2023年高考数学练习压轴题（新高考版）13 解三角形（选填压轴题） （解析版）

专题13解三角形（选填压轴题）

解三角形（选填压轴题）

①三角形边长相关问题

②三角形周长问题

③三角形面积问题

④三角形与向量、数列等综合问题

①三角形边长相关问题

1.（2022•福建省永泰县第一中学高二开学考试）在αA8C中，角A&C所对的边分别是

以从GA=I20,0是边BC上一点，的，4）且4）=6，则6+20的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】C

【详解】如图所示，

因为4=120。，所以3+C=60°,

∆Γ)/7

在RtAABD中，AB=-------，spɛɪɪ-,

tanBtanB

因为NCW=I20°-90°=30。，

由正弦定理可得：.ʤ=桨,即.「。/=./£a，

sinZADCsιnCSIn(NB+90)sin(60-B)

GCoSB

所以八

sin(60。-3)'

_ʌ/ɜeosfi2>∕3_>∕3cosB2Λ∕3

所以+sin(60o-B)+tanθG1.+tanB

`)——CosB——SinZ?

22

_G+26_26+2代_6

2^_l(anβtanB5/3-tanBtanB(G—tan5卜an5,

V^2an

因为0。<3<60°,所以0<lan8<6,

_______24

所以"2c≥=8

^>∕3-tanB÷tanBj

当且仅当JJ-tanB=tan8,即tanB=当时，等号成立,

所以。+2c∙的最小值为8.

故选：C

2.（2022•全国•高三专题练习）在锐角,ABC中，若JJsin以9出+出2）=sinBsinC,且

ac

行sinC+COSC=2,则α+b的取值范围是（）

A.(2后可B.(2,2√3jC.(0,4]D.(2,4]

【答案】A

【详解】由^/5sinC+c。sC=2sin(C+X)=2,^C+-=—+Ikπ,keZ,

662

n

Ce(Ot),.∙.C=g∙由题"M+"任=S^Sm：,由正弦定理有COSA+cosCb~b，

23acAnA,丁=而=五

故%+当=Tʌ√,即CoSAsinC+sinA∙CoSC=^^=返，故Sin(A+C)=sinB=叵,

sinΛSinC2sιnA244

即」_=勺叵，由正弦定理有_^=上=_^=生叵，故”=生叵sinA,b=逑SinB,又锐角

sinB3SinAsinBsinC333

ABC1RC=-f.∖AE(0,—),B=-—A∈(O,—),解得A∈(∙^∙,―)>

.∖a+b=—(sinA+sinB)=—[sinA÷sin(--A)]ɪ-(sinA+—cosA+-sinA)=4sin(A+-),

3333226

Aee,ʒ-),∙∙∙A+5∈(g,¾,Sin(A+∕)∈(g,”，

oZoɔɔ62

.∙∙a+b的取值范围为卜"可.

故选：A.

3.(2022•四川•乐山市教育科学研究所三模(文))已知、ABC中,A8∙AC=-3,33=2,

cos2A÷sin2B+sin2C÷sinBsinC=l,D是边BC上一点、,ZCAD=3ZBAZ).(H∣JAD=()

A.ðCdD.还

5427

【答案】B

【详解】设，ABC中，角ABC的对边为〃,5,c,

∙,cos2A+sin2B+sin2C+sinBsinC=I,即sin2B+sin2C+sinBsinC=Sin2A，

・∙b1+c1+bc=c^，

b2+c2-a2

cosA=-ɪ,又Ae(O,不)，

2bc

∙'∙A=-^-,乂AB∙AC=—3，AS=2'

.∙,AB-AC=2hcosA=2h×[--^∖=-3,g∣J⅛=3,

∙∙∙α2=⅛2+C2+⅛C=32+22÷3×2=I9,

⅛α=√19,

「a1+b1-c219+9-44SinC=gtanC=乌

cosC=--------------

2ab6√19一√W√I94

A=N

又Ne4f>=3N8">,

3

∙'∙Z.CAD=—,AD=ACtanC=3×=ɜ^ɜ.

