新教材苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程 课时练习题含答案解析

第三章圆锥曲线与方程

3.1椭圆.....................................................................1

3.2双曲线..................................................................12

3.3抛物线..................................................................26

3.1椭圆

一、单选题

/2

I.已知命题p：方程一二+二v一=ι表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题。成立的充分不必

5-tntn-∖

要条件是（）

A.3<m<5B.4<m<5C.1<WJ<5D.m>∖

【答案】B

22

【解析】若方程一匚+工一=ι表示焦点在y轴上的椭圆，

5-min-1

则〃2-1>5-〃2>0,解得：3<m<5.

所以〃成立的充要条件是：3<m<5,

结合四个选项可知：〃成立的充分不必要条件是4<m<5,

2.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面

积除以圆周率乃等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点K、ɛ

在y轴上，椭圆C的面积为2鬲，且离心率为g,则C的标准方程为（）

【答案】c

【解析】由题意可知，椭圆C的面积为乃M=2岛•，且。、匕、C均为正数,

ab=a=2

,解得N=6,

即,

a2

a2=b2+c2

29

因为椭圆C的焦点在y轴上，所以C的标准方程为三+二=I.

34

3.椭圆E：］+g=l（a>6>0）的左、右焦点分别为月、F2,E上存在两点A、8满足

EA=2gB,M6∣=gα,则E的离心率为（）

A.立B.-C.BD.；

3322

【答案】A

【解析】作点5关于原点的对称点C,连接BK、CK、CF2、BC,

则。为Be、KK的中点，故四边形Me玛为平行四边形，故C不/3鸟且KMl=I眶I,则

CFi=F2B,

所以，F,A=2CFl,故A、环、C三点共线，

由椭圆定义，∣A制+∣A段=24,有IA周=∣α,所以IC用=∙∣,则IAC=α,

再由椭圆定义附+|固=2α,有阳=半，

因为∣Cg∣2=∣AC∣2+∣A/ʧ,所以NCA居=90,

在鸟中，I耳/ʧ=IMr+hʃʧ即de?=?/,所以，离心率e=好.

4.已知产是椭圆C:[+1=l的右焦点，点4（2,苧）在C上，直线他与y轴交于点8,

点户为C上的动点，则尸A∙PB的最小值为（）

【答案】C

‘36丫

【解析】由题可得2?、亏,

__十L

m-15-

22

m=16,即椭圆C:土+"=I,

1615

ΛF(l,0),直线AF方程为y=苧(x-l),

22Q/C

j

设夕(不，九)，则务+⅛=l，PA=2-x0,---%,PB=-x0,-----%

16152.∖L

.・・PΛ∙PB=(2-x0)(-x0)÷%

=XQ-2x0+y^一~—

2ʌ15245

=XO-2x0+15--X0-

1、49

=ττ(-ro-ɪð)--T,乂-4'x<>’4,

Io4

13

，当XO=4时，P4P8有最小值为一丁.

4

5.如图，椭圆的中心在坐标原点。,顶点分别是4,&,综约，焦点分别为耳巴，延长B石与

4为交于尸点，若NBr4为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()

【答案】D

【解析】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为。，b,c,则与人=(α,-6),

F2Bt=(-c,—b),

因为NBf4就是与人与84的夹角，所以与4与84的夹角为钝角，

所以与4,月4<。，W-ac+b2<0.Xfe2=a2-c2,

所以“2—九—c2<o,两边同时除以“2,得i_e—e2<0,即/+e-l>O,

解得eV-"'或e>—+逐,又0<e<],

22

所以土史<e<l,

2

所以椭圆离心率的取值范围为七一，1，

6.在平面直角坐标系XOy中，若的顶点40,-2)和C(0,2),顶点3在椭圆1+:=1上,

12o

sinA+sinC

则的值是()

sinB

A.√3B.2C.2√3D.4

【答案】A

【解析】由题设知：AC为椭圆的两个焦点，而8在椭圆上,

所以IAB∣+∣C8∣=24=46,∖AC∖=2c=4,

,+eq,,乂才，sinA+sinC∖AB∖+∖CB∖

由正弦定理边角关系知：-=-rττr.-=vrɜ.

