2022-2023学年山东省新泰市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省新泰市高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.在“8C中，BC=15,AC=10,A=30°,贝IJCOS8=()

ʌ√6r√6r2√2n2√2

3333

【答案】D

【分析】利用正弦定理求出SinB,再利用平方关系即可得解.

【详解】解：在A∕8C中，BC=15AC=∖0,/=30°,

中斗，BCAC

因为而

sinB

io4_i

所以∙AAC-sinA

sinD=------

BC15^3

因为ZC<3C,所以8<工=30。,

所以cosB=JI-Sin°8=?五.

3

故选：D.

2.下列复数是z=-i的共枕复数的是()

3

A.zB.izC.z+iD.z-i

【答案】A

【分析】分别计算出四个选项，从而判断出z=-i的共辄复数.

【详解】因为z'=(-i)'=i,iz=l,z+i=0,z-i=-2i>

所以i是Z的共加复数.

故选：A

3.已知两个单位向量［，［的夹角为45。，且满足则实数4的值是

A.1B.√2C.ɪD.2

3

【答案】B

【详解】试题分析：因为单位向量最瑟的夹角为45.，所以.W=lxlχt=q,又因为

—.—.—._►,.,__,2J?f—

e∣_1_(2,—eJ,所以e∣■(2e2—e∣)=2e∣∙C?—e∣---—^―Λ—1=0,Λ=Λ∕2»故选B.

【解析】1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.

4.如图所示，矩形ABCD中，AB=4,点E为AB中点，若加J_AC，贝IJl尻I=()

D_________C

AEa

A.IB.2√3C.3D.2√2

【答案】B

【详解】如图建立平面直角坐标系，⅛∣AD∣=a,

则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),

所以D区=(2,-a),AC=(4,a),

因为诙_LR,所以5S∙Xζ=0,

2

所以8-a=0解得a=2Λ∕Σ，

所以∣X5∣=2√∑,所以比∣=J22+(2√Σy=2√J.选B.

5.已知将函数/(x)=sin(2x+e)(θw∖)的图象向左平移夕个单位长度后.得到函数g(x)的图象.若

g(x)是偶函数厕/(?)=

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】A

【解析】先由题意写出g(x)=sin(2x+3夕)，根据g(x)是偶函数求出。，即可得出结果.

【详解】由题意可得：g(x)=sin(2x+3p),

因为g(x)是偶函数，所以3夕=1+版■(丘Z),即9=[+”(％∈Z),

263

又0<φ<三,所以0<f+竺<：,解得-]<%<1,所以左=0,故0=g;

263226

所以/图=sin(2x>H∙

故选A

【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.

6.已知函数/(x)=COS(2x-g)-2Sin(X+:卜OS(X+^)xeR),现给出下列四个结论，其中正确

的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为2;T

B.函数/（x）的最大值为2

τrτr

C.函数/（X）在-2二上单调递增

_66_

D.将函数/（x）的图象向右平移专个单位长度；所得图象对应的解析式为g（x）=sin2x

【答案】C

【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项

【详解】对于A和B,

/（x）=COS（2x-?）-2sin（x+今）cos（x+习

（~乃）.上）1ɔʌ/ɜ--）也・、1、.（~π

V3JI2J2222\6

所以/（X）的最小正周期为年=万，/（X）的最大值为1，故A错误，B错误，

一.、,，乃乃IlC冗兀冗

对于C,当x∈时，2x--e,

66J6L26

因为V=Sinx在∣^-g,m］上单调递增，所以函数/（X）在广上单调递增，故C正确；

_2oJ|_66_

对于D,将函数/（x）的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为

故D不正确,

故选：C

7.为了测量河对岸两点C。间的距离，现在沿岸相距2km的两点48处分别测得/aIC=IO5。，

NBAD=60o,NABC=45o,NABD=60°则C,。间的距离为（）

A.√2B.2C.4√2D.4

【答案】B

【分析】在^ABC和AABD中应用正弦定理求得BC与BD,然后在ABCD中应用余弦定理求得CQ.

