2023年甘肃省金昌市高考数学二模试卷（文科）

2023年甘肃省金昌市高考数学二模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数Z满足Z=岩，其中i为虚数单位，则5=()

AA.--4-3-I.BD.--4+-3I.C.-4+3ɪ.ipDʌ.-4--3I.

ɔɔɔɔɔɔɔɔ

2.已知集合4={x∣y=lg(x+2)},B={x∖x2<9},则4CB=()

A.(-2,0)B.(-2,3]C.[0,+∞)D.[3,+∞)

3.已知圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,若该圆台的体积为56兀，则其母线长为()

A.2√-IθB.2√^6C.4D.√^13

4.已知向量方,3的夹角为30。，I©=IBI=3,则|2五+bI=()

A.√-5B.√-6C,√^39D.7

5.已知αe(O,τr),且3cos2α+7cosα=0,则Sina的值为()

6.在等比数列{an}中，a⅛=2,a6=8a3,Srj是数列{a⅛}的前n项和.若Sm=127,则m=()

A.5B.6C.7D.8

7.在正AABC中，连接三角形三边的中点，将它分成4个小三角形，并A

将中间的那个小三角形涂成白色后，对其余3个小三角形重复上述过程

得到如图所示的图形.在△4BC内随机取一点，则此点取自白色部分的概

率是（）

B∙⅛C∙⅛D4

8.某程序框图如图所示，若输出的k=3,则判断框内的条件

可以是（）

S=OeA=8

A.S=2?

B.S=3?

C.S=4?

D.S=5?

9.已知％o是函数f(%)=(尸一%+4的一个零点，若%ι∈(2,%o),x2∈(x0∕+∞),则()

A.&∈(2,4)B./(x1)>/(x2)

C./(x1)<0,/(x2)<0D./(%ι)>0，/(x2)>θ

10.已知双曲线捻一'=l(α>0,b>0)的右焦点为F,以尸为圆心，α为半径的圆与双曲线

的一条渐近线的两个交点为4,B.若乙4FB=60。，则该双曲线的离心率为()

A口B.ʃɪC.D.C

2232

11.已知函数f(x)=x3-αx2+3x在R上单调递增，且g(x)=x+六在区间(1,2]上既有最大

值又有最小值，则实数α的取值范围是()

A.[3,4)B.(2,3]C.(3,4]D.[2,3)

12.已知直线I过抛物线y2=4%的焦点F,且与抛物线相交于4B两点，点B关于X轴的对称

点为当(异于A点)，直线AB1与X轴相交于C点，若直线AC的斜率为?，则AABC的面积为()

AwB.9C.D.4<3

333

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数f(x)=/e*的极大值为.

14.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，”今有金维，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩

末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细.在

粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据

上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为斤

15.若函数f(x)=2sin(3x+飘3>0),又4(a,2),B(QO)是函数/⑸的图象上的两点，

且MBl的最小值为J4+,，则f(⅞E)的值为.

16.已知三棱锥4-BCn内接于球。，点M,N分别为4B,Co的中点，且MN1AB,MN1CD.

若AB=2CD=2MN=12,则球。的体积为.

三、解答题(本大题共7小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在△4BC中，内角4B,C的对边分别为α,h,c,且S=3£十等.

becb

(1)求B；

(2)若哥M=与“，求人

V∆b-↑-cL

18.(本小题10.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PABI平面4BCD,PB1PD.

(I)证明：PB，平面P4D；

(2)若PA=PB,BE=IEC,且AB=2,BC=3,求点E到平面PCO的距离.

19.(本小题10.0分)

中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了

解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长(单位：小时)，分别从这两个班中随机抽取5名

同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：

如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”.

(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；

(2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率.

20.(本小题10.0分)

己知桶圆C的中心为坐标原点，对称轴为X轴，y轴，且过(2,0),(C,?)两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线，，使得直线/与圆M+y2=1相切，与椭圆C交于力，B两点，且满足成.OB=

0(。为坐标原点)？若存在，请求出直线，的方程，若不存在，请说明理由.

21.(本小题10.0分)

已知函数f(x)=Inx-ʌ(ɑ∈R).

(1)若α=-2,求函数/(x)的图像在CLJ(I))处的切线方程；

(2)若与，*2是函数f(x)的两个极值点，求α的取值范围，并证明：/(x1)+/(X2)=2/(1).

22.(本小题10.0分)

fx=-2+ɪt,

在直角坐标系Xoy中，直线，的参数方程为《L(t为参数)，以坐标原点O为极点,

(y=-2-ɪt

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为psi/e一4cosθ=0.