244

故选：B.

4.(2022•江苏扬州•高一期中)已知锐角ABC中，角A、B、C对应的边分别为久b、

acosC+∖∣3asinC-⅛-c=0»若曰~(ab-c)=btanB,贝IJa的最小值是()

【答案】D

【详解】QCoSC+>∕54sinC-Z?-C=(),

∙'∙sinAcosC+^sinAsinC-sinB-sinC=0

∙,∙sinAcosC+Λ∕3sinAsinC—sinAcosC-cosAsinC—sinC=0,

∙*∙-^sinAsinC-cosAsinC-sinC=O,因为SinC≠0,

∙'∙GsinA-cosA-1=0»即2sinIA——=ɪ,又A∈0,彳∣,

π

A=—

3

^(ab-c)=⅛tanB,

力tanB

sinA

sinBtanB.C

asinB=---------------FsinC,

sinA

sinBsinC

a=--------------+-------

SinAcosBsinB

sinBsinAcosB+cosAsinB

a=---------------1------------------------------------------

sinAcosθsinB

sinBSinAcosB12CGl

--------------+--------------÷-=tanB+---------+—

SinAcosBsinB2√32tanB2

ΛBC为锐角三角形,

tanB>0,

a=^=tanB+-^-+-≥2+-^~,当且仅当tanB=3时取等号，

√32tanB2222

.∙.。的最小值是∣∙,

故选：D.

5.（2022•重庆市万州第二高级中学高二开学考试）在锐角4BC中，角A,B,C所对的边为a,b,

*sin8smCcosAcosCɔ.c①⑻/土+色口/、

若——~~--=----+-----，且πSirrA+sino~4-sirr7C=siπA∙sin3,则rl-----的取值氾围是()

3sinAaca+h

A.[√3,2√3)B.(6,4√3]C.[2√3,6)D.[y∣3,2)

【答案】D

【详解】⅛sin2A+sin2B-sin2C=sinA∙sinB>由正弦定理得-c?=αb,

即有coSC=T^=I而Ce(%),则Cg

sinBsinCCoSAcosC

又-------------=--------+-------

3sinA

722221。)

h不b+c-ara~+h~-c

由正弦定理、余弦定理得，2T2bcI2ab化简得：c=2∖[3»

3。ac

Cl_b_c_2∖∣3_

由正弦定理有：sinΛ-sinB-sinC~~^∣3~，即〃=4sinA,⅛=4sinB,

T

43C是锐角三角形且C=5,有Ae(O,5),β=y-A∈[^0,^,

解得Ae

因此。+人=4(SinA+sin3)=4sinA+sinf-ʃ-Aj=4sinA+^cosA+lsinA^

22J

c212

WI瓜2)

所以〃+厂4Ain(A+£|

故选：D

6.（2022・全国•高一期末）在平面四边形ABCD中，ABYAC,AC=>∣2AB,AD=3,BO=2#,则CO

的最小值为（）

A.述B.—C.—D.√3

322

【答案】D

【详解】由.八,…=∙B?,.,贝∣jA8∙sin4AO=2√^sinZ4OB,

sinZADBsinZBAD

又AB?=AD2+BD2-2ADBDcosZADB=33-12√6cosZADB,且NBAD=→ZDAC,

在△DAC中，CD2=AD2+AC'-2AD-ACcosZDAC=9+2AB2-6√2AB∙sinZBAD

=75-24√3（√2cosZADB+sinZADB）=75-72Sin（Z4。B+夕）且tan°=近，

所以，当Sin（Z4£）8+租）=1时，最小值CT>=√L

故选：D

7.（2022•河北保定•高一期中）AABC三内角A,B,C所对边分别是α,。，c.若。="〃+/-ac=y，

则2α+c的最大值为（）

A.2√7B.2√5C.5+mD.5-√3

【答案】A

【详解】由余弦定理CoSB=°,+♦二'=L乂QvB<兀，故8=f,

Iac23

由正弦定理知：，一=F-=三=2,则α=2sinA,c=2sinC,

SinBsinΛSinC

2TT

所以2^+c=4sinA+2sinC,而A=--C,

则2fl+c=4sin（-^-C）+2sinC=4sinC+2^cosC=2>∕7Sin（C+9）且tanφ=ɪ,

又0<C<与，当C+e=5时2α+c的最大值为2√7.

