2023届高考前复习2-4分类与整合思想中的九种题型 （解析版）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案(上海地区专用))

专题2.4分类与整合思想中的九种题型

题型一：导数及其应用

一、填空题

1.(2022秋•上海长宁•高一统考期末)已知函数/(x)=:+∣2x-α∣;若存在相异的实数

x∣,χ2W(Y°，。)，使得/&)=/(%)成立，则实数"的取值范围是.

【答案】(-∞,-√2)

【分析】去掉绝对值得到分段函数，分别讨论“≥0∖a<0,结合函数的导数研究单调性，再通

过存在性进行求解.

【详解】fω

①当α≥0,XCo时，ʃ(ɪ)=-2x+a,f(x)=—^-―2<0,

则/(X)在(-∞,0)单调递减，不满足题意(舍)；

2x+——a-≤x<0

X92

②当“<0,XVo时,fM='

当x<∙^时，Γ(x)=-^-2<0,F(X)在;-8,9单调递减，

且/(x)>呜),；

当W≤x<O时，由/(χ)=2-4=0,得X=一立，

2X2

当卜今即α≥-√∑时，∣≤-^<0.则/(x)≤0恒成立，

则不满足题意(舍)；

当H号,即”_应时，^≤x<0,则/3在单调递增，

在卜日'O)单调递减，且对于任意与€仁，-孝)，/(%)>/("，

则满足存在相异的实数力,Λ2e(γ,0),使得/(Xl)=/(W)成立，

所以α<-√Σ.

故答案为：(γ,-√∑).

二、解答题

2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e'sinx(e是自然对数的底数).

(1)设S(X)=e*-∕(x),χ∈θ,ɪ,求证：0≤s(x)41;

(2)设g(x)="x)-以,若o<α<3,试讨论g(x)在(0,π)上的零点个数.(参考数据

e2≈4.8

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.

【解析】(1)求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证明结论成立即

可；

(2)由于/(x)=e'(sinx+cosx)-α,令∕ι(x)=g<x),可求得MX)在(0,目上单调递增，在

上单调递减，再对的∙0<4≤l,l<"<3两类讨论，求得g(x)在(0㈤上的零点个数.

【详解】解：(1)证明：S(X)=e=/(X)=e'(l-sinx),

贝I」s'(X)=e"(l—SinX—COSx),令人(X)=I—SinX-COSX,χ∈0,-∣,

则I(X)=-COSX+sinX=忘Sin(X-显然&'(x)在0,1递增，

/(o)=τ,陪卜1，陪)=。,

故Xeα小时，％'(x)<0,MX)递减，尤eg,5时，Y(X)>0,

MX)递增,

故MXLTW)=I-应<。，而M°)=°,佃肛

故Z(x)≤O在Xe[o蜀恒成立，即MX)4O在Xe"引恒成立，

故S(X)在0,|递减,故S(X)3=S⑼=I-SinO=I,s(x)πIin=SO=—(I)=。，

故O≤s(x)≤l;

(2)由已知得g(x)=e*sinx-αx,r.g[x)=eX(SinX+cosx)-α,令〃(X)=g"),则

ΛZ(X)=2CACOSX,

x∈(0,π),x∈^O,y^∣⅛,Az(x)>O,XW(I,π)时,Λz(x)<O,

二∕z(x)在(Ogj上单调递增，在(5,nJ上单调递减.

g,(0)=l-α,g,(π)=-eπ-α<O,

①当l-4≥O,即O<4≤l时，F(O)≥0,二噌)>0,

使得9(Xo)=。，

.∙.当Xe(O,/)，g,(⅞)>0,

当Xe(Xo,π)时，g,(x)<O,

∙∙.g(x)在(O,xo)上单调递增，在(x0,π)单调递减；

g(0)=0,.∙.g(%)>0,

又∙g(兀)=-颂<0,；,由零点存在定理得，此时g(χ)在(0㈤上仅有一个零点，

②若l<a<3时，g'(0)=l-α<0,

又9(对在„上单调递增，在。，兀)上单调递减，又g'(j=e'4>O,

.∙.3¾e(θ,∣Yx2efeπ∖使得g<x1)=O,√(¾)=0,

,

且当Xe(O,xj、Xw(X2,π)时,g(x)<O,当XWa,%)时,√(x)>0,

g(X)在(0,王)和(X2,兀)上单调递减，在(5)单调递增.

g(0)=0,.∙.g(5)<0,⅞Q=e2-^α>e2-y>0,

.∙.g(¾)>0,又g(π)=TOTe0,

由零点存在定理可得，g(x)在(和当)和(々㈤内各有一个零点，

即此时g(χ)在(0,兀)上有两个零点,

综上所述,当0<α≤l时,g(x)在(0,π)上仅有一个零点,

当l<α<3时，g(x)在((U)上有两个零点.

