数值积分-补充知识1

数值微积分Newton-Cotes

型求积公式复化求积公式Gauss型求积公式数值微分引言

求函数在给定区间上的定积分，在高等数学教程中已给出了许多有效的方法。但在实际问题中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出；或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时，我们就需要利用函数在这些节点上的信息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值积分的概念和方法。关于积分如果已知f(x)=F’(x),则根据牛顿-莱布尼兹公式可以得到：但是，在计算中会遇到以下情况：都不宜直接用Newton-Leibniz公式计算。这时可以考虑近似求解。1）.原函数无法求出，如：2）.y=f(x)由离散数据给出(xi,yi),i=0,1,…,n3）.F(x)可以求出，但太复杂，如采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数f(x)

的近似函数p(x)

,即：则可以得到：下面我们将给出两种计算方法：1）.等距节点的牛顿-柯特斯型求积公式。2）.非等距节点的高斯型求积公式。§2.Newton-Cotes型求积公式则可以构造出n次Lagrange插值多项式：

相应的函数值为：yk=f(xk),k=0,1,2,…,n对于定积分将区间[a,b]n等分,节点为：对f(x)=Ln(x)+Rn(x)两端在[a,b]上积分,得到:令：忽略Rn[f]便可以得到积分的近似表达式：误差为：为了给出具体计算公式，令则由xi=a+ih,xk=a+kh得到从而误差由：及x=a+th,xk=a+kh得到令：则得定积分的近似计算公式：这时:我们称此公式为Newton-Cotes型求积公式。其误差为：下面再总结一下Newton-Cotes型求积公式的推理过程。针对等距分点处的函数值：对于积分得到：由变换：得到对f(x)=Ln(x)+Rn(x)两端在[a,b]上积分,得到:从而得到Newton-Cotes型求积公式：

在具体计算时，可以取定n=1，2，3，4。此时，还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、Cotes公式等，下面给出具体的计算格式。一、梯形公式(n=1)由系数得到于是即：关于误差可由得到设f(x)∈C2[a,b],则由积分中值定理得:于是，得到梯形求积公式及其误差为为了估计误差限，设则得到二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）由系数得到得到即设f(x)∈C4[a,b],则可得抛物型公式的误差为若记则有抛物线(simpson)求积公式及误差为抛物线公式梯形公式Cotes求积公式例4.1用梯形公式，Simpson公式和Cotes公式求积分解:利用梯形公式利用Simpson公式得利用Cotes公式得而原积分为相对而言，Cotes求积公式精度最高，梯形求积公式精度最低。2.N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？3.如何由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差？

4.练习：分别用梯形、抛物型公式计算下列积分并估计误差限。数值微分

用函数y=f(x)的离散数据近似的求出函数在节点处的微分值，称作数值微分。

一、Taylor展开法为求出y=f(x)在某点x0处的导数值f’(x),可以利用函数在此点以及前后两点的函数值:

通过Taylor展式进行近似计算。(xi,yi

),i=0,1,2,…,n这时得到这样可以得到一阶向前差商数值微分公式

误差为这样可以得到一阶向后差商数值微分公式由误差也为O(h)再由Taylor展示得到一阶中心差商数值微分公式

误差为二阶中心差商数值微分公式为误差为

例4-12对于函数y=f(x)在如下点的函数值

xi-0.100.1yi0.904810.1052试分别用一阶向前、向后、中心差商公式计算,

解：三种公式计算一阶导数值分别为

用二阶中心差商公式计算.

用二阶中心差分公式计算上表数据表示的是由函数f(x)=ex

给出,其准确值为：

可见，用一阶中心差商公式求一阶导数更准确一些。

下面再看另一种求导数的方法。二、插值法求微商两边关于x求导数，得到

用函数y=f(x)的离散数据先求出n次Lagrange插值多项式将节点xk带入，并由：于是，便可以得到函数在节点处一阶导数的近似值误差为得到由及对于可知可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确对于插值型数值微商公式根据插值节点的不同，可以给出不同的计算公式：1.一阶两点微商公式(n=1)由及得到于是我们称为一阶两点微商公式,误差为O(h).2.一阶三点微商公式(n=2)由得到误差均为3.二阶三点微商公式(n=2

)由得到误差分别为总结一下，两点、三点数值微商公式：一阶两点微商公式一阶三点微商公式二阶三点微商公式

例4-13对于函数y=f(x)在如下点的函数值

试分别用两点、三点数值微分公式计算x=2.7处函数的一、二阶导数值。解：h=0.2时

xi2.52.62.72.82.9yi12.182513