全国2023年普通高等学校招生统一考试模拟演练数学（理）试卷（含答案）

全国2023年普通高等学校招生统一考试模拟演练数学(理)试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题______

1、已知集合A={x∣y=J-IXl+2},8={y∣y=f-2χ+2},则AIB=()

A.[-2,2]B.[O,+∞)C.[l,2]D.[0,2]

2、已知(l+2i)5=9+3i,则Z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、设〃：α>l>Z?,q:a/?+1<α+Z?则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4、已知tan(α+15°)=7tan(e-15°),则sin(α-15)COS(α+15")=()

A.-B.-e,ɪD.—

312312

5、如图为国家统计局于2023年1月20日发布的2016-2022年全国R&O经费总量与

R&O经费与GDP之比的数据图表，则()

2016-2022年全国R&O经费及投入强度情况

亿5%

z6O

35000I

Z4o

∙

JZ-o

30OCOi4

jz3o

25000l

JZ2O

3)87)«-

20000JZ1o

6-iZ0o

15OCOJ

IL9O

100002P4U

iL8o

J5AJLo

5000T7

JL6o

0

20】6年20J7年2018年20J9年202眸202J年

=RAD经费总Ii+R&D经费与GDP之比

A.R&O经费总量的平均数超过23000亿元

B.R&O经费总量的中位数为19678亿元

C.R&0经奖与GDP之比的极差为0.45%

D.R&0经费与GDP之比增幅最大的是2021年到2022年

6、已知数列｛α,,｝满足4=-1,“（4+「4）=告记｛%｝为不小于%的最小整数,

bn=｛an）,则数列也｝的前2023项和为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

7、南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问

题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，…

依此规律，其相应的程序框图如图所示.若输出的S的值为56,则程序框图中①处可以

填人（）

输⅛S

A.z<4BJ<5C.i<6D.z<7

8、如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AA,=2AB,。为棱4G的中点，则直线AO

与平面BlBCG所成角的正弦值为（）

A.叵R回r√∏D.叵

D.-----------

341756

22023

9、已知〃=IogS8,b=J,C=则()

420232

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

10、在数学中，欧拉-马歇罗尼常数/是数学中的一个重要常用无理数，为了便于使

用，我们认为∕≈l+^+1++ɪ-ln/?,且/^0.5772.研究

23n

/(〃)=1+'+!++!-In〃与g(〃)=1+j+l++工—皿〃+1)的单调性，可得

23n23n

l+→→+布*所在的区间为(参考数据:ln2B0.6931,lnl600a7.3778)()

A.(6.5,7)B.(7,7,5)C.(7.5,8)D.(8,8.5)

22

11、已知双曲线0-斗=l(a>O∕>O)的左、右焦点分别为1,居，以68为直径的圆

a~b

与双曲线在第二象限的部分交于点p,若双曲线上的点Q满足耳P=；gQ,则双曲线

的离心率为()

ʌ√37r√35r√37ny/15

5543

12、已知函数f{x)=x3+(m-l)x2++l在区间(一1』［上有三个不同的零

点，则加一〃2的取值范围是()

A.(-2,-1)B.(-l,0)C.(0,l)D.(l,2)

二、填空题

7?

13、已知单位向量α,〃满足(a-2b)∙(3α+58)=-7，则向量a与向量8夹角的余弦值

为_______

14、已知圆。:炉+丁=4与圆c：(x—i)2+(y—3)2=4,直线L2x-y+4=0交圆。于

A,B两点,交圆C于O,E两点,M,N分别为A3,OE的中点，则

IMNI=_________

15、在菱形ABC。中，A=-,/3=2将AABD沿BO折起，使得点A到平面BCQ的

3

距离最大，此时四面体ABCo的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

16、已知函数/(x)=；(x+4)eX,g(x)=xln(2x)+4x.若实数项,占满足

Fa)=g)=”(α>2),则XlX2+4%2-4Inα的最小值为.

三、解答题

17、记等差数列｛4,｝的前〃项和为S“，已知％=5,a2>0,且S6=(4+l)S3.

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)求数列｛亨沙的前〃项和Tn.

18、某兵乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取IOO名学员进行测

试，并根据该项技能的评价指标,按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),

[85,90),[90,95),[95,100]分成8组,得到如图所示的频率分布直方图.

⑴求α的值，并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1)；

(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在[70,75)和[85,90)内的学员中随机抽取12名,

再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在

[70,75)内的学员人数为X,求X的分布列与数学期望.