(1)求曲线C的直角坐标方程和1的普通方程；

(2)求曲线C上的点到直线［距离的最小值.

23.(本小题10.0分)

已知函数f(%)=∖2x-1∣+∖2x+1|.

(1)求不等式/(x)<4的解集；

(2)若不等式/(无)<4的解集为M,α,b∈M,求证：1⅛⅛<1.

答案和解析

I.【答案】A

Z

【解析】解：由复数Z=段,得Z=震=君福=r=Y+1〃

所以Z=—ɪ—ɪi.

故选：A.

根据复数除法运算化简复数z,然后可得W.

本题主要考查共筑复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由A={x∖y=lg(x+2)}={x∖x+2>0}={x∣x>-2},B={x∣x2≤9}={x∣-3≤

X<3},

所以AnB=(-2,3],

故选：B.

分别计算出集合4和B,再由交集的运算计算出4CB,即可得出答案.

本题考查集合的运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：设圆台的高为九，

则圆台的体积V=∣τr(22+42+2×4)×∕ι=56π,

解得h=6,

故圆台母线长(=√62+(4-2)2=2√Tθ.

故选：A.

根据圆台体积公式求出圆台高，再由高及底面半径求圆台母线.

本题主要考查了圆台的结构特征，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由题意可知，∣2五+BE=4∣α∣2+∣K∣2+4α∙K=12+9+4×√3×3×^=39.

解得|21+另I=√^9∙

故选：C.

根据向量的数量积的定义及运算性质求解.

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：由3cos2α+7cosa=0得3(2cos?a—1)+Icosa=0,^6cos2a+7cosa-3=0,

所以(2COSa+3)(3cosa-1)=0,又α∈(O,ττ),则CoSa∈(—1,1),

所以CoSa=

所以SilIa=√1-cos2α=ɜ-ɪ-

故选：D.

先用余弦的二倍角公式解出COSa,再用平方关系即可求出Sinα.

本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解:设｛Qn｝的公比为q,

则的勺？=8α3,解得q=2,

由=oq，解得Ql=1,

所以Sm=ʌɪ=2m-l=127，

1—2

解得Jn=7.

故选：C.

根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解.

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：将中间白色三角形依规律分成4个小白色三角形，如图所示，

则△4BC共可分为16个相同的小三角形，白色部分有7个小三角形，黑色部分有9个小三角形，

A

B念c

故在△4BC内随机取一点，则此点取自白色部分的概率是：⅞∙

Io

故选:B.

将中间白色三角形依规律分成4个小白色三角形，根据几何概型分析计算即可.

本题主要考查几何概型，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：S=0,k=8；S=8,k=7；S=1,k=6；S=5,k=5；S=0,k=4；S=4,

k=3,

输出Zc=3,则判断框内应填入"S=4?".

故选：C.

根据流程图逐步代入数据检验即可判断.

本题主要考查程序框图的应用，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：函数y=《尸在区间(2,+8)上单调递减，函数y=-X+4在区间(2,+8)上单调递减，

故函数f(x)=G)X—X+4在区间(2,+8)上单调递减，

又/(2)>0,f(3)>0,f(4)>0,/(5)<0,

所以和∈(4,5),

e

因为f(&)=。ɪi∈(2,x0)>×2(Xo.+∞)-

由单调性知/(Xi)>0,/(X2)<0,即/01)>/(x2).

故选：B.

根据指数函数及一次函数的单调性确定函数递减，再由零点存在性确定零点范围，结合单调性判

断/01)，人犯)大小•

本题主要考查了函数性质在函数零点判断中的应用，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】解：因为44FB=60o,FB=FA=a,所以三角形力FB

为正三角形，

因为α2+b2=",所以b=竽,所以C?=济，所以

故选：D.

结合圆的垂径定理及点到直线距离公式求出焦点到准线的距离，求出离心率即可.

本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

IL【答案】B

【解析】解:H⅛∕(x)=X3—ax2+3x,则/'(X)=3/一2αx+3,

若/(x)在R上单调递增，则f'(x)≥0在R上恒成立，

即3χ2-2ax+3≥。恒成立，则4=4a2-36≤0,

解得一3≤α≤3,

当α<0时，因为函数y=X和y=会在(1,2］上均单调递增,

所以函数g(x)=x+六在区间(1,2］上单调递增，无最小值，不符合题意,

当α=0时，g(x)=X在区间(1,2］上单调递增，无最小值，不符合题意，

当α>0时，g(χ)=χ+9,

由对勾函数的性质可知，函数g(x)在(0,「)上单调递减，在(Jl,+8)上单调递增,

因为g(x)=X+六在区间(1,2］上既有最大值又有最小值，

所以卜<Jl<2,解得2<a≤4,

(9(2)≥g(l)

所以实数ɑ的取值范围是(2,3］.