故选：A

8.（2022・全国,高一课时练习）在锐角,43C中，角4,Bf。所对的边为〃，b,c,若

SinBsinCCOSAcosCLJ3/、,,,c2山口,*+-0目/、

———=——+-------，且SMC=4缶2+〃—白，则rl」—的取值范围是（）

3sιnΛacC4'7a+b

A.(6,2√3]B.[6,4√3]C.D,[√3,2)

L23√

【答案】D

222

【详解】在锐角AABC中，由余弦定理及三角形面积定理得：Sλbc=^-(a+b-C)=abcosC

=~β⅛sinC,

2

∏∏士r小乃、π_sinβsinCCOSAcosC

即有tanC=JL而Ce(O,彳)，则C==,又°.,=----+-----,

233sinAac

122222

1Λ∕3b+c-aa+h-C

由正弦定理、余弦定理得，2_—‰—ɪ―2^b—，化简得：c=2√J,

-------------------------1----------------

3aac

Q_〃_c__4

由正弦定理有：sinΛ^sinβ^sinC^^，即α=4sinA,6=4sinB,

T

/3C是锐角三角形且C=g,有AW(Oe),B=y-A∈(0,∣),解得4呜令，

由A吗*:2哼"Sin(A+令∈(^ɪ,lj,

所以~~~i~=---------------T~e[后2)

所以〃+b4√3sin(A÷^)

故选：D

9.(2022•陕西省安康中学高一阶段练习)在」ABC中，角A,B,。的对边分别为。，b,J若

•/Λ八JCoSBCOSC)sinACIE八人』，+廿En、

sιn(A+C)——+-------B=-,则α+c的取值氾围是z()

VhcJSinC3

A∙隹可B.(|,港与4D.[|,闾

【答案】A

■、、…、,≈.「/cosBCOSC)SinA八π

【详解】由题hz知Slnz(Aλ+C)—--+=.,B=K

Vbc)sinC3

JCOSBcosCisinA

sinB∖-------+--------=---------

Ibc)sinC

COSBCOSC2√3sinA

即UΠ----+-----=-------

bc3sinC

由正弦定理化简得

„C2布besinA2季>ab

・・c∙cosB-∖-7b∙cosC=---------------=---------

3sinC3

«*-sinCcosB+cosCsinB=?四"""

3

•∙∕n,、∙Λ2√3⅛sinA

∙∙sιn(π+C)=sιnA=-------------

..√3

•∙o——

2

b

—=1

sinAsinBsinC

∙,∙<7+c=sinA+sinC=sinA+sin(ʒ^--A)=∙∣sinA+~~cosA=Gsin(A+ɪ)

0<A<-

3

ππ5π

/.—<Aλ+—<—

666

ʌ-<√3sin(A+-)≤√3

26

艮吟<α+c≤6

故选：A.

10.（2022・全国•高一课时练习）在锐角二ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,CS为一ABC

的面积，且2S=/-S-c）r2,则：h的取值范围为（）

233435

A.2B.D.

P3,24,35,3

【答案】D

【详解】解：∕∖ABC11,a2=b2+c2-2⅛ccosA,S=-⅛csinA,

2

由2S=/-(b-c)2,得历SinA=2Z?c—2ZJcCoSA,ΛsinΛ=2(1-cosA)；

ʌ.AA∙24A.∙∙tanʌɪ

oBPπ2sm-cos-=4sin—,,√sin—>0,

222222,

2×ɪ

4

-tanA=-------

,sinA=-,cosA=-

1-⅛}55

,bsinBsin(A+C)sinΛcosC+cosAsinC43

----------∙—,

csinCsinCsinC5tanC5

TT7ΓTT

,.,∆ABC为锐角二角形，A+C>—,0<——C<A<-,

222

.∙.o<—l-=tanɪπ-e<tanΛ=4

tanC23

3443255

3」+-<—×-+-=

55tanC5535153'

35

,

C53

故选：D.