19、如图，在四棱雉P-ABCD中，ABHCD,CPLCD,Co=2,

AB=2AP=AC=AD

(1)证明:平面PBC_L平面PCD

(2)已知CP=√∑8C=2,DQ=ADP,X引0,1］若平面ABP与平面ACQ夹角的余弦值

为立，求4的值.

6

2

v九2一

20、已知椭圆C:「+・=l(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,长轴长为短轴长的2

a"h

倍，点P在C上运动，且AASP面积的最大值为8.

⑴求。的方程；

(2)若直线/经过点Q(l,0),交C于M,N两点，直线AM,BN分别交直线x=4于。，

E两点，试问AABO与aAQE的面积之比是否为定值?若是，求出该定值；若不是，

说明理由.

21、已知函数/(x)=e-*+αcosx-2.

(1)若/(ɪ)在区间。兀］上单调递减，求实数a的取值范围；

⑵当XG(-∞,0］时，/(%)+(2-。)(》+1)..1恒成立，求实数α的取值范围.

Y-ɔ—t

22、在直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为一’“为参数).以坐标原点。为极

y=3+t

点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

∕/+4PSine+12—α=0(α>8).

⑴求/的普通方程和C的直角坐标方程；

(2)当/与C有公共点时，求实数α的取值范围.

23、已知函数/(x)=2∣x+2∣-∣x-5∣.

⑴求不等式/(X)..4的解集；

⑵若/(x)∙/2+2α-10恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：由题意得A={x∣-∣x∣+2厘)}={x∣-2*2},jβ={y∣y=(x—l)2+l}={y∣y.l}所

以A5=∏,2]

2、答案：A

解析：由题意得"皿=(9+3i)62i)=9T8i+3i+6=3_期,则z=3+3i,所以Z

l+2i(l+2i)(l-2i)5

在复平面内对应的点为(3,3),位于第一象限。

3、答案：A

解析：若a>1>b,则α-l>O,匕一1<0所以(α-l)(b-1)<0,所以M+l<α+6,所

以〃是<7的充分条件；若访+l<α+",不妨取a=；,b=5,不满足所以〃

不是q的必要条件，故〃是4的充分不必要条件.

4、答案：D

解析:由题意得sin(α+15°)cos(α-15°)=7cos(α+15')sin(α-15)令

A=Sin(C+15°)CoS(G-15°),B=COS(«+15)Sin(C—15°),则A=73①.又

171

A-B=Sin30°②，所以联立①②，解得A=—,5=上故

21212

sin(α-15)COS(C+15")=J.

5、答案：C

解析：对于选项A.R&O经费总量的平均数为

ɪ×(15677+17606+19678+22144+24393+27956+30870)≈22617.7,所以A错误；对

于选项B,R&O经费总量的中位数为22144亿元，所以B错误；对于选项C,

R&D经费与G。P之比的极差为2.55%-2.10%=0.45%,所以C正确；对于选项

D,R&O经费与GZ5P之比增幅最大的是2019年到2020年，所以D错误.

6、答案：A

解析：由题意得―-。，=2仕-一二],则当九.2时，

an=(4-4ι)+(%τ-Q〃-2)++(。2-%)+q=2[-T-^]+2f-¼----½λ∣++

∖n-ln)∖n-2n-∖)

2fl-l‰l=l--,当〃=1时也满足上式，所以4=1-2("∈N*),所以

\2Jn〃'，

bi=<-l>=-l,b2=<0>=O,4=(1一∣∙)=1,%=(1-■=1，t>5=b6==]故也｝的前

2023项和为T+O+l+l++1=2020.

7、答案：C

解析：第一次循环:.=0+1=1,S=0+l=l不满足输出条件，i=2；第二次循

环:a=l+2=3,S=l+3=4,不满足输出条件，i=3；第三次循

环:a=3+3=6S=4+6=10,不满足输出条件，i=4；第四次循环:a=6+4=10,

S=Io+10=20,不满足输出条件，i=5；第五次循环:。=10+5=15,5=20+15=35

不满足输出条件，i=6；第六次循环:a=15+6=21,S=35+21=56»满足输出条

件，退出循环.所以判断框中的条件可填人"i<6".