SinBIAC∣

7.已知点44,0)和风2,2),M是椭圆上+片=1上的动点，则IMAI+∣M8∣最大值是()

259

A.10+2√10B.10-2√10C.8+√IOD.8-√K)

【答案】A

r2v2

【解析】解：楠圆'+二=1,所以A为椭圆右焦点，设左焦点为尸(T,0),

259

则由椭圆定义IMAl+∣MF∣=20=10,

于是IM4∣+1MBI=10+∣M8∣-IMF∣.

当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是IMBlTMFIVBFI,

而当M在直线即与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有IMBI-IM尸I=-IBFI,

在第三象限交点时有∣M8∣-∣MFRBF∣.

显然当M在直线BF与椭圆第：象限交点时IM4∣+∣MBl有最大值，其最大值为

22

∖MA∖+∖MB∖=∖0+∖MB∖-∖MF∖=∖0+∖BF∖=↑0+y∣(2+4)+(2-0)=10+2√10.

22

8.已知椭圆C:，+g=l(a>A>O"，K为C的左、右焦点，P(肛〃)(加>0,〃>0)为C上一点，

且△「/=；E的内心/(s,l),若的面积为2〃，则〃的值为()

348

A.-B.—C.-D.3

533

【答案】C

【解析】由题意可得，APG用的内心/(s,l)到X轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C

上，.∙.∖PFl∖+∖PF2∖+∖FlF1∖=2a+2c,.∙.S,=!(2α+2c)xl=α+c=2⅛.又c=eα,.∙.6=∙^∙^,

-Λ]222

222222

α=Z?+C,Λ+ae=a,即(l+c)2+4/=4,.∙.5e2+2e-3=0,解得e=j或T(舍)，

.∙.C=]∕>="又SW=乐闾"=c",.∙.∕+α=∙∣α",解得”=∙∣.

二、多选题

9.(多选)设定点6(0,-3),E(0,3),动点尸满足IP用+∣P用=α+'(α>0),则点尸的轨迹可

能是()

A.圆B.线段C.椭圆D.直线

【答案】BC

【解析】由题意知,定点6(0,-3),心(0,3),可得忸1|=6,

因为q>0,可得IP用+∣P耳∣=4+242^ΣJ=6,

9

当且仅当。=一，即。=3时等号成立.

a

当α+∖=6时，可得的|「耳|+归周=闺勾，此时点尸的轨迹是线段耳巴；

当α+:>6时，可得∣P6∣+∣P闾>|耳闾，此时点P的轨迹是椭圆.

10.已知椭圆/∕=l(4>b>O)的左、右焦点分别是耳，F2,尸是椭圆上一点，若

∖PFλ∖=2∖PF2∖,则椭圆的离心率可以是()

1112

A.-B.-C.-D.—

5433

【答案】CD

【解析】由椭圆的定义,可得Ipl+∣"∣=20.

又IP周=2∣P闾，所以IP用=>,∖PF2∖=ja.

①当点尸与6,K不共线时，在APEK中，|「周一|明|<出闾,

2c1

即一α<2c,所以e=—>—.

3a3

②当点尸与K,K共线时，分析知∣PK∣=α+c,∣p闾=α-c,

所以α+c=2(α-c),即α=3c,所以e='=L

a3

综上，椭圆的离心率的取值范围是ɪ,l],

11.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心厂为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它

的近地点A(离地面最近的点)距地面机千米，远地点B(离地面最远的点)距地面W千米，

并且R48三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距

分别为2«3、2c,则

A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD,b=J(一+R)(n+R)

【答案】ABD

【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，

[m=a-c-R

并且根据图象可得,(*)

[n=a+c-Rd

.∖a-c=m+R,故A正确；

4+c="+R,故B正确；

(*)两式相加机+〃=2α-2R,可得2α=A∏+"+2R,故C不正确；

由(*)可得J,+R=α+c，两式相乘可得(m+4(,+R)=a一0

,-c^=b~，

2

.-.b=(m+R)(n+R^h=y∣(m+R)(n+R),故D正确.

12.已知椭圆C:^+?=l上有一点P,片、尸2分别为其左右焦点，ZF∖PF[=e,△/=；「心的

169

面积为S,则下列说法正确的是()

A.若6=60°,则S=3√LB.若S=3,则满足题意的点尸有4个；

C.若心是钝角三角形，则Seθɪ；D.椭圆C的内接矩形的周长的最小值为

\7

12.