11.（2022•全国•高三专题练习）设锐角ABC的内角A,8,C所对的边分别为4"c,若A=q,α=√J,

则从+C?+岳的取值范围为（）

A.(1,9]

C.(5,9]

【答案】D

【详解】因为4=q,α=√J,

a=G=2=b

由正弦定理可得SinA币sinB

~2

则有力=2sinB,c=2sin8，

由CABC的内角4,反C为锐角,

0<B<-,

2

可得ɔ，

C2;TCTr

0<------Bv-,

32

TT_ZT7Γ__TC5兀1.Iʌ»-»冗∣ʌ..Iʌ_.TtI.

<B<—=>—<2B-----<——=>—<sιn2B-----≤1=1>2<4sιn2B≤4,

62666216)Ik6)

由余弦定理可得tz2=⅛2+C2-2。CCoSAz∑>3=⅛2÷c2-be,

因此有b2+c2+bc=2bc+3

=8SinBSin仁-8)+3

=4百SinBcosB+4sin2B+3

=2√3sin2B-2cos2B+5

=5+4sin∣2B-ɪ∣∈(7,9]

故选：D.

Yr/-ere人R=I—廿□+、÷→Λ44-⅛÷-cosΛcosCSinBsinC

12.(2022・全国・图一期末)在锐角-A5C中，若----+-----=——~--⅛VJsinC+cosC=2,

ac3sιnΛ

则α+A的取值范围是（）

A.（6,2^]B.（0,4行IC.(2√3,4√3]D.(6,4√3]

【答案】D

【详解】由√5sinC+cosC=2sin(C+匹)=2,^C+-=-+2kπ,⅛∈z,

662

C∈(0,—),C=一.

23

由正弦定理知，≡4=-,

sinAa

由余弦定理知，cosA="十'———,

Ibc

cosAcosCSinBsinC

--------1--------=------；-------,

ac3sinA

ɪ

.∙.J5/6,化简整理得，仇26一C)=0,

■-X1-X

2bcac3a2

b≠0,：.c=2下,

Clb_c_26_4

由正弦定理，有SinA-sinBsin。-G一，.∙.a=4sinA,^=4sinB,

^2-

锐角ΔABC,且C=?,.∙.A∈(0,]),B=y-Λ∈(0,y),解得A∈([,ɪ),

.,.a+b=4(sinA+sinB)=4[sinA+sin(--A)]=4(sinA+—cosA+』sinA)=Sin(A+—),

3226

Aw(∕,ɪ),.∙.A+∕∈(g,寻)，sin(A+-^)∈(―,1],

0263362

「.a+Z?的取值范围为(6,4√3].

故选：D.

13.（2022•福建省福州格致中学高一期末）在锐角.4?C中，角A,8,C所对的边分别为a,"c,S为,,ABC

的面积，且2S=a2-S-c>,则2的取值范围.

C

【答案】

【详解】因为2S="一，MS=^bcsinA,

所以匕CSinA=a2-{b-cf,即b1+c2-a2=⅛c(2-sinA),

^22_2

由余弦定理得：COSAJC,

2hc

所以28SA=2-SinA,乂cos?A+sii？4=1,

所以sin?A+(l——sinA)2=1,

2

4

解得：SinA=M或SinA=0,

因为ABC为锐角三角形,

所以sinA=1,cosΛ=JI-Sin%=JlW=i,

-sinA4

所以tanA4=-------=—

cosA3

因大JA+B+C=TC,

所以SinB=sin(A÷C)=sinAcosC+cosAsinC,

bsinBsinAcosC+cosAsinC

由正弦定理得:

sinCsinC

434

一cosCH—sinC一ɔ

=55=q+3,

sinCtanC5

因为ASC为锐角三角形,

0<B<^A+C>-

22

所以，即

0<C<-0<C<-

22

所以方-A<C苫,

b…〃(π八CosA3

^wtanC>tan^--Aj=-7

4

ɪ4

所以°<碇）

44

所以0<5<16,3i35,

tanC155tanC53

b(3

故u一≡W

C151)