RrADBC2

【详解】在ΛΛBC中’SinNC=sinZJC5'即SinlO5。=Sin（180°-105°-45°）'

SC=4sinl05o=4sin75o,

和4∕8D中，ZDAB=ZDBA=60°,4/8Z）是等边三角形，BD=AB=2,

在ABCD中，ZDBC=I5°,

所以

CD2=BC2+BD1-2BC-BDcosZBDC

=16sin2750+4-2×4sin750×4×cosl50=16sin2750+4-2×4sin750×2×sin750=4,

CD=I.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是根据条件确定正弦定理或者余弦定理

计算，及计算的顺序.本题如果在A/C。中应用余弦定理求CO可能更方便一些.

8.已知Δ∕18C外接圆半径为1,圆心为O,若2万+1豆+就=0，则A48C面积的最大值为（）

r-

A.2B.-3C.√2D.1

【答案】D

【解析】根据向量的线性运算,可判断出忸。为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大

值.

【详解】根据向量的减法运算,化简2次+方+就=ð可得

2万+砺一次+反一宓=0,则0耳+反=0

即。为忸q的中点.

又因为O为MBC外接圆圆心,该外接圆的半径为1.所以∖BC∖=2

由圆的性质可知，ZSAC=90°

设AS=α,∕C=6

则ɑ?+"=4

由不等式性质可知4=/+〃≥2αb,

则M≤2,当且仅当°=b=近时取等号

所以=ɪ2=1

即ZUBC面积的最大值为1

故选:D

【点睛】本题考查了向量的线性运算,不等式性质的应用,属于基础题.

二、多选题

9.设向量£=(1,-1)]=(2,0),则()

A.∣α-⅛∣=∣ɑ∣B.(α-⅛)∕∕α

C.(a-b)LaD.Z在往上的投影向量为(1,0)

【答案】ACD

【分析】根据平面向量的运算法则，向量与向量垂直、平行的坐标表示，平面向量数量积的儿何意

义判断.

【详解】α-⅛=(-l,-l).∣α-δ∣=λ∕2,∣α∣=√2,A对.

(a-⅛)∙α=(-l,-l)∙(l,-1)=-1+1=0,所以B错，C对.

向量a=。,-1)在向量6=(2,0)上的投影为：MXC°s<9>=忖X丽=下「=1,投影向量为

胃Xg=IX^ɪ=α°).所以D对.

故答案为：ACD.

10.若四棱柱/8CD-44G。的底面和侧面都是矩形，则四棱柱/8CO-44GA一定是()

A.平行六面体B.长方体C.正四棱柱D.正方体

【答案】AB

【分析】根据已知四棱柱的性质，即可得出答案.

【详解】根据四棱柱的侧面都是矩形，可知该四棱柱为直四棱柱，

然后根据四棱柱的底面是矩形，可知该四棱柱为长方体.

故选：AB.

11.在A∕8C中，AB=BAC=I,B=g则角A的可能取值为()

O

【答案】AD

【分析】由余弦定理得NC2=5C2+8∕-2BC∙A4∙COS5,解得BC=I或8C=2,分别讨论即可.

【详解】由余弦定理，^AC2=BC2+BA2-2BC-BAcosS-

BPl=5C2+3-2SC×^^×ɪ,解得BC=I或8C=2.

π

当BC=I时，此时C为等腰三角形，BC=AC,所以4=8=z；

6

TT

当5C=2时，AB2+AC2=BC2,此时。8C为直角三角形，所以/=彳.

2

故选：AD

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

12.下列四个选项中哪些是正确的()

A.若COS(80。+々)=；,贝IJSin(10。-&)=；

B.√1-2sin20°cos20o=sin20o-cos20o

C.在任意斜三角形中tanAtanBtanC=tan+tanS+tanC

D.在三角形中4=6COSC+ccos8

【答案】ACD

【分析】根据诱导公式可判断A,由同角三角函数的基本关系及诱导公式，余弦函数的单调性判断

B,由两角和的正切公式变形即可判断C,由余弦定理可化简判断D.