【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点个数，属于难题.

知识点总结：零点存在性定理：若“力在［α,b］上连续且单调，若有〃0)∙"b)<0,则必然存

在Xo∈(α,b),使/(J⅛)=0.

3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃尤)=YInX

(1)求f(χ)的最小值；

(2)若加>0,讨论/O)在区间(w,+∞)上的单调性；

【答案】(l)-ɪ

2e

(2)答案见解析.

【分析】(1)求导，利用导数判断判断原函数单调性和最值；

(2)结合(1)中的单调性，分”］>eT和0<"7<e—两种情况讨论函数单调性.

【详解】⑴/(x)的定义域为(0,+∞),∙.∙∕'(x)=x(21nx+l),令/'(X)=O得χ=eT,

当JV∈0,e^2时，Γ(x)<0,则/(%)在0,”匕单调递减；

∖√\)

当x∈e2,+oo时，f∖χ)>0,则/(X)在e2,÷∞上单调递增；

\/\

(-∩1

ʌfM=fe2.

minIJ2e

(2)由(1)可得：/(x)在上单调递减，在e-i,+∞上单调递增，则有：

当〃7≥e^时、则人幻在⑺，+8)上单调递增；

当0<m<∕时，则“幻在机3［上单调递减，在卜凡+8上单调递增；

综上所述：当相>eT时，f(x)在(见招>)上单调递增；当0<nz<eT时，/3在机，e”上单调递

\7

(_\\

减，在e^S+∞上单调递增.

k7

4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数"x)=αr3-3∕+l-a(α∈R,αHθ),求函数F(X)的

极大值与极小值.

343

【答案】/(χ)极大值τ-7"H极小值=-/-%+1

【分析1先求/'(X)=O的值，发现需要讨论”的正负，分别判定在/'(X)=O的点附近的导数的

符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值.

【详解】解：∕,(x)=30r2-6x=3x(αr-2),(α≠0),

,、?

令r(χ)=o,则X=O或一,

当”>0,随着X的变化，((x)与“%)的变化情况如下:

2

X(-∞,o)0

陷a12[

/'(X)+0—0+

极大极小

ʃ(ɪ)

值V值

所以/(X)极大值=/⑼=I-5/3极小值=，(务加;

U∖C</C<C4

当4<0时，随X的变化，/'(X)与/(X)的变化如下表:

2

X0(0,+8)

[W)aW

/M)—0+0—

极小极大

/(x)

值Z值、

所以“X)极大值=〃°)=弓，"x)极小值=F(£|='

343

综上所述，/(χ)极大值=1一7/(χ)极小值=-∕-7+L

Qγ

5.(2022•全国•高三专题练习)已知函数〃X)=岛，g(x)=bsinx,曲线y="x)和

y=g(x)在原点处有相同的切线/.

⑴求6的值以及/的方程；

(2)判断函数MX)=/⑴-g(x)在(0,+e)上零点的个数，并说明理由.

【答案】(1)6=1,/的方程：y=χ.

(2)MX)在(0,+8)上有1个零点，理由见解析.

【分析】(1)根据曲线y=∕(χ)和y=g(χ)在原点处有相同的切线/,则可知斜率相等，进一

步求出b的值以及/的方程；

(2)函数零点即是图象与X轴的交点，需要用导数的方法研究函数MX),其中要进行二次求

导，运用零点存在性定理说明函数NX)的零点情况.

9

【详解】⑴依题意得：r(x)=Q百，g'(x)=6cosx∙

∙,J'(o)=g'(o)"=ι,

.,力=ι,/的方程：y=χ.

Tr4YQ

(2)当时，--=3----->l>sinx,MX)>°，此时〃(*)无零点.

2x+3x+3

当0<x<]时，〃,⑺=CYoSX

令H(X)=^JjT-COSX,xe］θ,?

则而l+sinx,显然"(X)在(o,IJ上单调递增，

又"(0)=-∣<0,唔)>0,所以存在.(O,"使得H'(r)=O,

因止匕可得O<x<f时，H'(x)<0,“(X)单调递减；

f<x昔时，H,(Λ)>0,，(x)单调递增；又H(O)=O,”仁)>0

所以存在λ｛局，使得"(λ)=0,

即O<x<λ时,H(X)<0,A,(x)<O,MX)单调递减;

λ<x<^［⅛,W(x)>0,Λ,(x)>O,∕z(x)单调递增；

又MO)=O,人图>(),所以砍x)在卜吟)上有一个零点.