8、答案：A

解析：

如图所示，分别取棱A3,AC,BC,A4的中点E,F,H,G,连接EF,DF,DG,

EG,AH,设AHQEE=M,连接。则易知平面EFDG〃平面用BCG•又因为“为

BC的中点，所以A〃_L3C,易知平面qBCG，从而A”J∙平面EFDG,因此

AM±平面EFDG,则ZADM即为AD与平面EFDG所成的角，且等于直线AD与平

面CG所成的角.设AB=α,则44=2α,AD=与a,AM=ga”=#。所以

1

√3

----ClI/

SinNAoM=煞=券一=鲁，所以直线AO与平面4BCC∣所成角的正弦值为詈

------a

2

9、答案：B

Q63X

解析：因为。=啕8=],。吟所以h>α.令函数/(X)=',所以

/'(幻=(x：?e',所以/(%)在区间(2,+Oo)上单调递增，所以盛τ>?,即c>",

所以c>0>α.

10、答案：C

解析：因为/(〃+1)-/(〃)=----In"+I=―-—Flnfl]<-----------=O,所以

n+∖nn+↑(n+∖)n+ln+i

/5)单调递减,则/(1600)>y≈0.5772,即

1+W+」一>0.5772+In1600a7.955.因为

231600

g(〃+l)-g(〃)=—^------In?+2=­!---Infl+—-]>—'------------0,所以g(n)单调递

∕ι+lπ+lπ+l1n+l√〃+1/?+1

增，则当〃趋近于+00时，

g(力)=1H---1—FH------l∏H÷[lnn-ln(H+l)<IH----1—FH-----InH≈0.5772所以

23〃23n

g(1599)=l+■!■+,++———In1600<0.5772,所以

231599

1+W+—<lnl6∞+—+0.5772<In1600+—+0.5772≈7.3778+0.001+0.5772=7.956

2316∞16001000

,故l+'+L++」一所在的区间为(7.5,8).

231600

11、答案：A

解析：

如图，连接PF?,QK由题意知忻闾=2CC=Ja2+。2,设NP6工=0，∣尸周=加，由

双曲线的定义可得IP周=2α+m.又由题可得，P外，所以苏+（24+加）2=4。2,即

m__ɔ

*=2〃2-2αm.在Rt中，COSNPE玛=CoSe=—，由EP=-KQ，得

~2c3

∖F2Q∖=^,由双曲线的定义可得恒Q∣=2α+学.因为6尸=1鸟。，所以6P〃鸟Q,所

以NQ8耳=π-°,在aEKQ中，CosZQF2Fl=-cos^=--,又由余弦定理可得

∖QF^∖QF2f+∖FlF2f-2∖QF2∖.∖FiF2∖.cosZQF2Fλ,即

2

C3m（3根Y+(2C)2-2∙^∙2C∙--Y所以6αm=4∕+3z√.又因为

2α+—

2<2c/

nr~2b2-2am,所以A>=S"m,α=*m所以<?=/+/=卫机2,故C=避2〃?，所以

242

√37

c丁rn历

双曲线的离心率e

a—m

2

12、答案：B

解析：令J(AO=0,得Λ?+(加—l)χ2+(〃——l)χ-〃+1=0,所以

X3-X2+mx2-7nr+(rz-l)x-(n-l)=0,所以12(尤―1)+痛(工―1)+(〃_])(1_1)=0,所以

(X-D(X*+,22X+H-lj=0,贝!)X=I或J+mr+〃-I=O.由题意得方程d4-τnx+λz-l=0

在区间(-1,1)内有两个不同的实数根，设两根分别为Al,%(石≠w),则

2λ

Δ=m-4(n-l)>0,x1+x2=-m,玉％=〃一1所以〃，=一(内+⅛)，〃=玉z+1，所以

2222

M-H=(Xl+X2)-(xιx2÷1)=X1+¥-小；—1=一(XI2_1)(后一1).因为3,々w(-LD'

所以0,,x；<1,(),，¥<1所以一一］<o,τ,E一ι<().又工产々，所以

-1<-(kτ)(名T)<0，即一2-〃2的取值范围是(—1,0).