【详解】对于A,CoS(80。+α)=cos190。-(IOc■-α)]=Si«10。一@W,A正确；

对于B,√l-2sin20ocos202=J(Sin200-cos20o)=]sin20o-cos20∣,

vsin200=cos70c<cos20°，.∙.√l-2sin20ocos200=COS20'-Sin200，B错误；

对于C,在任意斜三角形中，tanJ=-tan(S+C)=-tang+tan^,

整理得tanτ4(l-tanβtanC)=-(ta∏β+tanC),

即tanAtan5tanC=tan4+tan8+tanC,C正确；

对,于D,在三角形中，bcosC+ccosB=b∙a——∙C\"——=^-→=a,D正确.

2ab2ac2a

故选：ACD.

三、填空题

13.已知向量值=(Sina,2)与向量5=(COSa,1)互相平行，则tan2α的值为

【答案】.4

【分析】根据向量平行可得Sina-2cosa=0,可得tanα=2,利用正切的二倍角公式即可求解.

【详解】因为向量M=(Sina,2)与向量5=(COSa,1)互相平行

所以Sina-2cosa=O,

解得tana=2，

2tana_44

所以tan2a=

ITan2a1-43

4

故填一§.

【点睛】本题主要考查了向量平行的充要条件，向量的坐标运算，正切的二倍角公式，属于中档题.

14.如图，已知C水平放置的直观图(斜二测画法)为"'B'C',其中OW=OB=OC'=1,则

该三角形的面积为

【答案】2

【分析】根据斜二测画法确定原图形，再求其面积.

【详解】由斜二测画法可得原图形为：

,,

其中8C=6'C'=2,AO=2AO=2fAOlBC,

所以A∕8C的面积S=Jχ8Cχ∕O=2.

2

故答案为：2.

15.如图，在“8C中，点。在边ZC上，3CD=2AD,2∖43D是等边三角形，且面积为石，则

BC=

B

4

【分析】求出50=2,CD=-,再利用余弦定理求解.

【详解】解：因为△48。是等边三角形，且面积为6,所以LNLPXYI=TL解得/。=2,所以

22

4

BD=I,因为3CQ=24O,所以。。=一，

3

r

IT)π

由题得NBDC=%——=—,

33

在4BCD中，由余弦定理得BC2=CD1+BD--2CD×BDxcos-,

3

即BC?=1+4-2χ！χ2χj-11,解得BC=Wq.

93∖2J3

故答案为：浏ɪ

3

16.在28C中，4B=AC,点、P为线段AC上的动点，忸。=4,则βp.βc的取值范围是.

【答案】[8,16]

【分析】设/P8c=e,利用数量积的定义可得而.而与。的关系，从而可求其取值范围.

【详解】如图，过P作PEj.8C,垂足为E,取BC的中点为尸，连接/F,设4PBC=。,

则而林=4网COs

因为点尸为线段AC上的动点且MBI=∖AC∖,

故网CoSO=WEI且2=g忸牛忸司44,

故8≤而次≤16，

故答案为：[8,16].

四、解答题

17.已知，B为两个非零向量，且同=2,W=1,(G+B)1B.

(1)求1与B的夹角；

(2)求物-2可.

【答案】⑴与；

(2)2√13.

【分析】(1)根据向量垂直的数量积表示，平面向量数量积的运算法及向量夹角的公式即得;

(2)根据平面向量的运算法则结合条件即得.

【详解】(DV∣a∣=2,∣⅛∣=l,(a+⅛)1⅛,

(1+5)石=0,即万石+铲=2xlXCOS(Z区)+1=O>

cosG，B)=-；,又句，

.∙.gW=耳，即1与B的夹角条

3ɔ

(2)V∣35-2fc∣2=9α2-12α⅛+4⅛2=9×^-12×(-l)44=2,

.∙.∣3α-2⅛∣=2√I3.