综上，砍司在(。,+8)上有1个零点.

【点睛】本题考查导数几何意义、函数的零点、用导数研究函数的单调性以及零点存在性定

理，知识考查较为综合，对学生是一个挑战，属于难题.

题型二：三角函数与解三角形

1.(2022•上海•高三专题练习)若AX)在区间

〃上的最大值存在，记该最大值为K｛。｝,则满足等式K｛［0,α)｝=3∙K｛［α,20I｝的实数a的取值集

合是.

【答案】

【分析】先确定/(χ)在区间［0,G上有最大值5且TqM)，因此/O)在区间网上的

最大值为立.然后按AX)在X=。处或X=勿处取最大值也分类讨论，数形结合，进而可得结

33

果.

【详解】依题意可知，/(X)在区间［0,α)上有最大值必然为6,且所以/(X)在区

间［。,2可上的最大值为日.

(1)若“X)在x=α处取最大值且，即_述.“+36=走，解得α=等，此时

3π39

=所以“=学适合题意；

9o9

(2)若/(X)在x=2α处取最大值立，即tan24=W,解得。=?，此时〃>萼，所以。=与

3312912

适合题意.

综上可知，α的取值集合是［萼,二］.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于确定/(X)在区间[0,α)上有最大值G,且

。€序号)’进而可得/3在区间[”，2句上的最大值为空

2.(2022•上海市松江二中高三开学考试)某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染

状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标/0与时间f(单位：小时)之间的关系

的函数模型："f)=g(r)+∕+2α,问0,24),其中g(/)jin(切18|),代表大气中某

类随时间/变化的典型污染物质的含量，参数”代表某个已测定的环境气象指标，且“e1θ,'.

现环保部门欲将/⑺的最大值M(α)作为每天的大气环境综合指数予以发布.

⑴求g(f)的值域;

(2)若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0,请求出M(α)的表达式，并预测该

市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由.

tz+-,0≤≤—

612

【答案】(I)©；]：(2)M(G=ι73,不会超标，理由见解析.

【分析】(1)由题设可得最”18∣∈[0,・],理由正弦函数的性质求g(f)的值域即可.

(2)令∕=g(∕)+!∈d3,讨论的大小关系求出∕ι(M=∣"-α∣+勿的分段函数形式，在讨

论α的范围求对应M(q)表达式，并判断M(∙)的值域，由其最大值与2的大小关系判断是否会

超标.

⑴由题设，∣r-18∣∈[0,18],则却一18∣∈[O,争,

所以g(f)=轲图I昨呜],即喇的值域为吗.

(2)由(1)知：〃=g(f)+!e[]m，∣Jl∣Jh{μ)=/(r)=∖μ-c^+2a,

336

一…

所以〃(〃)=、∖u^-a,μ≥a，

∖3a-μ,μ<a

当OWaWg时，人(〃)=〃+α在日岛上递增，故Ms)=力(3=4+3；

33666

r1

3α-χ∕,-<μ<a

13在［〃垓］上

当<α≤严〃(〃)=<此时在g,α)上M(α)=叫=3α-g,

5

μ-va,a<μ<-O

M(t?)—〃(竟)=4+,；

51

ClH—,一

63

而==0得：a=-f故Mg)=1

36612ɔ1

57

6Z+-,0≤a≤一

612-易知：恒成立，故该市目前的大气环境综合指数

综上，M(")~173M(α)<2Q

3a——,—<a≤-

3124

不会超标.

题型三：平面向量

一、单选题

1.(2022•全国•高三专题练习)已知向量α=(l,2x),6=(0,2),则丝的最大值为

a

()

A.2y∕2B.2C.√2D.1

【答案】D

【分析】根据题意可得丝=4L,分x≤0和x>0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出

a74χ-+7l

答案.

【详解】解：由向量α=(l,2x),⅛=(0,2),

/口a`b4x

得了R，

当X≤O时，一—≤O,

a

ab_4x4

当X>O时，24x2+1~Γ

a4x+-

X

当且仅当4xj即T时，取等号,

练上粤的最大值为L

Cl

故选：D.

二、解答题

2.(2023春•上海闵行•高二校联考阶段练习)我们称〃(〃eN*)元有序实数组(％,x2,,匕)为

〃维向量,∣∙η∣+∣¾∣++同为该向量的范数,已知W维向量d=(%,j⅛,•,丁),其中

X,.∈{-l,O,l},∕≈1,2,n,记范数为奇数的〃维向量。的个数为4,这4个向量的范数之和为

BK.

⑴求&和生的值；

(2)求的值；

⑶当”为偶数时，证明：纥=〃∙(3"L1).

