2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第十章 第五讲　离散型随机变量的分布列、数字特征及超几何分布 学案

第五讲离散型随机变量的分布列、

数字特征及超几何分布

知识梳理•双基自测

知识梳理

知识点一离散型随机变量

对随机试验样本空间。中的每个样本点W,都有唯一的实数X(W)与之对应，

称为随机变量，通常用大写英文字母X,K…表示随机变量.所有取值可以

一一列出的随机变量，称为一离散型_随机变量.

知识点二离散型随机变量的分布列及性质

(D一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为XI,X2,…，Xi,…,X",

称X取每一个值&i=1,2,…，〃)的概率P(X=Xi)=P,•为X的分布列，可用表格

表示为：

XXlX2•••Xi•••Xn

・・・・・・

PPlP2PiPn

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①PieOa=L2,…，〃)；②g∕λ=m+p2-l------=1.

知识点三离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(X=M)=Pi,i=L2,…

(1)均值：称E(X)=Xipi+%2∕J2÷∙∙∙+x∣pι+∙∙∙Λ-XnPn=YyXiPi为随机变量X的

均值或数学期望.

(2)方差：称O(X)=XlS-E(X)Api为随机变量X的方差，其算术平方根

加而为随机变量X的标准差一.

(3)均值与方差的性质

①EmX+b}=aE(X)+h.

^)D(aX+b}=a2P(X).

③O(X)=E(X2)-(E(X))2.

知识点四常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布或0—1分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为

XO1

PLpP

其中P=P(X=I)称为成功概率∙

若X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(l-p).

(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件

次品,则P(X=Z)=―西一，k=0,l,2,∙∙∙,m,其中Tn=min{Λ∕,n],且/WM

MWN,〃、M、NGN上,称随机变量X服从超几何分布.可记为h(N,M,

XO1•••m

ChxCc⅞cv⅛

P・・・

C-c⅛

E(X)=np,D(X)=HP(I-P)NK其中p=R∖

归纳拓展

1.若X是随机变量，则y=αX+伙α,人是常数)也是随机变量.

2.随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的.

3.随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.

4.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，

方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量∙(√)

(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于

1.(X)

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的∙(√)

(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从两点分布.(X)

X25

P0.307

(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几

何分布.(J)

(6)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分

布∙(X)

题组二走进教材

2.(选择性必修3P(x)T4改编)设随机变量X的概率分布列为

X1234

ɪ\3

Pm

488

则P(IX—3|=1)=0_.

113I

［解析］由解得

z4t+τn+ORO+q=l,4t

135

P(IX—3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=z+0=g.

3.(选择性必修3P69例6)A、B两种股票，每股收益分布列如表

股票A收益分布列

收益X/元-1O2

a03(λ6

股票B收益分布列

收益y/元O12

0304b

则投资A股票期望大,投资A股票风险高.

［解析］由分布列的性质易知α=0.1,b=0.3,

从而E(X)=L1,E(F)=I,D(X)=1.29,Zxy)=O.6,

/.E(X)>E(Y),投资A股票期望大，

D(X)>D(K)投资A股票风险高.

题组三走向高考

4.(2022.浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随

机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为3则Pe=2)=苗_,£(¢)=7-.

［解析］从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C3种取法，其

中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有CL+C)C新中，所以PG=2)=

由已知可得4的取值有1,2,3,4,P(ς=l)=^=∣∣,尸(。=2)=!|,

P(e=3)=fj=⅜,∕,(C=4)=⅛=⅛所以E(J=1X∣∣+2X∣∣+3X■+4X看=

12

T-

5.(2020•课标川)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为？，p2,p3,

4

P4,且∑>=1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(B)

/=1

A.pι=p4=0.1,p2=p3=0.4

B.pι=p4=0∙4,p2=p3=O.l

ɑ.pι=p4=0.2,p2=p3=O∙3

D.pι=p4=0.3,p2=p3=(λ2

44

［解析］根据均值E(X)=∑rWi,方差。(X)=ZN-E(X)Fp,.,标准差最大即

1=lZ=I

方差最大，由各选项对应的方差如下表

选项均值E(X)方差D(X)

A2.50.65

B2.51.85

C∑5L05

D：∑51.45

由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.