故选：B.

根据函数/(x)在R上单调递增，利用函数导数性质求出ɑ的取值范围，在由g(x)在区间(1,2］上既有

最大值又有最小值求出ɑ的取值范围，然后求交集即可.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了对勾函数的性质，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：设抛物线的准线与X轴的交点为C],过点48分别作准线的垂线，垂足分别为M,N,

因为4M〃FCJ/BN,并结合抛物线定义可得舞i=霹=煞，

/VCrf1DIDli

又因为N4MCι=NBNCl=90°,

所以AAMCISABNG,所以ZJlMCl=ZjVBC「即2。/=NBC∕,

因为点B关于X轴的对称点为当,所以点G与点C重合，

设直线48的方程为X=ky+1,A(x1,y1'),B(x2,y2)>则BI(X2,-丫2)，

联立方程F=4x;1得y2_My_4=0,

Ix=fcy+1

所以为+丫2=4k,y1y2=-4,

又因为直线AC的斜率为?，

所以也=母牛=?,即旷1一乃=4「，

3

XI-X2k(.y1-y2)Jl,2V

所以AABC的面积为2XICFlX∣yi-y2∣=I×2×4√3=4√3.

故选：D.

根据题意可证明C,Ci重合，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系及直线斜率求出yι-%，

再由三角形面积公式得解.

本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

13.【答案】4e-2

【解析】解：:/(%)的定义域为(-8,+8),

且f'(x)=x(x+2)ex,

X变化时，/Q)与f'Q)的情况如下：

X(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)

f'(χ)+O—0+

f(%)T极大I极小T

故当X=-2时，f(x)取得极大值为/(-2)=4e~2.

故答案为：4e~2.

先求出函数的导数，得到单调区间，求出极值点，从而求出函数的极值.

本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题.

14.【答案】15

【解析】解：由题意知每节的重量构成等差数列，

设首项为2,则第5项为4,

所以总重量为等X5=15斤.

故答案为：15.

根据题意，每节重量构成等差数列，由等差数列求和公式得解.

本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题.

15.【答案】-1

【解析】解：因为A(α,2),B(β,O),所以MBl=√(a-£)2+4,则J7a—0尹4≥J4+4

所以∣a-3min=*此时点力、B为函数上相邻的最高点和对称中心，

所以J=：所以白=M解得3=1,所以f(x)=2sin(x+g),

所以/(当—2si"d+J)=2sin(π+ɪ)=一2以ng=-1.

ODɔOO

故答案为：-1.

先根据最大值点和对称中心的最小距离求出周期，再求出函数解析式，代入解析式结合诱导公式

及特殊角的函数值求解即可.

本题主要考查正弦函数的图象，属于中档题.

16.【答案】585f^π

ID

【解析】解：依题意知，MN既是4B的垂直平分线，又是CD的垂直

平分线，

所以球心。在线段MN上，如图，

设No=X,球的半径为R,

在RtA40N中，R2=X2+62,

在RtZkOOM中，R2=(6-x)2+32,

贝!∣R2=%2+36=(6—x)2+9=>X=-

所以R=到亘W=2ΓR3=咨®

43716

故答案为：585孑.

根据题意知球心。在线段MN上，由直角三角中勾股定理列出方程求出半径即可得解.

本题考查球的相关计算，属于中档题.

17.【答案】解：(I)由已知及正弦定理得SirL4=SinBcosC+SinCsinB,

因为S讥A=SiIl(B+C)=SinBcosC+SinCcosB,

所以SinCS讥B=SinCcosB,

因为SiTIC≠0,所以SinB=COSB,

因为Be(O,兀)，所以B=a

(2)因为=月C,由正弦定理化简得CSinB+SinC=£⅛2s讥4

√2b+c22

又SiTlC=sin(x4+8)=SinAcosB+CoSASinB,

所以VI.早-V^sinA+^cosA=%CSM4

所以1=sinA-cosA=∖Γ2(^-sinA一:CoSA)=√~2sin(√l-ɪ),

LLLLO

所以Sin(A-ɪ)=?，

OL

因为4∈(0,¾,所以A—∈(―

4oOlZ

所以aYJa=含

【解析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；

(2)由正弦定理化简后再由两角和正弦公式及辅助角公式化简得解.