【答案】(1)4=4,约=4

⑵三

2

(3)证明见解析

【分析】(1)根据新定义计算即可；

(2)类比(1),结合排列组合的知识，二项式定理，求解人⑼即可;

(3)类比(2)的考虑方法，可得A,=C∙2"+C>2i++cr∙2,

,,

纥=(〃T)CJ2"T+(〃-3>C>2"-3++q-'∙2,由二项式定理可得A；3-l,根据组合数的

2

运算性质化简纥得解.

【详解】(1)范数为奇数的二元有序实数对有：(1,0),(-1,0),(0,1),(0.-1),

它们的范数依次为1』,1,1,

A2=4,B2=4；

(2)当〃为奇数时，在向量ɑ=(∙η,%,%)的“个坐标中，

要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，

.,.可按照含0个数为0,2,4,,〃-1进行讨论：

。的“个坐标中含0个0,其余坐标为1或T,

共有C：-2"个，每个α的范数为“；

4的〃个坐标中含2个0,其余坐标为1或-1,

共有C,"一个，每个。的范数为〃-2；

4的"个坐标中含n-l个0,其余坐标为1或T,

共有cr'∙2个，每个4的范数为1；

.∙.A,,=C^2"+C∙-2"-2++C;n'-2,

π,,n2

(2+l)=Cθ∙2+C^∙2^++C"-'-2+C"t,

(2-1)"=Cθ∙2,,-C^∙2"-2++(-1),,C",

γɪ1

两式相加除以2得：AY2+CA++-2=丁

_32。23+1

,.4()23=2.

(3)当〃为偶数时，在向量〃=(5,々，鼻，，x")的”个坐标中，要使得范数为奇数，贝IJO的个数

一定是奇数，所以可按照含0个数为：1,3,…进行讨论：α的〃个坐标中含1个0,其余坐标

为1或T,共有C∖∙2"T个，每个α的范数为〃-1；

。的“个坐标中含3个0,其余坐标为1或T,共有C>2"τ个，每个α的范数为〃—3；

4的”个坐标中含〃T个0,其余坐标为1或T,

共有C<∙2个，每个。的范数为1；所以A,,=C∙2"T+C>2"-3++CT∙2,

B,,=(M-1)∙C>2n^'+(〃-3)C∙N-++C7∙2.

因为(2+ɪ)"=C-2"+C：∙2"-'+C;-2"++C；,①

(2-1),,=Cθ∙2"-C],∙2"-'+C；•2"-2-+(-irc；；,②

n

①一②得，C'll-2~'+C：∙2"τ+=ɪ-ɪɪ

22

所以4=h二1

2

思路一：因为n("∕C=5叫•顼台硅=〃喘,&)!=&,

所以O=(ZIT∙C∙2"T+("-3)G∙2"-3++Cf2

=MeT∙2"T+C>2"-3+y∙2)

24

=2n(cL1∙2-+CLl∙2"-++<；)

=2"∙p^≡l)="∙(3"'-l).

思路二：口詈得，C∙2"+C∙2"-2+=号.

又因为Qi∙Ii⅛Γ"∙忌器矿心,

所以AC=h及⅞⅛="∙(J标2心‹-：

,3,,3

=n(c'll∙2"-'+C：∙2,^++C7.2)-©∙2"τ+3∙C：∙2^+∙+(〃-1)∙C'∣-2)

=M-MCW.27+…+C[[2)="∙仔尹一若耳="0τ-l)

【点睛】关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组

合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题.

3.(2022春•上海徐汇•高一上海中学校考期末)我们学过二维的平面向量，其坐标为

A=(M2)&eR%=l,2),那么对于〃(〃eN*,〃Z2)维向量，其坐标为

a=(tl,t2,L,tn)(fkwRk=1,2,L,〃).设”(〃eN"≥2)维向量的所有向量组成集合

An=[a∖a=(ti,t2,W),<teR,%=l,2,,〃}.当上收声上,幻&e{0,l},A=l,2,L,〃)时，称为Al

的“特征向量”，如A2=⅛=(rm),kRM=l,2}的“特征向量”有4=(0,0),a2=(0,l),

UllUIUUU

a3=(∣,0),设a=(χ∣,Λ⅛,L,%)和P=(y∣,y2,L,y“)为A,的“特征向量”，定义

k,4=g[(%+yTXLm)+(%+%一区-%I)+L+(X“+%-卜-y,,∣)].