【答案】ABC

【解析】由椭圆C:工+汇=1可得α=4,6=3,贝!∣C=√7,

169

,,..[m+n=2a

对于A,设附=租,格=〃，NF∖PF°=8,则L,,2c“，由此可得

[4c=m+n-2mncosθ

mn=————，所以鸟的面积为SSine=J——------sinθ=b2∙Sine=力tan—

1+cosΘ221÷cosθ1+cosθ2

所以S=b2tan'=9xtan30o=3宕,所以A正确,

2

对于B,因为S=g忻用∙∕ι=gx2√7∕z=3,则fl=亚<b=3,所以由桶圆的对称性可知满

足题意的点尸有4个，所以B正确，

对于C,因为△耳Pg是钝角三角形，所以中有一个角大于90。，当NP巴耳=90。时,

设IP制=闻”|=〃，则/=〃2+4/="2+28,因为祖+〃=2a=8,所以解得n=∖,所以

S=；IKElIPKI=TX2√7χ'=乎，所以△/:；2鸟是钝角三角形时，有Se。,乎，所以C

正确，

f%=4cos^(π∖

对于D,令.,0,-,则椭圆内接矩形的周长为

[y=03sιn6n<2)

4(3Sine+4COSe)=I6cos6+12sin0=2θ(^sin6+[cosθ)=20sin(6+e)(其中夕e且

满足Sine=*cos=∣),由θ∈(θ,f得"夕+9+"所以椭圆内接矩形的周长的范围

为(20Sin(S+∣θ,20sin/，即(12,20],所以D错误，

三、填空题

13.已知B,B是椭圆工+V=I的两个焦点，点P在椭圆上，PF,Lc轴，则PKK的面

4

积为.

【答案】巫##：6

22

【解析】由题意不妨设6(-√3,O),F《60),

∙.∙P尸2,X轴，∙∙∙Λ√3,+ɪ),

,：XPF∖F[的面积=；FF2Il耳心I=J*ɪ×2√3-ɪ,

2222

22

14.已知椭圆C:^+方=1,>Z>>O)的焦点为F-F2,若椭圆C上存在一点P,使得

PFiPF2=O,且^FiPF2的面积等于4.则实数b的值为.

【答案】2

【解析】由题设，→2c×∣y,>∣=c∣»|=4,且(-c-x0,-yj(c-巧,,-%)=(),可得£=<?-W，

又C：军+洛=匕先+哈=1，则∣y,∣=0,

abab^^c

综上，从=4,又6>0,W∣J⅛=2.

22

15.已知椭圆E:二+2=1的一个顶点为“(2,0),对于X轴上的点Pa0),椭圆E上存在点

43

M,使得MPLMH,则实数f的取值范围是.

【答案】(-2,-1)

【解析】设M(Xt),%)(-2<Λ0<2),则J+*=],①

MP=(r-x0,-y0),MH=(2-x0,-y0),

由MPJ,Λ∕“可得MP∙MH=0，即(，-天)(2-%))+乂=0,②

由①②消去治,整理得[2-%)=-；京+2x0-3,

13

因为XoW2,所以I=1/-,,

因为一2<x0<2,所以—2<t<—1,

所以实数Z的取值范围为(-2,-1).

16.已知椭圆C的焦点4(-20,0),fζ(2√2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,

8两点，则线段A8的中点坐标为.

【答案】，弱

【解析】由已知条件得椭圆的焦点在X轴上，其中c=2√∑,。=3,从而b=l,

.∙.其标准方程是：y+∕=l,

----FV=1

联立方程组2,消去V得，IOX2+36χ+27=0.

γ=x+2

设A(XP必)、B(X2,M)，A8线段的中点为M(X°，％),则x∣+x2=-1,/=刀2=-二，

191

.∙.%=$+2=《，即线段AB中点坐标为(-∣Λ).

四、解答题

17.已知AABC底边两端点8(0,6)、C(0,-6),若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为

4

求点A的轨迹方程.

【解析】设A(X,y)且XW0,则3∕AC=E∑1空/=匕型=一±，

22

整理得：A的轨迹方程土+匕=1("0)∙

8136v)

18.已知圆C满足:圆心在直线x+y=O上，且过圆x2+y>2-2x+]0γ-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的

交点A,B.

(1)求弦AB所在直线的方程；

(2)求圆C的方程.