本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABC。是矩形，所以AD∙L4B,

又平面PaBJL平面ABCD,平面PABC平面ABCD=AB,ADU平面ABCD,

所以力DI平面P4B,因为PBU平面PAB,所以PBIA0.

因为PBJ.PD,PDf]AD=D,PD,ADU平面P40,所以PB_L平面P4D.

(2)如图，取AB中点为0,连接PO,由(1)知PBl平面PAD,所以241.PB,

又PA=PB,AB=2,

所以Po=1且POjLaB,

由平面P4B_1_平面48C0,平面PABn平面ABC。=AB,POU平面4BC0,

则P。，平面ABCO,即点P到平面ABC。的距离为1,

因为PB1PD1PB=√^2,BD=√^13-所以PD=>∏L1.

又PBLAD,AD//BC,所以PBIBC,

所以PC=J(C)2+32=T

所以SAPCD=TX2XJ(√Il)2-12=√10>

设点E到平面PC。的距离为九，则/_PCD=VP.DCE,

∣×^×1×2×1=∣××h,解得

即点E到平面PCD的距离为音.

【解析】(1)根据面面垂直可得线面垂直，再得线线垂直，由线面垂直的判定定理得证;

(2)根据等体积法求出点到面的距离即可.

本题考查线面垂直判断以及点到平面的距离，属于中档题.

19.【答案】解：(1)甲班样本数据的平均值为2(8+13+28+32+39)=24,

由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；

乙班样本数据的平均值为看(12+25+26+28+31)=24.4,

由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时.

(2)由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为α,b,c,乙班“过度熬夜”的有2人，记为d,

从中任取2人，有Qb,ac,ad,ae,be,bdfbe,cd,ce,de,共10种可能，

其中都来自甲班的有M,Qc,be,共3种可能，

所以所求概率P=去

【解析】(1)根据平均数计算公式直接计算可得；

(2)列举出所有可能情况，然后由古典概型概率公式可得.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

2

20.【答案】解：(1)设椭圆C的方程为m/+ny=i(m>0fn>0lm≠n).

因为过(2,0),(C,?)两点，

所以{3m+∕=l'解得m=M=京,

I4

所以椭圆C的方程为4=L

43

(2)假设存在直线2满足题意.

(i)当直线，的斜率不存在时，此时/的方程为X=±1.

当I：X=I时，OB≠0,

同理可得，当I：X=-I时，OA-OB≠0.

(ii)当直线，的斜率存在时，设I的方程为y=kx+m,设4(∕,yι),B{x2,y2),

Iml_1

因为直线吗圆。相切，所以丁丁一1,即病="+1①，

y-」

+m,

+

联立方程组整理得(3+4∕C2)X2+8kmx+4m2—12=0,

x2τy23

Δ=48(4∕C2-m2+3)=48(3fc2+2)>0,

_一8km

%+%2―3+4∕C2

由根与系数的关系,得《

4/-12

Xl×2=3+4F,

因为瓦？,赤=0，所以Xι%2+%丫2=。・

22

所以XIX2+(kxι+m)(kx2+m)=(1+k)x1x2+km(%1+x2)÷m=0,

-8km

所以(1+∕c2).黑京2+km•+m2=O,

3+4∕C2

整理得7T∏2_12∕C2-12=。②,

联立①②，得Y=-I,此时方程无解.

由(助(团)可知，不存在直线，满足题意.

【解析】(1)设椭圆方程为+ny2i(m>0,n>0,m≠n),将已知点坐标代入解方程组即可;

(2)分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程消去y,利用

韦达定理表示刀•南=0,再根据直线与圆相切列方程，联立求解即可判断.

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题.

ɪ2

21.【答案】解：(1)当α=-2时，/(X)="X+*9,[S)=]一不及，

所以f(D=ι,Γ(i)=j,

所以函数/(无)的图像在(Ija))处的切线方程为y-1=i(x-l),即X-2y+1=0.

(2)因为/(X)=Inx-ɪ,

所以/'(X)=~+=≡⅛⅝±1(χ>0),

jk7%α+i)2Xa+ip、>

由题意知与，不是方程/(%)=。在(0,+8)内的两个不同的实数解，

令九(%)=%2÷(2+a)x+1,

又八(0)=1>0,且函数h(x)图像的对称轴为直线X=-竽，