(完整版)高中数学解三角形方法大全

PAGE4解三角形1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立：（1）边的关系：，，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：，，，，，，，（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1．正弦定理：，其中为的外接圆半径2．正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例1】考查正弦定理的应用（1）中，若，，，则_____；（2）中，若，，，则____；（3）中，若，，，则____；（4）中，若，则的最大值为_____。总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在中，已知、、（1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。（2）若为锐角，则当时，三角形无解；当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1．余弦定理：在中，角的对边分别为，则有余弦定理：，其变式为：2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3．三角形的面积公式（1）（、、分别表示、、上的高）；（2）（3）（为外接圆半径）（4）；（5）其中（6）（是内切圆的半径，是三角形的周长）【例】考查余弦定理的基本应用（1）在中，若，，，求；（2）在中，若，，，求边上的高；（3）在中，若，，，求【例】（1）在中，若，，，则中最大角的余弦值为________（2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形（3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为__________【例】考查正余弦定理的灵活使用（1）在中，若，其面积，则_____（2）在中，若，则_____（3）（07天津理）在中，若，，则_____（4）（10江苏）在锐角中，若，则_________【例】判断满足下列条件的三角形形状（1）；（2）；（3）；（4）；（5），板块三：解三角形综合问题【例】（09全国2）在中，角的对边分别为、、，，，求【例】（11西城一模）在中，角的对边分别为，且，（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值【例】在中，，，，求的值和的面积【例】在中，角的对边分别为，已知，（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积【例5】（09江西理）在中，角的对边分别为，且，（1）求（2）若，求【例】（09安徽理）在中，,（1）求的值；（2）设，求的面积【例】（10辽宁理）在中，角的对边分别为，且（1）求的大小；（2）求的最大值【例】在中，角的对边分别为，，（1）求的大小；（2）求的范围【例】（11全国2）设的内角的对边分别为，已知，，求【江西理】在中，角的对边分别是，已知（1）求的值；（2）若，求边的值【11江西文】在中，角的对边分别是，已知（1）求的值；（2）若，，求边的值正弦定理专题：公式的直接应用1、已知中，，，，那么角等于（）A． B． C． D．2、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于（ C ）A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°3、的内角的对边分别为，若，则等于（）A． B．2 C． D．4、已知△ABC中，，，，则a等于（B）A．B.C.D.5、在△ABC中，＝10，B=60°,C=45°,则等于（ B）A． B． C． D．6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于．（）7、△ABC中，，，，则最短边的边长等于（A）A.B.C.D.8、△ABC中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（C）A.B.C. D.9、在△ABC中，证明：。证明：由正弦定理得：专题：两边之和1、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，则a＝；b＝.（,）2、已知的周长为，且．（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数．专题：三角形个数1、△ABC中，∠A=60°,a=EQ\r(,6),b=4,那么满足条件的△ABC(C)A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定2、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°,则∠B等于 （B） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°3、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （D）A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100° C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （D） A．a=1,b=2,c=3 B．a=1,b=,∠A=30° C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1,∠B=45°5、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（B ）A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定6、满足A=45°,c=,a=2的△ABC的个数记为m,则am的值为（A）A．4 B．2 C．1 D．不定7、已知△ABC中，121°，则此三角形解的情况是无解8、在△ABC中，已知，，，则边长。或专题：等比叠加1、△ABC中，若，，则等于（A）A.2B.C.D.2、在△ABC中，A=60°,b=1,面积为，则=.专题：变式应用1、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则2、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3 B．2∶3∶1C．1：3：2 D．3：1：23、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①②③④其中成立的个数是( C)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4、在△ABC中，已知边,，求边a、b的长。解：由，EQ\F(sinB,sinA),可得，变形为sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π－2B,∴A+B=.∴△ABC为直角三角形.由a2+b2=102和，解得a=6,b=8。5、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则_________________。6、设锐角三角形的内角的对边分别为，．（1）求的大小；（2）求的取值范围．专题：求取值范围1、△ABC中，已知60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围(C)A． B． C． D．2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（B）A． B．C． D．3、在锐角中，则的值等于，的取值范围为.2答案