22

X+γ-2x+10γ-24=0z

【解析】(1)由,7,^x-2y+4=0

x2+y2+2x+2y-8=0

故弦A8所在直线的方程为x-2y+4=0

,IX2+y2+2χ+2y-8=0fx=-4JX=O

(2)由《:,八，解得〈八或＜C

[x-2y+4=0[y=o[y=2

故4(TO),3(0,2)

设圆心C(α,-α),由(α+4)2+a?=42+(a+2尸，解得a=—3,即C(—3,3)

r2=a2+(a+2)2=9+1=10,故圆C的方程为(x+3)?+(y—3)?=10

19.已知直线/：∣wc-y+2-m=0,。C的方程为Y+y?-2x-4y=0.

⑴求证：/与。C相交；

(2)若/与。C的交点为A、B两点，求OAB的面积最大值.(。为坐标原点)

【解析】⑴

由宜线/：mx-y+2-m=0,得"z(x—l)+2-y=0,

(X—1=0[x=1、

叫2-y=0可得|y=2'所以直线'过定点P。z⑵，

由圆C：X2+y2-2x-4y=0可得(X-Iy÷(y-2)2=5,

可得圆心坐标C(l,2),从而可得直线/过圆心，则/与G)C相交;

(2)

因为直线/过圆C的圆心，所以I阴=2石，

因为O点在圆C上，则C到直线AB距离的最大值为IoCl=逐，

所以.OAB的面枳最大值为gx2√^x石=5.

20.已知点P是椭圆=l(α>6>0)上一动点，F∣(-6,0),∕⅛(√3,0)分别为椭圆的左焦

点和右焦点，NiPE的最大值为90。，圆O：/+y2=2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过圆。上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M,N,求证：以MN为直径的圆过

点0∙

［解析】⑴当点P在短轴端点处时，N耳尸鸟最大,而N耳尸鸟的最大值为90。，则有。=C=有，

a2=b2+c2=6,

所以所求椭圆的标准方程为《+q=1：

63

(2)过点。的圆O的切线斜率不存在时.，切线方程为X=或X=五，由椭圆及圆的对称性，

不妨令切线为X=应，

由(1)可得M(虚,0"),N(√Σ,-点)，OM=(√Σ,α^),ON=(√Σ,-√Σ),于是得0W∙ON=0,即

OMLON,

过点。的圆。的切线斜率存在时,设切线方程为y="+，”，则有4⅛=应，即k=2公+2,

√l+%~

[y=kx+m,C

由〈，C)/消去y得：(2⅛2÷l)x2+4k∕wc+2∕n*∙-6=0,

[x~+2y=6

显然圆O在椭圆C内，则圆。的每一条切线都与椭圆C交于两点，设M(χ,y),N(x2,y2),

Δ.km7∕77~—6

ɪ1+¾=--∙,XX=->而OM=(Λ,χ),ON=(x,y),

NK2II12乙KIɪ122

22

于是得OM∙ON=X1Λ2+y1y2=x1x2+(fcc1+∕n)(⅛x2+ιri)={k+V)xxx2+Am(x1+x2)+∕w

2--6_4∏+/=(⅛2+l)(2∕n2-6)-4⅛W+∕√(2⅛2+l)

2⅛2+l~2k2+∖+m—2⅛2+l

22公八

-3-m---6--k---6---3-(-2-4-2-+--2-)---6----—-6--()•

2jt2+l2⅛2+l

则有OMION,

综上，过圆。上任意一点。作圆的的切线交椭圆C于点M,N,都有OMLON,

所以，以MN为直径的圆过点0.

22I

21.己知椭圆C言r+方v∙=l（a>b>O）的离心率为左、右焦点分别为耳，鸟，。为坐标原

点，点P在椭圆C上，且有IP制=4,NE-鸟=60。.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知过点（2,0）的直线/与椭圆C交于",N两点，点Q（8,0）,求证：NMQo=NNQO.

【解析】（1）在△片P心中，IP乙I=24-4,£=；,4C2=16+（2«-4）：-4（2«-4）,

22

解得4=4,C=2,所以/=12,则椭圆C的方程为：—+ɪ=1.

1612

（2）当直线斜率为0时，易知NMQO=NNQO成立，

当直线斜率不为O时，设直线/方程为x="+2,Ma,χ）,N（x2,3）

x=ty+2

22

Xy,,消去X有（3产+4）y2+12）-36=0,y+y?=萨JMM=萨r

----1----=1ɔr÷4ɔ/+4

1612

1-72t72,

*+*=_21_+必=2》%-6（—+），2）=3产+4+3产+4=0,

wρ

,*Qx∣-8x2-8S-6）（优-6）（∕>∣-6）（d-6）

所以NMQO=NNQO,

综上可知不论直线/的斜率是否为3怠有NMQo=NNQO.