⑴若α,β≡A3,且2=(1,1,0),7=(0,1,1),计算向鼻，向耳的值;

IiaUUI国斗

(2)设B=A且8中向量均为4的“特征向量”，且满足：Vα,βeB,当&=£时，

为奇数；当时，向/为偶数.求集合B中元素个数的最大值；

⑶设BqA,("wN',心2),且B中向量均为A,,的“特征向量”，且满足：匕，‰B,且

α≠∕时•，日,力=0.写出一个集合B,使其元素最多，并说明理由.

|11国I∣lfιr∣、

【答案】(1)卜,α∣=2,卜,4=1；(2)4；(3)B={z(0,0,,0),(l,0,,0),,(0,0,,1)).

【分析】(1)根据定义直接计算即可得出答案；

(2)根据题意，得仅有1个1或3个1,再分仅有1个1时•，仅有3个1时，αeg,peB2时，三种情

况分类讨论即可得出结论；

(3)根据αx∕7时，向力=0,则*®+e)=t∣αi∣,得(知幻只有3种情况,

I=I/=I

(0,0),(1,0),(0,1),且(1,0),(0,1)成对出现，从而可得出答案.

illHi1.-

【详解】解：(1)k,q=5[(1r+1)+(1+1)+(z0+0)]1=2,

卜闻=g[(ι+o-∣I-OI)+(1+1Tl-ι∣)+(o+ι-∣o-1∣)]=1；

(2)设£=(4,42，/，%)，夕=(〃也也也)，ai,hi∈{0,l},Z=1,2,3,4,

3=》时，k，4=卬+。2+4+4为奇数，贝IJ仅有1个1或3个1,

l4

=5工(4+2-血-用)为偶数，

RZ<=1

①当仅有1个1时，S(q+b,)=2,为使融I为偶数，

/=!

则ZIq-M=2,即不同时为1,

/=I

此时餐={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},共4个元素，

②当仅有3个1时,,&+幻=6,为使向4为偶数,

i=l

则i>i∣=2,即4也不同时为0,

/=I

此时4={(1,1』,0),(1,1,0,1),(1,0,1,。,(0,1」」)},共4个元素，

③当tze综广时，则向力=1,不符题意，舍去，

综上所述，集合B中元素个数的最大值为4；

UU

⑶Va=(XI,J⅞,L,4)，夕=(如必1,y,),

a”时，KM=。，则Sm+e)=t∣4f∣,

i=∖i=∖

则Q,伪)只有3种情况,(0,0),(1,0),(0,1),且(1,0),(0,1)成对出现,

所以肿最多有〃+1个元素，β={(o,o,,o),(ι,o,,0),,(0,0,,1)).

【点睛】本题主要考查了向量的新定义及集合间的关系，考查了分类讨论思想及分析问题的能

力，难度较大.

题型四：数列

1.(2022•上海•高三专题练习)若数列{叫,也}的通项公式分别为4=(-1)"M2°α,

/.yι+2OI9

4=2+口----且凡<々对任意〃eN*恒成立，则实数。的取值范围为()

n

A.[-2,1)B.-2,C.一D.[T,l)

【答案】B

【分析】由可得分别讨论〃为奇数和〃为偶数的情况，即可求解.

/[\“+2019(1\

),+2020

【详解】因为“,,<2,则Qi)*网+-----gp(-l)^+-J<2,

因为对任意"CN*恒成立，

当“为奇数时，。>-2—4,贝4-2-']<-2,所以。之一2：

当〃为偶数时,"2」,则(2」]=2-U所以

nIn)min222

故4e-2,∣^>

故选:B

【点睛】本题考查由数列的不等式恒成立问题求参数范围,考查分类讨论思想.

2.(2020•上海闵行•一模)已知各项为正数的非常数数列{4}满足。向=4%,有以下两个

结论:①若«3>出，则数列｛4｝是递增数列；②数列｛4｝奇数项是递增数列则

()

A.①对②错B.①错②对C.①②均错误I).①②均正确

【答案】D

【解析】按照4>1和0<4<l分类讨论，分别判断①②即可得解.

【详解】•.｛4｝为各项为正数的非常数数列，.・.«,>0HMX1,

⑴当4>1时，显然｛4｝为递增数列，①②均正确；

2a

⑵当O<α∣<l时，a2=ay"'∈(al,l),<¾=αl°∈(a1,αl'),不满足①的前提的>生；

¾=a∖,∈(a∣a2,α∣u,)=(¾,¾),%=靖e(q%,4"')=(4,α4),

依此类推，%ie(45%y),"uw(%τ,%)即偶数项递减，奇数项递增.

故选：D.

【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.