13、答案：］

3

C221

解析：因为(α-2b)χ(3α+5b)=3α2-αχb-10b2=-1-a×b=-->所以又。，b

a`h_1

是单位向量，所以COS〈0,力⑷g∣=5

14、答案：还

解析：连接。M,CN,OC,则QM_LAB,CNLOE.过点C作CR_LQ0,垂足为点

所以ICERMNI，ICNl=IMEl又IoMI=W=逑

F,则四边形CNM尸为矩形,

√55

ICNI12一警41=在所以IoFRCmTMFI=IoVI-ICNl=@.又

√555

∣OCμ√l2+32=√Iθ,所以IMNRCFI=JloeTToF|2=U-≡=⅛

20π

15、答案:

-3^

解析:

如图，设ACBD=E,因为四边形ABCO为菱形，A=-,AB=2,所以ABCD和

3

△ABD均是边长为2的等边三角形，则AE=EC=G.因为翻折后点A到平面BCD的

距离最大，所以平面49。平面BCD设ABCD的外接圆的圆心为。，四面体ABCZ)

的外接球的球心为。，则OO'_L平面BCr>,且o'c=空，OE=昱设OO=h,则

33

‘解得所以夕卜接球的半径

2“4'R

h+

所以四面体ABC。的外接球的表面S=4R2=上上.

7t3

16、答案：4—8In2

解析：由/(x)=g(x+4)e*,得/'(X)=g(x+5)e",当无>0时，f'(x)>0,所以/(x)

在区间(0,+oo)上单调递增.因为g(%)=Ml∏(2%)+4]=1e∣M2χ>[ln(2x)+4]=/(ln(2x)),所

以/(xJ=g(Λ2)=α,即/(%)=/(In(2λ⅛))=α.又α>2,且易知当刀,。时，/(%)„2,

所以X=In(2Λ2),所以2x2=e*,所以

xix2+4/-4Ina=(Xl+4)Λ2-41na=-(X1+4)e*-41na=α_41nα,令

,A∩一Λι

m(α)=α-41nα,α>2所以，〃'(。)=1——=------,当ae(2,4)时，m(«)<0,m(α)单

aa

调递减；当αe(4,+∞)时，/(α)>0,〃?(「)单调递增，所以当α=4时，m(α)取得最小

值根(4)=4-81n2,故内々+4々一4Ina的最小值为4—81n2.

17、答案：(1)an-2n-l

/八92n2+8«+9

(2)-------------------

44×3,,

解析：(1)设数列｛%｝的公差为d,由％=5，得q+2d=5∙因为S6=(4+l)S3,所

以6q+15d=(q+d+l)(3q+3d),整理得

2(q+2d)+d=(q+2d+l—d)(q+〃-d),所以10+d=(6-d)(5-d),即

屋一12d+20=0,解得4=2或d=l().当d=2时，at=∖,所以4=q+d=3>0,符

合题意；当d=l()时，α∣=-15,所以4=4+4=-5<0，不符合题意，舍去，所以

an=2π-l.

1)〃〃则n+S_n2+n

(2)由⑴知S,,=叱"=2,11

23"3n

I2+122+232+3n2+n

所以7；-------1-------τH-------z-----F+-------

332333"

则I=I2+122+232+3n2+n

歹十方H-------------F••.+

343,,+l

21234nn2+〃

两式相减，得(<=2χ++—

33233343〃3向

/-1234n

令£=§+?+予+下+H------,

3”

11234n

贝mιJl-Pd"=-TΓ^-TΓ+H-------r,

3323334353,,+l

11

ɔ

两式相减，得;E11111〃=33'向n12〃+3

r-,,+1

3323^3^43一π3π+'143F^22×3

所以叫-篝

9

所以/2=2X32»+3n~+n

44×3n3n+'

92〃+3n2+n_92n2+8»+9

所以4

44×3,,^'2×3z,44×3"

18、答案：(1)a-0.036»m≈82.3

(2)分布列见解析，数学期望为3

3

解析：(1)由直方图可知

(0.008+0.016+0.020+a+0.044+0.040+0.028+0.∞8)x5=1,

解得α=0.036.因为(0.008+0.016+0.02+0.036)×5=0.4<0.5,

(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)×5=0.62>0.5,所以学员该项技能的评价指标的中

位数在180,85)内.设学员该项技能的评价指标的中位数为m,则

(m-80)×0.044+0.4=0.5,解得m≈82.3.

(2)由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在[70,75)内的有4名，在

[85,90)内的有8名.由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

54132

P(X=O)=WC=7',尸(X=I)=CΞ⅛C1=325Ξ,P(X=2)C=-C⅛=1-4,

Cf299C：299C：233

2314

P(X=3)=C>C^=匕14，P(X=4)=C±C1=1-!-,

C199CM99

则X的分布列为

X01234

7351414丁

P

9999339999

…、八7I35C14C1415

E(X)=0×---Flx—+2×F3×--F4y1×—=—.

