重庆市城口县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)

-2024学年重庆市城口县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）。在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）下列四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．我 B．爱 C．飞 D．中2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝33．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2）4．（4分）下列运算中正确的是（）A．2a3﹣a3＝2 B．2a3•a4＝2a7 C．（2a3）2＝4a5 D．a8÷a2＝a45．（4分）如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝（）A．47° B．35° C．37° D．53°6．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝ B．＝3 C．3x﹣1＝ D．＝37．（4分）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．如图图形中能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的是（）A． B． C． D．8．（4分）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（）A．1 B．9 C．16 D．219．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58° B．64° C．61° D．74°10．（4分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（）个①的展开式中的系数是9②（a﹣b）7的展开式为：a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7③5810﹣16能被28整除A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）如图，已知∠1＝∠2，利用“SAS”加上条件，可以证明△ADB≌△ADC．12．（4分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为．13．（4分）抖空竹是我国独有的民族体育运动之一，作为一种中国古老的技艺，有着悠久的历史和传统，2006年，抖空竹被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．如图1，小亮同学用数学抽象思维绘制出如图2，已知AB//CD，∠B＝21°，∠D＝37°，则∠E的度数是．14．（4分）计算：＝．15．（4分）一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是．16．（4分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为．17．（4分）若三角形三边长分别为3，4，|a|，且a满足关于x的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）设a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b，十位与个位的数字之和等于b﹣1，则称这样的数为“b级收缩数”．例如正整数2634中，因为2+6＝8，3+4＝7＝8﹣1，所以2634是“8级收缩数”，其中b＝8．最小的“4级收缩数”是；若一个“6级收缩数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是．三、解答题（19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，﹣2）．（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，并写出C′点的坐标；（2）求△A′B′C′的面积．20．（10分）（1）因式分解：9a﹣a3；（2）解分式方程：．21．（10分）计算：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）；（2）．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB上一点，满足BD＝BC．（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接DE，证明：AD＝CE．证明：∵，∴∠CBE＝∠DBE，在△BCE与△BDE中，，∴△BCE≌△BDE（SAS），∴CE＝，∠BDE＝∠C＝90°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠A（），∴∠CBA＝×90°＝45°，∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴，∴AD＝CE．23．（10分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．24．（10分）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批腊肉每件进价多少元？（2）王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出70%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润＝售价﹣进价）25．（10分）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD，（1）如图1，求证：AC＝BD；（2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5m，EF＝9m，请求出池塘宽度AC．26．（10分）将两个等腰直角△ABC与△EFC如图放置，AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°．（1）如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段BC于点G，点D是线段AB的点，满足AD＝DF，∠BDF＝30°，求∠BCF的度数；（2）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，连接MC，求证：BE＝2CM；（3）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图3时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，CE＝12，AC＝23，BE＝17，四边形ABEF面积为668时，直接写出点A到CM的距离．参考答案与解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）。在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）下列四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．我 B．爱 C．飞 D．中【解答】解：A，B、C选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x的取值范围是：x≠3．故选：C．3．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2）【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：C．4．（4分）下列运算中正确的是（）A．2a3﹣a3＝2 B．2a3•a4＝2a7 C．（2a3）2＝4a5 D．a8÷a2＝a4【解答】解：A、2a3﹣a3＝a3，故此选项错误；B、2a3•a4＝2a7，故此选项正确；C、（2a3）2＝4a6，故此选项错误；D、a8÷a2＝a6，故此选项错误；故选：B．5．（4分）如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝（）A．47° B．35° C．37° D．53°【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠CAB＝90°，∵∠C＝53°，∴∠B＝90°﹣∠C＝37°，∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝37°．故选：C．6．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝ B．＝3 C．3x﹣1＝ D．＝3【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．7．（4分）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．如图图形中能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，大正方形减去小正方形的面积为a2﹣b2，两个长方形的面积之和为（a+b）（a﹣b），可以验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故A选项符合题意；B．最大的正方形面积为（a+b）2，两个较小的正方形面积分别为a2、b2，两个长方形的面积之和为2ab，不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故B选项不符合题意；C．最大的正方形面积为a2，两个较小的正方形面积分别为（a﹣b）2、b2，两个长方形的面积之和为2b（a﹣b），不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故C选项不符合题意；D．大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，四个长方形的面积为4ab，不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故D选项不符合题意；故选：A．8．（4分）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（）A．1 B．9 C．16 D．21【解答】解：∵a+b＝5，ab＝1，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×1＝25﹣4＝21，故选：D．9．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58° B．64° C．61° D．