故答案为:

14.（2022・江苏•泗洪县洪翔中学高三阶段练习）在AHC中，角A,B9C所对的边为。，b,

喘F等+芝J且极的面积S2枭“y,则目的取值范围是

【答案】川

【详解】解:由SAABC=4MSinC邛（a-2）,

又C?二片+b2-2abcosC，所以LabSinC=^-∙2abcosC，

24

:.tanC=√3，0<C<7Γ,√.C=60o,

SinBsinCcosAcosC

-------------=---------1--------,.,.1cosΛcosC.

3sinAQCqX----÷

sinA

.73bb2+c2-a2a2+b2-c22b2b.ʌ/7

••X-=-----------------F-----------------=--------=,C-Z∖lJ

6a2abc2abc2abcac''

9p_C_2g

由正弦定理得2R=砒===4

sin——

3

所以α+b=4sinA+4sinB=4sinA+4sin^-A

...2τc..2TT..

=4sιnA+4sιn——cosΛ-4cos——sinA

33

^sinA÷lsA

=6sinA+25/3cosA=4>∕3c04∙j3s∖n(A+-),

226

一1、,八2π--.ππ5π.(.τπι∖∖1

因为0<A4<—，所tr以l一<Aa+—V—，所以SlnA+∙w1

3666k67/12

sMin+讣（2"响,

c2/、e1

∙*∙a+bSin(A+看i∙

故答案为:Γ1∙

15.（2022,福建厦门•高一期末）记锐角43C的内角A,BfC的对边分别为。，b,且

BF

sinBsinC+cos2B=sin2C+cos2A,若BE，CF是-ABC的两条高，则的取值范围是

Cr

【答案】

【详解】由sinBsinC+cos2B=sin2C+cos2A,得SinJ5sinC-Sin?B=sin2C-sin2A,

再由正弦定理得加+C?-/=比，故COSA=女②且=1

2bc2

所以A=1TT,

sin^B+y

∣⅛BEcsinACsinC1小CoSB

.一

——-ɪ-ItI-..I

CFhsinAhsinBsinB22sinB22tanB

又4ABC为锐角三角形,

0<84

故,,即十吟,

Q<π------B<—

32

故答案为：

16.(2022•宁夏・银川一中三模(理))锐角ABC中，角A,B,C所对边分别为mb,c,有

COS2A+cosΛcos(C-θ)=sinBsinC,且c=4,则α+A的取值范围为.

【答案】(2√3+2,4√3+8)

【详解】因为8s?A+cosAcos(C-B)=sin5sinC,

所以cosA[cosA÷cos(C-β)]=sinBsinC.

因为4+B+C=%,所以8+C=兀一A,所以85(3+。)=(：05(万一4)=一;：054

所以2cosAsinBsinC=sinBsinC.

因为ABC为锐角三角形，所以sin4>0,sinC>0,所以CoSA=；,所以A二。.

所以B+C=等，KPB=y-C

o<c<-

ɔπyr

因为一ABC为锐角三角形，所以ɔ2，解得：^<C<-

八2九462

0<C<—

32

由正弦定理急=熹=|得:2√3

sinC

g、i,2√34.(2πΛ2-^26COSCC=2√3-^+2

所以a+/?=—:f-+------sin------C=—^―+—----------+2

sinCSinC(3)sinCsinC

i

,1s∣冗H冗r"Lt、i冗CJT∙..TCC71

因为一<C<一，所•以—<—<一，r所r以tun—<tan—<tan—.