99993399993

19、答案：(1)证明见解析

⑵λ=-

3

解析：(1)

X

证明:如图，取Pc尸。的中点分别为E,F,连接BE,AF,EF,CF9所以

EFHCD,且EF=‘CO.又A3〃CO,CD=2AB所以EF//AB,且EF=43,所以四边

2

形ABEF为平行四边形，所以AF//B及因为ΛP=AD,PF=O/所以AEJ.PD.因为

CPLCD,PF=DF所以CF=DF=PF.又AP=AC,所以4R4户也z∖C4F,所以

ZCFA=ZPFA=90°,即AFJ_CE.又PDCF=F,PD,CFU平面尸C。，所以

AF_L平面PC。，所以BE，平面PCD

又BEU平面P8C,所以平面PBC_L平面PCD

(2)由(1)知，5E_L平面PC。，因为EHCPU平面PC。，所以BE，£F,

BELCP,所以NBEC=90°.

在RtZ∖BEC中，CE，CP=1,BC=y∕2,则BE=JQ-G=匕则AF=L

2

因为CP_LC。，EF〃CD所以EF上CP,

所以CP,EF,BE两两垂直.以E为坐标原点，向量“，EF,反的方向分别为x,

y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,1,1),B(0,0,1),P(1,0,0),C(-l,0,0),D(-l,2,0),

所以AA=(OJO),BP=(1,0,-1),CΛ=(1,1,1)CD=(0,2,0),DP=(2,-2,0)

由OQ=XoP,∕l∈[O,l]W

CQ=CD+DQ=CD+ADP=(0,2,0)+2(2,-2,0)=(22,2-2Λ,0)设平面ABP的法向量为

m={xy,yi,zl),

Llm∙BA=O,,fV=0,

则即trt为1八

m∙BP=0,[x∣-Zl=0.

取玉=1,则z∣=l,得平面ABP的一个法向量为根=(1,0,1).

设平面ACQ的法向量为"=(工2，必*2)，

取々=1一2，则为=—2，Z2=2丸一1所以〃=(1一4一4,22—1).

设平面ABP与平面ACQ的夹角为仇

则cos。Ucos<.,M=W=-*…+卜小》=乌

1川1〃1√12+O2+12×7(1-Λ)2+(-Λ)2+(22-1)26

解得％=L故几的值为L

33

22

20、答案：(1)ɪ+-=1

164

(2)是，理由见解析

3

解析：(1)由题意得2a=2x2",即α=2h①当点P为C的上顶点或下顶点时，

△ABP的面积取得最大值，所以Lχ2>χα=8,即必=8②，联立①②，得α=4,

2

22

。=2故C的方程为工+二=1.

164

(2)ZXA区D与AAQE的面积之比为定值.

由⑴可得A(-2,0),8(2,0),由题意设直线/:X=根y+l.,M{xl,yi),N(x2,y2)

x=my+l,

联立Vχ2W(4w2+l)∕+8wγ-12=0,

—I—=1,

1164

则A=64疗+48(4疗+l)>0,

Sm12

y+%=一)21，%%=一/，1

4m+14m+1

3

所以吵%=耳（乂+%）•

直线AM的方程为y=°^(x+2),令x=4,得y=色匚，即04,3■.同理可得

x1+2x1+2IX[+2J

.故aABO与AAQE的面积之比为

2∣A8∣∣%∣=4∣%∣=4x(/—2)

TIAQIyEl3∣^∣%&+2)

AQE

∣(yι+Λ)-y∣13

/+y

4)L2-1)冲％一乂_4

=4×二4χ=4×=35

%（啊+3）myy+3y-339

l22#+%)+3%,y+2%

4

即与AAQE的面积之比为定值].

-

-3πλ

21、答案：(1)-√2eτ,+∞

_/

(2)[1,4W)

解析：(1)f(%)=-e^x-asin%,由题意知当x∈[O,π]时，-eT-αsinκ,0,恒成

立，即l+αe"sinx.0恒成立,当口.0时，上式显然成立；当〃<0时，e'sinχ,-L令

a

g(x)=evsinx,x∈fθ,π],则g(幻=(sinx÷cos%)ev=忘Sin[X+,

当X∈(。岑)时，gM>。,g。)单调递增；

当Xe17,兀J时，g'(x)<O,g(x)单调递减,

所以当Xq时'g。)取得最大值’

/ɔ2π］3Tt

当a<O时，只需在e：,,」，解得-0eF,,α<O∙

2a

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