考点一离散型随机变量分布列的性质—自主练透

H►・例1(多选题)(2023•高考名校交流卷)设随机变量X的分布列为P(X=K)

=7T7^=1,2,5),E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确

KI1

的是(ABC)

A.P(0<X<3.5)=VB.E(3X+1)=7

C.D(X)=ID.D(3X+1)=6

［解析］由分布列的性质可知，P(X=1)÷P(X=2)+P(X=5)=∣+∣+∣=1,

解得α=l,所以P(0<X<3.5)=P(X=I)+P(X=2)=焉，A选项正确；E(X)=IX；+

2×∣+5×∣=2,所以E(3X+1)=3E(X)+1=3X2+1=7,B选项正确；O(X)=；

×(l-2)2+∣×(2-2)2+∣×(5-2)2=2,所以0(3X+1)=9XO(X)=18,C选项

正确，D选项不正确.故选ABC.

名帏A披MINGSHIDIANBO

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均

为非负数.

(2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量

对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.

〔变式训练1〕

,7

(2022.陕西宝鸡模拟)已知随机变量X,y满足y=2x+3,丫的期望E(D=g,

X的分布列为：

X-1O1

ɪ

P

2ab

则α,"的值分别为(C)

A.b=gB.α=",b=j

1,13,1

C.a-yb=&D.α=g,b=g

71

［解析］'：E(Y)=2E(X)+3=y.∖E(X)=~y

考点二离散型随机变量的期望与方差——多维探究

角度1均值、方差的简单计算

m,例2(2022•浙江杭州质检)已知随机变量X满足P(X=x)=ax+b[x=一

1,0,1),其中α,匕∈R.若E(X)=；,则D(X)=(B)

2

-

A.9B∙I

8

C-

≡9D.y

由已知可得：P(X=~l)=~a+b,P(X=Q)=b,P(X=∖)=a+b,

则-a+b+Z?+a+Z?=1,即b=g,

又£(X)=-1X(-«+/?)+0Xft+lX(a+Z?)=|,

所以。=/，所以X的分布列如下：

X-1O1

1ɪ1

P

632

所以O(X)=AX故选B

［引申］在本例条件下ZX3X+5)=5.

角度2均值、方差与函数性质

A・例3(2022∙浙江省杭州学军中学模拟)设0<«<|,随机变量X的分布列

是

X-1O1

~Γ∣+α

P2~ab

则当“在(0,?内增大时(C)

A.。(㈤增大B.O(X)减小

C.O(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大

[解析]α)+b+(∙∣+α)=l,二8=/

因为E(X)=-1a)+0Xt+lX(；+a]=2a—

解法一：E(X2)=I×∣+0×∣=∣,

5

a~nr

12β++2π-121+β2α75

解法二：。(6)6×(6)+βI^6)=6^4

X)=2~a.6,36,6H.

2

所以当α∈(θ,*h3

时,。增大D(X)增大，当aS时增大。(X)减小.故

选C.

角度3实际问题中的均值、方差问题

降■■例4(2023・吉林长春质监)四名党员教师暑假去某社区做志愿者工作,

现将他们随机分配到A,B,C三个岗位中，每人被分配到哪个岗位相互独立.

(1)设这四名教师被分配到A岗位的人数为X,求X的分布列及数学期望;

(2)求上述三个岗位中恰有一个岗位未分配到任何志愿者的概率.

［解析］(I)X的可能值为0,1,2,3,4.

P(X=O)=东=患；

C∣∙2332

P(X=I)=34-81；

Cl22248

P(X=2)=34—81—27；

P(X=3)=^Γ=-^;

ci1

P(X=4)=孕=肝

二.X的分布列为

XO2-1-4

1632-1-~s~ɪ

P

8181278181

Ci∙24^,'

或写成P(X=i)=F~∙(i=0,1,2,3,4)

328814

E(X)=丽+2×苏+3X丽+4义丽=)•

14

所求概率P=

(2)27'

名帅克拨MINGSHIDIANBO

求离散型随机变量的分布列、期望与方差的步骤:

——明确随机变量的可能取值有哪些,且每一

-----I个取值所表示的意义

I要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关

jhjj

pI公式求出变量所对应的概率

画爰格IT按规范要求形式写出分布列

做检验一利用分布列的性质检验分布列是否正确

求期望、方差

注：求离散型随机变量X的分布列，首先要理解X的意义，准确写出X的

所有可能值，其次要准确求出X取各个值时的概率.

