可；

(2)20.【答案】解：4x+6>1−x ①3(x−1)≤x+5 ②，

由不等式①移项得：4x+x>1−6，

整理得：5x>−5，

解得：x>−1，…(1分)

由不等式②去括号得：3x−3≤x+5，

移项得：3x−x≤5+3，

合并得：2x≤8，

解得：x≤4，…(2分)

则不等式组的解集为−1<x≤4.…(4分)

在数轴上表示不等式组的解集如图所示，…(6分)

【解析】将不等式组的两不等式分别记作①和②，由不等式①移项，将x的系数化为1，求出x的范围，由不等式②左边去括号后，移项并将x的系数化为1求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．

此题考查了一元一出不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法(同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解)来找出不等式组的解集．

21.【答案】90°或55°

【解析】解：(1)∵DE/​/AC，

∴∠BED=∠BAC，

∵∠BAC=∠ADC，

∴∠BED=∠ADC，

∵∠BED=∠EAD+∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD，

∴∠ADE=∠B=35°；

(2)当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．

理由如下：

当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．

当∠BDE=90°，

∴∠BED=90°−35°=55°时，△BDE是直角三角形．

故答案为：90°或55°．

(1)根据平行线的性质可得∠BED=∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得∠ADE=∠B=35°；

(2)根据直角三角形两个锐角互余可得∠BED=90°−35°=55°，然后利用直角三角形定义即可得结论．

本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理．

22.【答案】解：∵a∗b=a,a≥bb,a<b，(2x−1)∗(1+x)=1−x3，

∴当2x−1≥1+x时，即x≥2，

则2x−1=1−x3，

解得x=47(不合题意，舍去)；

当2x−1<1+x时，即x<2，

则1+x=1−x3，

解得【解析】根据题意和新定义，利用分类讨论的方法，可以得到相应的不等式和方程，然后求解即可．

本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的思想解答．

23.【答案】(1)证明：∵(a−b)2≥0，

∴a2−2ab+b2≥0，

∴a2+b2≥2ab；

(2)解：∵m【解析】(1)根据完全平方公式即可证明；

(2)根据m2+n2≥2mn，依此可求24.【答案】(1)证明：∵AB/​/DF，

∴∠B=∠F，∠BAO=∠FDO，

在△ABO和△DFO中，

∠B=∠F∠BAO=∠FDOOA=OD，

∴△ABO≌△DFO(AAS)；

(2)解：AC=DE，AC/​/DE，理由如下：

∵△ABO≌△DFO，

∴BO=FO，

∵BE=CF，

∴EO=CO，

在△AOC和△DOE中，

AO=DO∠AOC=∠DOECO=EO，

∴△AOC≌△DOE(SAS)，

∴AC=DE，∠DAC=∠ADE，【解析】(1)由“AAS”可证△ABO≌△DFO；

(2)由全等三角形的性质可得BO=FO，可得EO=CO，由“SAS”可证△AOC≌△DOE，可得AC=DE，∠DAC=∠ADE，可得结论．

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

25.【答案】330

【解析】解：(1)设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，

依题意得：2x+4y=2005x+2y=260，

解得：x=40y=30．

答：A、B两种奖品的单价分别是40、30元．

(2)设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20−m)个，

∵A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25，

∴m≥25(20−m)，

∴m≥407，

又∵m为整数，

∴m=6．

∴A种奖品至少买6个．

(3)设购买总费用为w元，则w=20m+15(20−m)=5m+300，

∵5>0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=6时，w取得最小值，最小值=5×6+300=330．

故答案为：330．

(1)设A种奖品的单价为