18.已知Z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

(1)求复数Z和|z|；

(2)若复数Zl=彳-2加+(加2-2加-5)i在第四象限，求W的取值范围.

【答案】（1）z=4-2i,则∣z∣=2遥；（2）-∖<m<2

【分析】（1）设z=α+biQ6eA）,依据题设建立方程求出α=4,b=-2nz=4-2i,再求其模；（2）

4—2m>O

先求出z∣=4-2m+（∕-4）i,再根据题意建立不等式组/-4<。求解即可:

【详解】(1)设z=α+历(α,9∈H),则z+2i=α+(b+2)i,

由z+2i为实数，得b+2=0,贝IJb=-2,

,Za-2i(tz-2i)(2+i)2α+2a-4....na-4C,

由n=。=H万万=Mrl为sl头数‘Z得了=°,贝rl此=4,

Λz=4-2i,贝IJlZI=26；

(2)由Zl=i"-2m+(m)-2«?—5)i=4—2机+("--2m-3)i在第四象限,

4—2w>0

得/-2，〃-3<。,解得―，

故机的取值范围为T<根<2.

19.在&44C中，角4,B,。所对的边分别为eb,c,且a:6:c=2:3:4.

⑴求CoSC；

⑵求Sinl2。+高.

【答案】（1）-；

力3√5+7

--------

16

【分析】（1）由题意不妨假设α=2∕=3,c=4,由余弦定理即可求得答案;

(2)由⑴可得COSC的值，继而求得SinC，利用二倍角公式以及和角公式，求得答案.

【详解】（1）由题意。：6:。=2:3:4,不妨设α=2,b=3,c=4,

贝IJCoSC=且也±27£

Iah2×2×34

(2)由(1)可知CoSC=-!,C∈(0,π),故SinC=巫

44

17

所以Sin2C=2sinCcosC=2×⅛=-------,cos2C=2cos27C-1=2(—)92-1=—,

44848

故Sinl2C+—TtTt√15√37ɪ3√5+7

=sin2Ccos—+cos2Csin—=-------------X----------------×—=---------------------

I666828216

20.如图，在平行四边形/8CQ中，已知NB4D=60。，I布卜3,I而|=2,JE=-BC,CF=-CD.

23

F

D/C

(1)若EF=mAB十几AD，求〃?，〃的值和向量丽的模长；

(2)求呼和式夹角的余弦值.

【答案】(1)"=一］,〃=?，|而|=6；(2)

32II38

【分析】(1)利用向量运算求得而，由此求得也〃，进而求得I而I

(2)利用向量夹角计算公式，计算得丽和就夹角的余弦值.

［详解］⑴EF=AF-AE=AD+DF-（AB+BE）

—►1—（—>1—Λ2—«1—►

=AD+-AB-∖AB+—AD=——AB+—AD,

3I2J32

21

所以加=一7，〃=二.

32

∣fF∣=-⅛+⅛=J（_|荏色可

22

=（⅛-⅛.JB+⅛=^4-∣-×3×2×cos60°+1=6.

（2）AC=AB+AD

2

ΛABAAB-AC+-AD-6-l×3×2×→2

=362=--------j=S----------J=

43-4AB^+2AB-^AD+'AD√3×j9+2×3×2×-+4

.19

二F「3二3炳.

√3×√I9√5738

【点睛】用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算了.

21.已知函数/&)=28$。'<。5(。》-］卜€凡0>0).的最小正周期为万

(1)求。的值和/(x)单调递增区间；

π

(2)当Xe0,-时，求函数/(χ)的值域.

【答案】⑴0=1,单调递增区间为E+JkeZ)

⑵

2

【分析】(1)根据三角恒等变换化简函数/(X)解析式，再根据正弦型三角函数的周期性与单调性得

答案即可；

(2)根据正弦型函数的性质求解值域即可.

【详解】(1)∙∙∙∕(x)=2COSGX'COSGx+走si∏3x]=co4ωx-h]~3sin69xcos69;

=ɪcos+—sin2ωx-U=siι«2ωx[J