3.(2022•上海•高三专题练习)已知函数/(x)=Y∙sinx各项均不相等的数列｛x,,｝满足

∣x,∙∣≤5(i=l,2,3,,〃).令尸(〃)=(%+%+L+X,,)∙[∕(XI)+∕(X2)+L+/(x,,)]("eN").给出下列三个

命题：(1)存在不少于3项的数列｛x,,｝,使得产(〃)=0；(2)若数列*“｝的通项公式为

X.=(-；)"(〃eN*)，贝UF(2%)>0对％∈N*恒成立；(3)若数列｛%｝是等差数列，贝I」尸(")≥°对

鹿eN*恒成立，其中真命题的序号是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

π

【解析】由题意，函数/(x)=∕∙sinx是奇函数，只需考查函数在Xe0,-的性质，此时

y=f,y=sinx都是增函数，所以/(X)=Fsinx在XWO,∣∙上也是增函数，即玉+々*。时，

(xl+x2)∙[∕(xl)+∕(x2)]>O,对于(1),-^≤Λ1=-X3≤pX2=0,即可判断；对于(2),运

用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于(3),运用等差数列求和公式，

及不等式的性质，结合函数/(x)的单调性，即可判断；

【详解】由题意得/(-尤)=(一丫)%皿-》)=-*飞沿*=--1),所以/(x)=f∙sinx是奇函数，只

TT

需考”函数作Xe0，彳的性质，此小jy=『，.V=Sinx都是增函数，所以J(X)=asin”：

7TTT77"TTTT

Xe0，-上也是增函数,即函数/(X)=Fsinx在Xe上也是增函数,设西,％e-5巧

若占+々<0,则王<-%，∙∙∙∕(xj</(-%)=-f(w),即/(玉)+/(工2)<0

若Λ1+W>O,则%>-々，∙∙∙∕(XI)>∕(-W)=—/(占)，即/(χj+∕(w)>o

所以X1+X2HO时,(XI+Λ⅛)∙[∕(X∣)+∕(X2)]>0,

TTTr

对于(1),取-5≤X∣=-W≤2,*2=O，F(3)=(玉+X2+X3>"(x∣)+f(X2)+f(X3)]=0，故(I)

正确；

则尸"UI+"T=-4sin2a+sinα

=-8Sinacosα+Sina=Sina(1—8cosa)

又ZeNZ知OVa≤-,贝IJSina>0,cos—≤cosa<l,贝Ij-7<1—8cosa≤1—8cos—,

444

八π(πππ.π.πJ2+J3I

Qcos—=CoS------冗-、=cos-cos—+sin-sin—=------------->-,

12U4)343448

又y=cos%在］θ,ɪI上单减，二.cos'>cosɪ,即COSL>［，1-8cos,v0

V2；412484

(1Y2ATz1、2攵

.∙.sinα(l-8cosa)vθ,即一4Sin—I+SinQJ<0则f(jτ)+∕(∙⅛)<0,

由女的任意性可知，/(X)+∕0⅛)+L+f(x2k)<0,

Xxl+x2+L+x2k<0,所以尸(2%)=(x∣+占+L+∙⅛)∙"(x∣)+∕(x2)+L+/(∙⅛)]>0,故(2)正

确；

对于(3),数列是等差数列，

若++X,=0,则尸(")=0;

若%+x,,>0,即Λ,>-X,,又/(X)是奇函数也是增函数有fa)>/(-x,,)=-f(x,)，可得

/^1)+∕⅛)>0;同理：

若通+%一I>0,可得/(。)+/(%)>。；

若覆+⅞-2>0，可得/*3)+∕U,-2)>0:

LL

相加可得：若%+9+L+x,,>0,可得/(X∣)+∕(X2)+L+F(X,)>O,即尸(〃)>0；

同理若为+W+L+弓<0,可得/(玉)+/(乡)+1+〃/)<0,即F(〃)>0,故(3)正确：

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考

查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推

理能力与运算求解能力，属于难题.

4.(2022•上海•高三专题练习)对于数列｛4｝,如果存在最小的一个常数T(TeN*),使得

对任意的正整数恒有4+T=4成立，则称数列｛q｝是周期为T的周期数列.设

m=qT+r∖m,q,T,r≡N^,数列前机,7,厂项的和分别记为鼠,Sr,S,,则S三者的关系式

—;已知数列｛《,｝的通项公式为".=l"-13∣,那么满足为+q”++&u9=102的正整

数k=.

【答案】Stn=qSτ+S,左=2或A=5

【分析】利用前利用前"项和的定义展开，然后每T项分一组，最后剩下「项，结合周期数列

的性质即可求得S,,=赘7+S,；

先求出｛4｝的前〃项和，然后将问题转化为S*s-s*τ=102,通过讨论左≤13与A>13两种情况

下求得方程的根，即可得到k的值.

