高二数学北师大版必修5学案第二章解三角形本章知识体系

本章知识体系专题一正、余弦定理的应用1．正、余弦定理在解三角形中的应用应用正、余弦定理解题时，要熟练、准确地进行三角恒等变换，同时应注意三角形的一些隐含条件．【例1】设函数f(x)＝cos(x＋eq\f(2,3)π)＋2cos2eq\f(x,2)，x∈R.(1)求f(x)的值域；(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝eq\r(3)，求a的值．【思路探究】本题考查了三角函数的化简求值及解斜三角形的有关知识．对于(1)先把f(x)化简为Asin(ωx＋φ)的形式，再进行求值，(2)问可先求出B的值再利用余弦定理解决．【解答】(1)f(x)＝cosxcoseq\f(2,3)π－sinxsineq\f(2,3)π＋cosx＋1＝－eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋cosx＋1＝eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋1＝sin(x＋eq\f(5π,6))＋1.因此f(x)的值域为[0,2]．(2)由f(B)＝1得sin(B＋eq\f(5π,6))＋1＝1，即sin(B＋eq\f(5π,6))＝0，又因0<B<π，故B＝eq\f(π,6).由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或【例2】在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．【思路探究】(1)根据已知条件B＝2A，结合正弦定理求A的余弦值；(2)由cosA求得sinA，及sinB，cosB，从而求出sinC＝sin(A＋B)【解答】(1)因为a＝3，b＝2eq\r(6)，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(3,sinA)＝eq\f(2\r(6),sin2A)，所以eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(2\r(6),3)，故cosA＝eq\f(\r(6),3).(2)由(1)知cosA＝eq\f(\r(6),3)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(3),3).又因为B＝2A，所以cosB＝2cos2A－1＝eq\f(1,3).所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(2\r(2),3)，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(5\r(3),9).所以c＝eq\f(asinC,sinA)＝5.规律方法本题考查解三角形、三角恒等变换等知识；对于求三角形的元素问题，一般是利用正弦定理、余弦定理．第(2)小题，也可利用余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，利用解方程求解．2．三角形中的几何计算三角形中的几何计算实际体现了三角形的几何性质的应用．我们在利用正、余弦定理求解三角形问题时，是通过代数运算去判断三角形的边角关系．数形结合思想是通常情况下解决数学问题的途径，如果我们能从图形中寻找其几何关系，并构造相应的三角形，则几何图形之间的关系就可以转化为解三角形的问题解决．【例3】如图所示，已知∠MON＝60°，Q是∠MON内一点，它到两边的距离分别为2和11，求OQ的长．【思路探究】由Q点向∠MON的两边作垂线，则垂足与O，Q四点共圆，且OQ为圆的直径，由此可得OQ的长．【解答】作QA⊥OM于A，QB⊥ON于B，连接AB，则QA＝2，QB＝11，且O，A，Q，B都在以OQ为直径的圆上．∠AOB和∠AQB为同一弦AB所对的圆周角，且两角互补．∵∠AOB＝60°，∴∠AQB＝120°.在△AQB中，由余弦定理，得AB2＝AQ2＋BQ2－2·AQ·BQ·cos∠AQB＝22＋112－2×2×11×cos120°＝147，∴AB＝7eq\r(3).在Rt△OBQ中，OQ＝eq\f(OB,sin∠OQB)＝eq\f(OB,sin∠OAB).又在△AOB中，eq\f(OB,sin∠OAB)＝eq\f(AB,sin60°)，∴OQ＝eq\f(AB,sin60°)＝14.规律方法与多边形问题一样，其他的几何问题也可以转化为三角形问题，关键在于构造三角形(一般可以构造直角三角形)求解．本题的关键是通过过一点作角两边的垂线所围成四边形的对角互补，可知此四边形内接于一圆，OQ为圆的直径．3．判断三角形的形状判断三角形的形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时需注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系，如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)等；二是利用正、余弦定理化角为边(如sinA＝eq\f(a,2R)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)等)，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．【例4】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．【思路探究】解决本题有两种方法：一是将角化成边，一是将边化成角．【解答】解法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.即A＝120°－C，代入上式，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC.整理，得eq\f(\r(3),2)sinC＋eq\f(1,2)cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°，∴C＝60°，∴A＝60°.