74°【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝122°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，故选：B．10．（4分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（）个①的展开式中的系数是9②（a﹣b）7的展开式为：a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7③5810﹣16能被28整除A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由（a+b）n计算规律可得，（m+）9＝（+m）9的展开式中，字母部分因式依次为，，，…，∴含的为第二项，又由“杨辉三角”可知，（a+b）n的展开式中第二项的系数为n，∴（m+）9的展开式中含的项为，故①正确；由（a+b）n计算规律可得，（a﹣b）7＝a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7，故②正确；∵5810﹣16＝（585+4）（585﹣4），而585﹣4＝（56+2）5﹣4＝565+5×564×2+10×563×22+10×562×23+5×56×24+25﹣4＝565+5×564×2+10×563×22+10×562×23+5×56×24+28，∴5810﹣16能被28整除，故③正确；∴正确的有①②③，共3个；故选：D．二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）如图，已知∠1＝∠2，利用“SAS”加上条件AB＝AC，可以证明△ADB≌△ADC．【解答】解：∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴当添加AB＝AC时，△ADB≌△ADC（SAS）．故答案为：AB＝AC．12．（4分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为7×10﹣7．【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．故答案为：7×10﹣7．13．（4分）抖空竹是我国独有的民族体育运动之一，作为一种中国古老的技艺，有着悠久的历史和传统，2006年，抖空竹被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．如图1，小亮同学用数学抽象思维绘制出如图2，已知AB//CD，∠B＝21°，∠D＝37°，则∠E的度数是16°．【解答】解：∵AB//CD，∴∠AFE＝∠D＝37°，∵∠B＝21°，∴∠E＝∠AFE﹣∠B＝16°．故答案为：16°．14．（4分）计算：＝﹣10．【解答】解：原式＝﹣1﹣9＝﹣10．故答案为：﹣10．15．（4分）一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是1260°．【解答】解：设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于40°，∴n＝360÷40＝9，∴这个多边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°．故答案为1260°．16．（4分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为±16．【解答】解：∵4x2+ax+16＝（2x）2+ax+42，∴ax＝±2×2×4x＝±16x，解得m＝±16，故答案为：±16．17．（4分）若三角形三边长分别为3，4，|a|，且a满足关于x的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是8．【解答】解：根据题意，得，解不等式①，得﹣7＜a＜7，解不等式②，得a＞1或a＜﹣1，∴原不等式组的解集为﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7．解分式方程，得x＝，∵≥0，∴a+4≥0，∴a≥﹣4；∵x＝1是原分式方程的增根，∴a≠﹣2．∵﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7，∴﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，综上，﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≥0，且a+4≠2，∴0≤a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≠2，∴a+4＝0、6、8或10，∴a＝﹣4、2、4或6，﹣4+2+4+6＝8，∴所有满足条件的整数a的值之和是8，故答案为：8．18．（4分）设a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b，十位与个位的数字之和等于b﹣1，则称这样的数为“b级收缩数”．例如正整数2634中，因为2+6＝8，3+4＝7＝8﹣1，所以2634是“8级收缩数”，其中b＝8．最小的“4级收缩数”是1303；若一个“6级收缩数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是2432．【解答】解：∵是“4级收缩数”，∴b＝4．∵求最小的“4级收缩数”，∴千位数字可选数字1，∴百位数字为3．∵十位与个位数字的和为3，∴十位可选最小的数字0，∴个位数字为3．∴最小的“4级收缩数”为：1×1000+3×100+0×10+3＝1303；设“6级收缩数”的千位数字为x，十位上的数字为y，则百位数字为6﹣x，个位上的数字为5﹣y．∵千位数字与十位数字之积为6，∴（不合题意，舍去）或或或．∴“6级收缩数”为6014或2432或3323．∵这个数能被19整除，上述3个数只有2432是19的整数倍，∴“6级收缩数”为：2432．故答案为：1303，2432．三、解答题（19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，﹣2）．（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，并写出C′点的坐标；（2）求△A′B′C′的面积．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．C′点的坐标为（1，﹣2）．（2）△A′B′C′的面积为＝＝．20．（10分）（1）因式分解：9a﹣a3；（2）解分式方程：．【解答】解：（1）9a﹣a3＝a（9﹣a2）＝a（3+a）（3﹣a）；（2）去分母得：a﹣2＝1+2（a﹣3）解得：a＝3，检验：把a＝3代入a﹣3＝0，∴原方程无解．21．（10分）计算：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）；（2）．【解答】解：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）＝x2﹣2xy+y2﹣x2+2xy＝y2；（2）＝[]＝＝＝．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB上一点，满足BD＝BC．（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接DE，证明：AD＝CE．证明：∵①BE是∠ABC的角平分线，，∴∠CBE＝∠DBE，在△BCE与△BDE中，，∴△BCE≌△BDE（SAS），∴CE＝②DE，∠BDE＝∠C＝90°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠A（③等边对等角），∴∠CBA＝×90°＝45°，∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴④AD＝DE，∴AD＝CE．【解答】（1）解：如图：AE即为所求；（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠CBE＝∠DBE，在△BCE与△BDE中，，∴△BCE≌△BDE（SAS），∴CE＝DE，∠BDE＝∠C＝90°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠A（等边对等角），∴∠CBA＝×90°＝45°，∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，∴AD＝CE．故答案为：BE是∠ABC的角平分线，DE，等腰直角三角形的性质，AD＝DE．23．（10分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．【解答】解：（1）由题意得：（2a+3b）（2a+b）﹣4a2＝4a2+2ab+6ab+3b2﹣4a2＝8ab+3b2（平方厘米），答：长方形纸片剩余面积为（8ab+3b2）平方厘米；（2）把a＝5，b＝10代入8ab+3b2得：8×5×10+3×102＝8×5×10+3×100＝400+300＝700（平方厘米），答：当a＝5，b＝10，长方形纸片剩余面积为700平方厘米．24．（10分）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批腊肉每件进价多少元？（2）王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出70%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润＝售价﹣进价）【解答】解：（1）设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为（x+5）元，由题意得：×2＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，答：第一批腊肉每件进价为60元；（2）设剩余的腊肉每件售价打y折．根据题意得：×70%×100+×（1﹣70%）×100×0.1y﹣7800≥3480，解得：y≥8，答：剩余的腊肉每件售价最少打8折．25．（10分）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD，（1）如图1，求证：AC＝BD；（2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5m，EF＝9m，请求出池塘宽度AC．【解答】（1）证明：在△OAC和△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴AC＝BD；（2）解：延长DE，AF交于点B，∵DE∥AC，∴∠C＝∠D，在△OAC和△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴AC＝BD，∵∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，∴∠BFE＝90°，∠BEF＝60°，∠B＝30°，∵EF＝9m，∴BE＝2EF＝18m，∵DE＝5m，∴BD＝BE+DE＝23m，∴AC＝23m，答：池塘宽度AC为23m．26．（