【详解】(1)因为数列｛4｝是周期为7的周期数列，m=qT+r,则

S,"=(q+4++aτ)+｛a^τ+a^τ++a2τ)++(a^(q_l)T+a2+(q_l)T++aqτ)

+(α∣+<∕T+a2+qT^*^+ar+qT^=焚？+Sr,

所以SM=gSτ+s,.

故答案为：Sιn=qSτ+Sl..

.-fl3-H,π≤13

⑵因为勺=∣l"i3∣,所以〃〃=(

所以当〃≤13时，｛q｝的前〃项和为S,,=生不，

当〃>13时，｛%｝的前“项和为5“=几+(1+〃一；)5-13)_3(〃2_25〃+312)；

满足％+/++4+19=102,

即4+α*+ι++%i9=S*+[9^^5*τ=1°2,⅛∈N*.

而=g[(∕+19了-25(⅛+19)+312]=∣(⅛2+13⅛+I98),

127

(1)当％—1≤13时，Sl=—耳左~+"ɪk—13,

1127

所以Sjt+19—Sk_]=—(Λ*^÷13Λ+198)—(—―⅛^^13)=102,

解得％=2或&=5；

2

⑵当k—1>13时，Sk,t=l[(fc-l)-25*-1)+312]=g(公-27%+338),

；

所以SM9-SJ=；(二+13k+198)-(公-27%+338)=102,

解得Z不是整数，舍去.

故答案为：A=2或A=5.

【点睛】此题两个小问，第一小问解题的关键是弄清楚数列求和的定义，利用定义将各前〃项

和求出化简即可；第二小问通项公式中含有绝对值符号，所以需要用到分类讨论的思想，分别

求出k.

5.(2022•上海师大附中高三阶段练习)已知｛4｝是公差为d3>0)的等差数列，若存在实

sinx1+sinx2+sinx3÷+sinA9=0

数A，马满足方程组:则〃的最小

4sinx1+a2sinx2+a3sinx3++%sinx9=25

值为—

【答叫

【分析】把方程组中的%都用的和"表示，求得"的表达式，根据三角函数有界性可得出答

案.

【详解】解：把方程组中的%都用应和"表示得：

M-4√)sinx1+(%—3d)sin/+(¾-2J)sinx3+...+(^5÷4J)sinj⅞=25,

把SinN+sin/+…+sin/=0代入得：

,25

d=~~^~∖~^^■~~~~~~■■■^^.,

-4sinX1一3SinX2-2sin%3-sinx4+sinx6+2sinx7+3sinx8+4sinx9

要使d最小，则-4SinXI-3sin%+…+4SinX9要最大，

因为sinxλ+sinx2+...+sin=0,

所以SinX5=O，

sinJC1=sinx2=sinx3=sinx4=-l,sinx6=sinx1=sin∕=SinK9=1时分母取最大值20

所以公

4

所以"的最小值为3.

4

故答案为：I

6.(2022•上海杨浦•二模)已知a为实数，数列｛〃“｝满足：①4=。；②

,,,3

¾+1=<^若存在一个非零常数TeN,,对任意〃eN*,*=。“都成立，则

称数列｛6｝为周期数列.

(1)当。=3时，求α∣+%+%+%的值；

(2)求证：存在正整数〃，使得0≤α,,43;

⑶设S,,是数列｛凡｝的前〃项和，是否存在实数a满足：①数列｛凡｝为周期数列；②存在正奇数

k,使得&=2%.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)8(2)证明见解析(3)存在，2

【分析】(1)根据题意分别求出勾，/，％，4，即可得解；

(2)当α>3时，=4,-3.可知在数列｛α,｝中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列

｛4｝是以。为首项，-3为公差的递减的等差数列.写出通项公式，可得当〃足够大时，总可以

找到〃，使040,,43,当"≤3,易证得0≤%43;

(3)分α<3和α>3两种情况讨论，结合(2)可得当α>3时，不合题意，再根据当α≤3时，

数列的周期性，即可得出结论.

(1)解：当”=3时，αl=3,α2=4-3=1,<23=4-1=3,α4=4-3=1,

所以q+4+4+%=8；

⑵证明:当4>3时，an+l=an-3,

所以，在数列｛““｝中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列｛《,｝是以。为首项，-3为公差的

递减的等差数列，

即all=α+(n-1)(-3)=α+3-3〃，

所以，当“足够大时，总可以找到〃，使0≤q≤3,

当α=3时，则存在〃=1,使得0≤%≤3,

当”3时，则存在〃=1,使得04α,,43,

综上所述存在正整数〃，使得0≤α,≤3;

(3)解：当α≤3时，a,,a2=4-ai,a3=al,ali=4-α1,

故此时数列｛«„｝是以2为周期的周期数列，

当α>3时，贝!|4>3,

由(2)得，存在正整数〃，使得0≤q,≤3,

因此此时不存在不存在““=4，

所以此时数列数列｛可｝不是周期数列，

所以时，数列｛为｝是以2为周期的周期数列，

aλ=a,a2=4-a9

所以S2,,+∣=〃(4+02)+4=4n+a,

又因品=24,

所以4"+a=2(2"+l),

所以4=2,

所以存在α=2,使得S=2k.