22.已知椭圆C：m+y=1（“>b>0）,点£、%分别是其左、右焦点，点A、3分别为其左、右

ab

-2

顶点,若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为2√L且圆f+丁二；为该四边形的内切圆.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过耳的直线/交椭圆于P，。两点，求ABPQ面积

的最大值.

【解析】（1）设半焦距为c,则S=g∙26∙2c=2bc=2小即加=6，

又直线2+?=1与圆V+/=］相切，

cb4

.be_⅛c_>/3

"yfb2+C2=^=T'

故be=。∙­ɪ,

2

be-y∣3

.∙.α=2,故,

b2+c2=4

故.b=邪,C=I或b=l,,c=>/3>

222

椭圆方程为土r+上v=1或土+y2=ι.

434-

(2)较圆的椭圆为止+£=1

43

根据题意，直线/斜率不为0,设直线PQ:X=O-I,

x=fy-l

联立方程VV2得，(3产+4)y2-6<y-9=0

—+—=1

143

2

,∙,Δ=144(∕+l)>0,y1+y2=^^,yly2=^^

C1-I3Γ--------ʒ_：——312√∕2+1

s

MiPQ=∕∙3∙∣y∣一%l=-√(ʃ∣÷J2)-4y%=2•3产+4

令〃=J/?+1≥1,5=/—1,则

SΔ*Q=18∙在亘=18∙―1-=18•―5—

AB2

PQ3Γ+43W+13H+1

U

易知y=3〃+」在口,+8)单调递增,

u

Q

所以当〃=1时，S..Q取最大值万，此时f=o.

3.2双曲线

一、单选题

22

1.己知椭圆三+y2=l(a>l)和双曲线二-V=[(w2>0)有相同焦点，则()

am

A.a=m+2B.ιn=a+2C.a2=n^+2D.m2=a2+2

【答案】A

■>

【解析】由题得椭圆工+V=1(“>1)的半焦距为后二7,

a

2

双曲线三-y2=](,">o)的半焦距为标R,

m

所以∙Jα-1=√∕M+1,.∙.α-l=∕M+1,.∙.a=MI+2.

2.已知与心是双曲线C的两个焦点，P为C上一点,且/£/蜴=60。,IP制=3|"|,则C的

离心率为()

A.立B.姮C.√7D.√13

22

【答案】A

【解析】因为IP周=3|尸闾,由双曲线的定义可得IP周一俨闾=2归用=0,

所以IP用=α,|M|=3a；

因为«户g=60。,由余弦定理可得4/=姆+Y一2X3α∙a∙cos60。，

整理可得4C2=7∕,所以句=4=1,即e=立.

a242

3.设P(x,y)是双曲线：=1的右支上的点，则代数式Jd+/一2)，+1-JX2+/—6x+9的

最小值为()

A.√∣0B.2√5-√10C.√10-√5D.√5+√6-3

【答案】B

222222

【解析】y∣x+y-2y+∖-y∣x+y-6x+9=y]x+(y-l)-J(X-3)。+y2,

设A(0,1),*3,0),上式表示IPAHP耳，由于双曲线I-I=I的左焦点为9(-3,0)*(3,0),

双曲线的实轴2〃=2后，IP月=IPFl-2«=|PF,∖-2√5,

IPAHPFI=IPΛ∣-∣PF,∣+2√5=-(|PF,∖-1∕,A∣)+2√5.

∣PF[-IPAI≤∣AP[=有二F=加,当P在尸A的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，

所以IMTPFl=-(IPFlTPAl)+2正的最小值为2石-TiU.

2222

4.已知椭圆G：。+方=l(a>6>0),双曲线G：A户三层=1，片，K为的焦点，户为G

和。2的交点，若耳鸟的内切圆的圆心的横坐标为2,G和的离心率之积为,，则。的

值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】不妨设点尸在第一象限内，的内切圆与边P小耳工,尸鸟的切点分别为A,B,C,

双曲线的焦距为2c,.