：设由正弦定理得由锐角得，又，故，所以余弦定理专题：公式应用1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ C ）A． 30° B．45° C．60° D．120°2、在三角形中，，则的大小为（）A． B． C． D．3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为(B)A.90°B.120°C.135°D.150°4、在△ABC中，150°，则b＝75、在△ABC中，若，则（C）A.B.C.D.6、在△中，三边长分别为,则的值为（D）A．38B．37C．36D．357、在△ABC中，已知，则角A为（C ）A． B． C． D．或8、在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是。9、设a、b、c是的三边长，对任意实数x，有（B）A.B.C.D.9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（B）A．52 B． C．16 D．410、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC=911、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x+(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （D） A．B>60° B．B≥60°C．B<60° D．B≤60°(sinA-sinC)²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB)=sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB)=(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)²专题：判断三角形1、若，则△（A）A.一定是锐角三角形 B.可能是钝角三角形C.一定是等腰三角形 D.可能是直角三角形2、在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（C）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3、△ABC中，，，则△ABC一定是（D）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（A）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定5、△ABC中，，则△ABC一定是（D）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6、在△ABC中，若，则△ABC是（B）A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形7、若的内角的对边分别为，且则（）A．为等腰三角形 B．为直角三角形C．为等腰直角三角形 D．为等腰三角形或直角三角形8、的内角的对边分别为，根据下列条件判断三角形形状：9、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是 （B） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形10、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是( B )A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形11、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（D ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形12在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（C）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形13、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（B）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ B）A． B． C． D．15、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=,则ΔABC是______三角形.钝角16、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。解：由正弦定理得：，，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，△ABC为等边三角形。17、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,向量，且.（1）求角A的大小；（2）若，试求当取得最大值时的形状.9.解：（1）由又因为解得分（Ⅱ）在，．，即,又由（Ⅰ）知所以，为正三角形18、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60°,b2=ac；①由余弦定理，.由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形.②b2tanA=a2tanB；②由∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△.③sinC=③，由正弦定理：再由余弦定理：.④(a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).④由条件变形为.∴△ABC是等腰△或Rt△.专题：1、在△ABC中，如果，那么等于。2、在中，已知，则___________3、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是1204、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。解：又是方程的一个根由余弦定理可得：则：当时，c最小且此时△ABC周长的最小值为5、在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．解（1）因为，，又由得，（2）对于，又，或，由余弦定理得，专题：已知面积1、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于（D）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°2、在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，则____________3、已知△中，，，，，，则（）A.B．C．D．或4、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（C）A． 5 B．6 C．7 D．85、在ΔABC中，若SΔABC=(a2+b2－c2),那么角∠C=______.6、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数；(2)AB的长度。解：（1）C＝120°（2）由题设：7、在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,.所以 ①又，，即由正弦定理得，故 ②由①，②解得.专题：求三角形面积1、在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为（B）A． B． C．或 D． 或2、已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为（B）ACB30米20米A． B． C． D．ACB30米20米3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为。4、在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为（C）A． B． C． D．5、△ABC中，，，，则等于（C）ABC或D或6、在ABC中，,sinB=.（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积.7、、、为的三内角，对边分别为、、，若．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．解：（Ⅰ）又，，（Ⅱ）由余弦定理得即：，∴8、在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。解：由2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，得sin(A+B)=EQ\F(\r(,3),2),∵△ABC为锐角三角形∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的两根，∴a+b=2EQ\r(,3),∴c=EQ\r(,6),=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r(,3),2)。a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=EQ\r(,6),=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r(,3),2)。9、已知△的内角的对边分别为，其中，又向量m，n，m·n=1．（1）若，求的值；（2）若，求△的面积．解：（1）∵mn∴∴由正弦定理得，，∴，（2）∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴．10、在中，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．10.解：（Ⅰ）由，得．2分∵，∴4分．6分（Ⅱ）由，得，8分由正弦定理得．10分所以的面积．12分11、在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．解（Ⅰ）又，，而，所以，所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以所以定理应用1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（

）A.米B.米C.200米