7.(2022•上海宝山•一模)已知函数/(幻=2-IX无穷数列&｝满足=/&),neN*.

(1)若q=2,写出数列｛6』的通项公式(不必证明)；

(2)若q>0,且4,出，％成等比数列，求4的值；问｛凡｝是否为等比数列，并说明理由；

⑶证明：%,L,%,L成等差数列的充要条件是q=l.

2,〃为奇数

【答案】⑴4=o,〃为偶数;

⑵q=ι,为等比数列；4=2+也，不为等比数列，理由见解析；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据递推关系写出前几项，直接得到通项公式；

(2)o<q≤2时•，由％,松，4成等比数列可求出q=ι判断数列即可，q>2时同理可求出

α,=2+√2,由等比数列定义判断即可；

(3)结合(2)先证明充分性，再分别讨论q≤O,0<q≤2,%>2证明必要性即可.

【详解】(1)因为4,+1=/(4),所以生=°，。3=2,。4=0，

_J2,〃为奇数

所rrιq’"'To,W为偶数；

,.Ii,IE(O<W≤2)

⑵因为。2=2-同=2-〃],%=2-同=2-|2-《|=<4—Q›2).

当0<4≤2时，由a；=a1X%=(2-4)2=a；nq=1,

所以q=a2=a3=1,

所以4=1,即%=1为等比数列；

当q〉2时，由a；=qx%=>(2-aJ2=a](4-ajnq=2+V∑(q=2一夜舍)，

所以4=-V2,¾=2-Λ∕2,¾=Λ∕2,

因为幺=W=H幺=邛∖

%2-∙∖∕2g-V2

所以数列不是等比数列；

综上，当0<q≤2时，｛凡｝是等比数列，当q>2时，｛““｝不是等比数列：

⑶充分性：当4=1时，由⑵知q=1,此时｛凡｝为等差数列；

必要性：当4≤0时，七=2+4，所以"=々一％=2,

所以，数列为递增数列，

易知，存在q>0,此时”=4"+|-4“=2-2a,,,<2,与d=2矛盾，舍去；

当0<a∣42时，由2%=&+<⅛n2(2-q)=2q=>a∣=1,所以4=%=%="

所以，J=I,即4=1为等差数列;

当q>2时，由2%=4+%n2(2-q)=a∣+(4-a∣)nq=0与4=1不符，舍去；

综上，q,出，L,%,L成等差数列的充要条件是q=l.

【点睛】方法点睛：注意在涉及数列的证明求解过程中，分类讨论方法的应用，本题求解过程

一定要分别考虑a的范围对解题的影响，分为0<q≤2,q>2,q≤0去考虑问题即可.

8.(2022•上海•高三专题练习)对于数列｛%｝,若存在WWN*,使得々…=4对任意

1≤A≤2能—都成立，则称数列代｝为“机-折叠数列”.

(1)若％=|25”-200|(〃eN"),判断数列｛。“｝是否是“俄-折叠数列”，如果是，指出加的

值，如果不是，请说明理由；

(2)若斗=∕("∈M),求所有的实数4,使得数列｛%｝是3-折叠数列；

(3)给定常数p∈N*,是否存在数列｛怎｝,使得对所有机eN*,代｝都是P"-折叠数列，且

｛x,,｝的各项中恰有0+1个不同的值，请说明理由.

【答案】⑴｛/｝是“用-折叠数列"，加=8；(2)g=0或4=1或夕=-1；(3)存在，证明

见解析.

【分析】(1)结合给的定义列出关于加的方程，判断方程是否有解，可判断数列｛%｝是否是

“〃”折叠数列”，

(2)根据题中的定义，列方程得到(Aj*=q*,再讨论4是否为O可得出结果，

(3)只需列举出例子即可证明，结合定义，数列卜“｝的图像有无数条对称轴，可联想三角函

数求解，设%=Cos工X,结合三角函数的单调性与周期性即可证明

P

【详解】解：(1)若存在a∈N*,使得Zi=々对任意l≤A≤2m-1(A∈N*)都成立，可知数列

｛x,,｝在1≤"≤2∕〃-1内关于"=%对称即可，