则IMTp闾=（IPW+1期|）-（IPq+∣C功=（IM+1砌）-（附|+|%|）=|班|-|明|

=（2+c）-（c-2）=4,

因为点P在双曲线上，所以IPKlTP周=%=4,则6=2,

3

又因为G和G的离心率之积为：，而椭圆的离心率q=双曲线的离心率为

解得α=4.

Xlv2

5.已知双曲线C：F-3=M«>0力>0）的左焦点为尸，O为坐标原点，M,N两点分别在C

的左、右两支上，若四边形。FMN为菱形，则C的离心率为（）

A.y∕2+↑B.6C.√3+lD.2应

【答案】C

【解析】由题意外一。,。），四边形9尸为菱形，如图，则PWM=IoM=IoFI=C且MN//O尸

,M,N分别为C的左，右支上的点，设M点在第二象限，N在第一象限.由双曲线的对称性，

c11c

可得∕=],过点N作M/LX轴交X轴于点//,则IoNl=C,∣OH∣=5∣MN∣=5∣ON∣=],所以

NNO"=60。厕INM=旦，所以所以S-竺=1,则C%2-3C%2=4∕6,

112（22J4«24⅛2

4

即e-8e2+4=0,解得e2=4+2λ∕L或e2=4-2λ∕L由双曲线的离心率e>l,所以取

e2=4+2√3-则e=6+l

6'设双曲线匚.7』人。）与直线/：'+日相交于两个不同的点儿B，则双曲线C

的离心率e的取值范围是（）

作√Σ∣5"+8)C.

A.(y∕2,+∞)B.,+8D.,√2

/

【答案】B

人2—1

【解析】='=>(i-4a2)x2+8a2x-8a2=0,

x+γ=l

l-4α2≠0,

所以《<1

Δ=64/+4×8a2(l-4cr)>0,2

a>0

i(Λ∕2,+∞)

7

2222

7.已知双曲线Cj-3=l（α>0力>0）的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆q→1=l有

公共焦点.则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=+^-xB.y-±y∕lxC.y=+^-xD.y=±"x

【答案】C

【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为（±#,0）,即为双曲线的焦点坐标，双曲线中C=#，

渐近线方程为y=±2χ,其中一条为反-ay=。，

a

.∙∙渐近线方程为尸±冬

8.方程J(x+10)2+9—J(X-IO)2+y2=12的化简结果为()

r2v2r2v22222

A.—-ʌ=1B.—-ɪ-=1C.二一2L=1(X>0)D.—-^∙=1(Λ>0)

3664643636646436

【答案】C

【解析】解：设4(T0,0),B(l0,0),P(x,y),

由于动点P(Xj)的轨迹方程为J(X+IO)?+/2-J(X_io)2+y2=]2,

贝IJlB4∏P8∣=12,故点P到定点A(To,0)与到定点3(10,0)的距离差为12,

则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，

由于20=12,c=10,贝∣J∕√=C?-“2=ιoo-36=64,

22

故P的轨迹的标准方程为三一E=I(X>0)∙

3664

所以原方程可以化简为《一$=l(χ>0).

3664

二、多选题

9.已知双曲线c：y-√=ι>下列对双曲线C判断正确的是()

A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为4

C.离心率为6D.渐近线方程为x±√Jy=O

【答案】BD

【解析】：双曲线C：土-y2=ι.∙.∕=3."=]..1°2=/+/=4；“=2.，双曲线的实轴长

3'

是2a=2√J,虚轴长是2⅛=1,A错误；焦距为2c=4.B正确；离心率为£=2叵，C错误:

a3

渐近线方程为y=±立x，D正确.

22

10.已知圆C∣:X+y-IOx-IOy=0⅛∣S∣C2：x>+y'-6x+2y-40=0贝JI()

A.两圆相交B.公共弦长为4加

C.两圆相离D.公切线长4加

【答案】AB

【解析】圆G的标准方程为：(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5)半径为∕1=5√2

圆G的标准方程为：(x-3y+(y+l)2=50,圆心为(3,-1)半径为∕⅛=5√2

所以两圆心的距离：d=^(5-3)2+[5-(-l)]2=2√10，

.∙.0<d<4+4,.∙.两圆相交，选项A正确，选项C错误；

设两圆公共弦长为L则有:(HlHrF)

.∙.L=4VlO»选项B正确，选项D错误.