〔变式训I练2〕

(1)(角度1)(2022.江苏镇江调研)随机变量X的分布列如下表，则E(5X+4)=

13

XO24

P0.40.30.3

(2)(角度2)(2023•广东深圳调研)设0<α<l,离散型随机变量X的分布列如下,

则当α在(O,|)内增大时(D)

XO12

1-a1a

P~1~22

A.。(X)增大B.D(X)减小

C.O(X)先减小后增大D.O(X)先增大后减小

(3)(角度3)(2022•四川遂宁市二模)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》

的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学

思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展

“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论

语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时,

若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选取其中的内容诵读，则抽到自己准备

的书的人数的均值为(B)

A，2B.1

3

C.2D.2

［解析］(1)由题意知E(X)=2×0.3+4×0.3=1.8,

・•・E(5X+4)=5E(X)+4=13.

(2)由题意：

1—a1a,1

E(X)=O×ʌ÷l1×y÷l2×y=6z÷y,

所以Opo=Q—=一屋+〃+；=—

O+*

因为T∈(θ,|),所以。(X)先增后减，故选D.

(3)记抽到自己准备的书的学生人数为X,则X可能值为0,1,2,4,

3

P(X=O)=F=8,

C∣×21

P(X=I)=^r=3,

1

α×ι-

P(X=2)=4

P(X=4)=『为

3111

贝

IJE(X)=O×oQ+1×τJ+2×74÷4×T7=l.

故选B.

考点三超几何分布——师生共研

A・例5在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人

的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理

暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果

来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者4,A2,A3,A4,A5,4和4

名女志愿者8,&,&,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受

乙种心理暗示.

⑴求接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含B的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

［解析］(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含B的事件为

Cg5

则P(M)=瓦=而

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则

P(X_o)-C%-42,P(XT)一Go-21'

CrZioCr?5

"=2)=高=亓口、=3)=百=亓

CACL1

P(X=4)=

Cfo-42∙

因此X的分布列为

X0234

丁^1-10^3-~Γ

P

422\2T2142

［引申1］用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数,则X的分布列为多少？

［解析］由题意可知X的取值为1,2,3,4,5,

p∣n--⅛⅛-±o--CiCi-A

则1Pf(γX-nI)-CM-42'Pf(Xy-21)—Cqo-21

P(X_3L萼—心P(X_4L誓上

P(X-3)-CV-21'P(X-4)-Go-21,

P(X=5)=悬=表.

因此X的分布列为

X12345

丁5105~T~

rΓ)

4221212142

［引申2］用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差,

则X的分布列为多少？

［解析］由题意知X可取的值为3,1,-1,-3,-5.

L,ClCi1Cia5

则P(X=3)=百=/，P(X=I)=司=五，

p_C^10p∕γ=i=½L*

P(fXy―=n1)=-CM=—21'P(X-3)-C^o-2Γ

P(X=T)S1

42,

因此X的分布列为

X31-1-3-5

-

D~Γ-110~Γ

Γ42212?2142

名帏点被MINGSHIDIANBO

1.超几何分布的特点：

(1)考察对象分两类；

(2)已知各类对象的个数；

(3)超几何分布是不放回抽样问题；

(4)随机变量为抽取的某类个体的个数.

(5)考查某类个体抽取个数X的概率分布.

2.超几何分布的应用

超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于正品与次

品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题.

〔变式训练3〕

(2023.四川统测)某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”

为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志

愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为

(C)

3

A.1B.2

5

C.2D.2

［解析］记所选取的3人中女生人数为X,则X的可能值为1,2,3,且P(X=

D=等=/P(X=2)=^=∣,P(X=3)=瞽=/则X均值E(X)=IX］+2X∣

+3Xg=2.

4

秒杀解法：E（X）=3X车=2.故选C∙

离散型随机变量的分布列与统计综合

2・例6（2022.四川遂宁诊断）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅

速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取100名顾客到公司体验

产品，并对体验的满意度进行评分（满分100分）.体验结束后，该公司将评

分制作成如图所示的直方图.

⑴将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”.根据已知条件完

成下面2义2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为

“优良”与性别有关？

良优合计

40

40

（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为［50,60）和［90,100］的顾客

中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中，随机选取

4名再发放纪念品，记体验评分为［50,60）的顾客获得纪念品数为随机变量X,求

X的分布列和数学期望.

附表及公式.2=------Mad*--------

叩衣以么八∙(a+b)(c+d)(a+cχb+d)∙

P(2>Xa)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］(1)列联表如下:

良优合计

曷202040

女204060

合计4060100

由题得，

,IOOX(20><40-20X20)2K_

=40X60X60X40=V≈2.78>2.7O6=xo.ιoo

所以