6212241224

/、tan----tan—「

因为ta*=tan∣ɪ-ɪ=----------------=2-√3,所以2-G'<tanτy<l,

12Bo√1+tanɪtanɪ~

46

1

/^<2+石εprl2√3+2<2√3--+2<4√3+8

所以，C,所以，C

tan——tan——

22

即2√3+2<Λ+⅛<4√3+8

在，ABC中，由两边之和大于第三边，所以α+6>c=4.

综上所述：2√3+2<α+fe<4∙^+8∙

故答案为：（2如+2,4币+8）

17.（2022•广西•南宁三中高一期末）在锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

6-α=2αcosC,则3的取值范围是

C

【答案】

【详解】由题设，sinB-sinA=2sinAcosC,∏rijB=π-(A+C),

所以SinA=COSASinC-SinAeoSC=Sin(C-A),乂0<A,C<—,

0<2A<-

2..∕Γ71

所以2A=C,且4ABC为锐角三角形，则，可rz得不”,

0<π-3A<-

2

而q=sinA

CsinC

故答案为：（等,暗）

18.（2022・河北•石家庄市第四十四中学高一阶段练习）在4ABC中，角AB,C所对的边分别是

a,b,c,若2^皿5=（2。+。1011（7,AinAsinC=TJsinB,则讹的最小值为.

【答案】12

【详解】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是αb,c,2csin8=（%+c）tanC,

2sinCsinB=(2sinA+sin,

cosC

.,.2sinBcosC=2sinA+sinC=2sin(β+C)÷sinC=2sinβcosC+2∞sBsinC÷sinC,

2cosβsinC+sinC=0,即COSB=—;，B∈(0,æ),

・∙β=τ

因为bsinASinC=6sin8=2x8=2siι√8,

2

∙*∙bac=2b9即ac=2bf

Xfe2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac，

即ac>Yl，当且仅当。=c时取等号,

αc的最小值为为12.

故答案为：12.

②三角形周长问题

I1「一+」一+1,贝IJAfiC

1.（2022•四川•成都七中高一期末）在ABC中，若AC=2,--------F------

sinBtanBsinAtanA

的周长的最大值为（）

A.2√5+4B.2√7+4C.2√5+7D.2√7+7

【答案】A

1COSB1cosA

【详解】由L+L+」+1可得一÷-----+--+1,

sinBtanBsinAtanAsinBsinBsinAsinA

两边同乘SinAsinB得sinA+sinAcos5=sin5+sinBcosA+sinAsinB,

两边同力口sinBcosAsinA+sinAcosB+sinBcosA=sinB+2sinBcosA+sinAsinB,

即SinA+sin(4+3)=sinB+2sinBcosA+sinAsinB,又Sin(A+5)=Sin("一C)=SinC,

则SinA+sinC=Sinβ(l+2cosΛ+sinA),设角AB,C对应的边分别为a,"c,

由正弦定理得α+c=8(1+2CoSA+sinA)=2(1+2cosA+sinA)二211+式Sin(A+0)]其中

2√5√5

sm^=-,cos^?=—,

不妨设Se(O,∣∙),易得当A+e='时，α+c取得最大值2+2有，此时周长最大值为

2+2+2√5=4÷2√5.

故选：A.

2.(2022•四川•遂宁中学高一阶段练习)在锐角AABC中，25=α2-(⅛-c)2,α=2,则AABC的

周长的取值范围是()

A.(4,6]B.(4,2石+2]C.(6,26+21D.(4,√5+2]

【答案】C

【详解】2S=a2-(⅛-c)2=a2-b2-c2+2bc-2bc-2bccosA,

S=hc-bccosA=-bcsinA,

2

.*.1-cosA=-^-sinA,HP2sin2—=sin-cos—

A为锐角,

2222

411443

tan—=~,tanΛ=——-=—,sinA=—,COSA=一

221355又Q=2,

ι1—

4

由正弦定理可得—一b_c_5

sinAsinBsinC2

所以b+c=g(sin3+sinC)=∙∣[sinB+sin(A+3)]

=—IsinB+-sinB+-cosθ∣=4sinB+2cosB

2l55J

L]A

=2√5sin(S+¢?),其中tane=5,φ=3,

因为ABC为锐角三角形，

所以会A<B后,

所以Sine-A+s卜sin(B+*)≤1,

4<2-V5sin(S+^)≤2λ∕5,

故，ABC的周长的取值范围是(6,26+2]

故选：C.