11.已知点4(1,1),点尸是双曲线C:Xq=I左支上的动点，。是圆6(x+4K+y2=;上

的动点，则()

A.C的实轴长为6

B.C的渐近线为y=±券尤

c.∣PQ∣的最小值为T

D.|刑-俨&的最小值为6-√i6

【答案】ACD

【解析】A：由双曲线方程知：。=3,则C的实轴长为6,正确；

B：由双曲线方程知：C的渐近线为y=±fx,错误；

C：双曲线、圆如下：D(T,0)为左焦点，当且仅当尸为X轴交点，。为X轴右交点时，IPQl最

小为:，正确；

D：由尸(4,0)为右焦点，∣Pf∣-∣PD∣=2α=6,则TPq=I必+6-∣PF∣,要使IMT叫

最小只需P,4尸共线，此时(IpAT叫)min=6-∣AR∣=6-JiU,正确.

。2

12.已知曲线C:三+二=1,£,凡分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是()

9m

A.若加=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为3

B.若曲线C的离心率e=2,则加=-27

C.若桃=3,则曲线C上不存在点P,使得

D.若，"=3,P为C上一个动点，则面积的最大值为3后

【答案】ABD

【解析】对于A选项，当机=-3时，曲线C：《-E=l表示焦点在X轴上的双曲线，渐近线

93

方程为y=±立x,故渐近线的倾斜角分别为二,学，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为

366

y.故A选项正确;

对于B选项，离心率e=2,则曲线C为焦点在X轴上的双曲线，a=3,e=2,故c=6,所以

-m=c2-a2=36-9=27»所以〃=z-27,故B选项正确；

时于C选项,若机=3,则曲线C蒋+?=1表示焦点在X轴上的椭圆,此时片=9方=3,¢2=6,

a2+a2-4c2-6」＜o,

设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0,√3),则cosZFlMf2=

2a2Ti3

故为钝角，所以线C上存在点P,使得NEPg=故C选项错误；

对于D选项,若帆=3,则曲线C:??=1表示焦点在X轴上的椭圆,此时“2=9万=3,C?=6,

P为C上一个动点，则居面积的最大值为£“=∣×2c×⅛=∣×2√6×√3=3√2,

故D选项正确.

三、填空题

13.双曲线£:£-£=1(。>0力>0)的焦距为4,且其渐近线与圆G[x-2)2+y2=l相切，

ah~

则双曲线£的标准方程为.

【答案】--y2=l

3

2

【解析】因为双曲线G：「-A=l(a>02>0)的焦距为4,所以c=2.

a~b~

由双曲线Cl的两条渐近线y=土，》与圆C?:(X—2)2+y2=1相切，可得I=.

乂“'+∕∕=4,所以6=1,a=∙∕i,

所以双曲线G的标准方程为三-y2=l∙

14.与双曲线χ2-丁=1有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为.

【答案】ɪ--=1

33

[解析】依题意，设双曲线方程为：/-V=2(2≠0),于是得4=F一手=-3,则有χ2一V=-3,

所以双曲线的标准方程为£=1.

33

15.若坐标原点。和点尸(-2,0)分别为双曲线±τ-y2=](a>0)的中心和左焦点，点尸为双曲

线右支上的任意一点，则OP∙FP的最小值为.

【答案】3+2√3

【解析】解：由题意得：

F(-2,0)是已知双曲线的左焦点

••/+1=4,即a2=3

双曲线方程为5-丁=1

22_

设点P(X0,%),则有3∙-%2=i(χ°2拘，解得%2=5_T(*G)

FP=(Xo+2,%)，OP=(X°,%),

γ2Λγ2

2

OPFP=x0(x0+2)+J^o=¾(Λ0+2)+^--1=-y-+2¾-I

⅞≥√3

根据二次函数的单调性分析可知函数在［6,+«>)上单调递增

.・•当XO=6时，OR尸户取得最小值，*3+2相-1=3+2退，

22

16.已知E为双曲线C：⅛-⅞=l(α>0,b>0)的右焦点，。为坐标原点，点A是以。尸

ab"

为直径的圆与双曲线C的一个公共点.若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C

的渐近线的斜率为.

【答案】+2√3

【解析】因点A是以。尸为宜径的圆与双曲线C的一个公共点，则。

设点F关于点A的对称点为B,双曲线C的左焦点为F，则。4∕∕F'8,有BF'1BF，如图，

令IAFl=∕n,则∣AF[="z+2”,∖BF∖=2m,∖