∴△ABC为正三角形．解法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°且b＝eq\f(a＋c,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝a2＋c2－2accos60°.整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为正三角形．规律方法在边角混合条件下判断三角形的形状时，可考虑将边化角，从角的关系判断；也可考虑将角化边，从边的关系判断．4．解三角形中蕴涵的思想方法(1)函数与方程思想函数的思想就是运用变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，在具体问题中把变量之间的关系用函数表示出来，然后用函数的观点研究问题．方程的思想在解决问题时，可以用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值．正弦定理、余弦定理在一定条件下都可以看作方程，从而可求出所需要的量．【例5】如图所示，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶．汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与公路距离为300千米的海上M【思路探究】此类题属于相遇问题，一般的解法是构造一个三角形，然后利用正、余弦定理解此三角形即可．【解答】如图所示，设快艇从M处出发，以v千米/小时的速度，沿MN方向行驶，t小时后与汽车在N处相遇．在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt，MQ是M到ON的距离，即MQ＝300.设∠MON＝α，由题意知sinα＝eq\f(3,5)，则cosα＝eq\f(4,5)，由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f(4,5)，v2＝5002×eq\f(1,t2)－2×500×80×eq\f(1,t)＋1002＝(500×eq\f(1,t)－80)2＋3600，当eq\f(1,t)＝eq\f(80,500)，即t＝eq\f(25,4)时，veq\o\al(2,min)＝3600，即vmin＝60，所以快艇必须至少以60千米/小时的速度行驶，才能把物品送到司机手中．此时MN＝60×eq\f(25,4)＝15×25.∵MQ是M到ON的距离，且MQ＝300，设∠MNO＝β，则sinβ＝eq\f(300,15×25)＝eq\f(4,5)，则α＋β＝90°，∴MN与OM成90°角．(2)分类讨论思想当数学问题不能用统一形式解决时，可以把已知条件的范围划分为若干个子集，在各个子集内分别讨论问题的解，然后综合各类解得到原问题的答案，这种解决问题的思想方法叫分类讨论思想方法，如正弦定理的证明(对直角三角形、锐角三角形、钝角三角形逐一讨论，并将锐角三角形和钝角三角形转化为直角三角形)，解三角形中解的个数等，通过讨论，将不可能的或与题设条件不相符的逐一排除，从而得出正确结论，讨论时要做到不重不漏．【例6】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以10海里/小时的速度向正北方向行驶，而甲船同时以8海里/小时的速度由A【解答】设甲、乙两船经过t小时后相距最近，且分别到达P，Q两处，因乙船到达A处需2小时，(1)当0≤t≤2时，如图(1)．在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2－2AP·AQcos120°)＝eq\r((20－10t)2＋(8t)2－2(20－10t)8t(－\f(1,2)))＝eq\r(84t2－240t＋400)＝2eq\r(21t2－60t＋100).(2)当t>2时，如图(2)．在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20.∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2－2AQ·APcos60°)＝2eq\r(21t2－60t＋100).综合(1)(2)可知PQ＝2eq\r(21t2－60t＋100)(t≥0)，∴当t＝eq\f(30,21)＝eq\f(10,7)时，PQ最小．∴甲、乙两船行驶eq\f(10,7)小时后，相距最近．(3)化归与转化的思想在有关三角形的边角关系式证明等问题中，经常要利用正弦定理或余弦定理进行“化边为角”或“化角为边”；在解决实际问题中的角度、高度问题时，也常建立数学模型，将实际问题转化为数学问题求解，故要掌握这两类问题中的转化思想．【例7】△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，试判断△ABC的形状．【思路探究】本题需先对已知条件进行三角恒等变换，然后选择定理进行边与角的互化，进而判断出三角形的形状．思维流程图：【解答】由已知eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)＝eq\f(2cos2C,2cos2B)＝eq\f(cos2C,cos2B)＝eq\f(bcosC,ccosB)，知eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c).以下有两种解法．解法一(利用正弦定理边化角)：由正弦定理得eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(sinB,sinC)，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B，或2C＋2B＝∴B＝C，或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二(利用余弦定理角化边)：∵eq\f(b,