3.(2022•全国•高一期末)设锐角ABC的三个内角A.B.C的对边分别为a./?.。，且c=l,A=2C,

则.ABC周长的取值范围为()

A.(0,2+√21B.((),3+√3]C.(2+√2,3+√3)D.[2+忘,3+石]

【答案】C

【详解】Y,ΛBC为锐角三角形，且A+5+C=ι,

ττ

0<A<-0<2C<-0<C<-

224

τcTCπ厂π

0<B<-n∙0<^-C-2C<-≈>—<C<—

2263

0<C<-0<C<-0<C<工

222

πCπ在SC<B,

—VC<—

6422

又∙A=2C,

.,.sinA=sin2C=2sinC∙cosC,

又「C=1,

sinAsinC

∙'∙α=2cosC,

sinBsinC

csinBsin3CsinC∙cos2C+cosC∙sin2C,2-∣

即unbf=---------=---------=-------------------------------------=4cosC-L

sinCsinCsinC

∙,∙a+b+c=2cosC+4cos2C-1+1=4cos2C+2cosC,

又,•・函数y=4∕+2f在(匕苧上单调递增，

函数值域为(2+√Σ,3+√J),

故选：C

4.(2022•全国•高三专题练习)已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(c-⅛)sinC=αsinA-⅛sinB,若ΔA8C的面积为√J,则ΔASC的周长的最小值为()

A.4B.4+√3C.6D.6+逐

【答案】C

【详解】解法一:因为(c-b)sinC=αsinA-6sin3,所以由正弦定理得(c-6)c=合一从,

得从+。2一,=L由余弦定理知COSA=1，因为Ae(0∕),所以A=C,

2bc223

由S匕CSinA=IbCX^^=代，得be=4,

λbc222

22222

由(c-b)c=a-h得a?=∕√+c?一儿，则a=(⅛+c)-3⅛C=(⅛+C)-12,

所以Z>+c=JY+12，

因为Z√+c∙北c,所以〃..从,则α.2,当且仅当b=c时等号成立，

ΔA8C的周长为〃+%°=α+Jq?+12>

易知y=α+√02+12(a.2)是关于4的增函数，

所以当α=2时，ΔABC的周长最小，为2+转+12=6；

解法二：因为(C―匕)SinC="SinA-AsinB,所以由正弦定理得(c-b)c=/一从，

得/+°2—，=J.,由余弦定理知CoSA=?，因为A∈(0,ι),所以A=工，

2bc223

建立如图所示的平面直角坐标系，因为NCAB=(,所以可设C(χ,Jir)B(X2,O),则

SABC=gxj^∙x∣xjc2=6，即XIX2=2,所以ΔABC的周长为

故选：C

5.（2022•全国•高三专题练习）已知锐角ABC的内角AB,C所对的边分别为a,6,c,且

6=2,17SinBmCOSC+ccosA）=86,ABC的面积为2,则ABC的周长为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【详解】由已知可得17sin8(αcosC+ccosA)=86,由正弦定理可得17SinBSin(A+C)=8sin8.

QO

β∈(0,π∖:.sinB≠0,sin(A+C)=—；.,.sinB=sin∣√r-(A+C)]=sin(A+C)=—.

1717

角B为锐角，.∙.cosB>O,.".cosB=Vl-sin2B=JI-(Vj=yy,

ASC的面积为2,.∙.S=Qacsin8=