高中数学-必修二第四章-圆与方程复习

第四章圆与方程1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合〔轨迹〕叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程〔1〕标准方程：以〔a,b〕为圆心，r〔r>0〕为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2〔2〕一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为半径当D2+E2-4F=0时，只表示一个点当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.例1求圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程。

半径

所以所求的圆的标准方程为

(x-8)2+(y+3)2=25.【典例精析】例2假设半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，求圆的方程。设圆心为〔0，b〕，由题意，那么圆的方程为x2+(y-b)2=b2.因为半径为5.所以b2=25,b=±5.故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.

易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法:一般地,直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,那么圆心(a,b)到此直线的距离为d<rd=rd>rd与r2个1个0个交点个数图形相交相切相离位置rdrdrd画板那么3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置是________相交1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为________相切2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________相离画板练习：直线与圆的位置关系判断方法：一、几何方法。主要步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断:当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径方法总结一：把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其Δ的值比较Δ与0的大小:当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时,直线与圆相切;当Δ>0时,直线与圆相交。二、代数方法。主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程xyO

当-2<b<2时，⊿>0,直线与圆相交；当b=2或b=-2时,⊿=0,直线与圆相切；当b>2或b<-2时，⊿<0，直线与圆相离。解法一(利用△)：解方程组消去y得：2x2+2bx+b2-4=0①

方程①的判别式⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2+b)(2-b).

解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为〔0，0〕,半径为r=2圆心到直线的距离为xyO

（3）当b>2或b<-2时，d>r，直线与圆相离。（1）当-2<b<2时，d<r,直线与圆相交，（2）当b=2或b=-2时,d=r,直线与圆相切；求圆的弦长方法〔1〕几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边〔2〕代数法：求交点或韦达定理〔1〕几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边〔2〕代数法：用弦长公式方法总结二：例3直线y=x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值解法一：〔求出交点利用两点间距离公式〕xyOAB直线与圆相交---求弦长

解法二：〔弦长公式〕例3直线y=x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.直线与圆相交---求弦长

xyOAB解法三：(解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形)设圆心O(0，0)到直线的距离为d,那么例3直线y=x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.直线与圆相交---求弦长

xyOABrd

圆与圆的位置关系直线和圆的位置关系几何方法代数方法圆和圆的位置关系几何方法代数方法类比猜测外离圆和圆的五种位置关系|O1O2|>|R+r||O1O2|=|R+r||R-r|<|O1O2|<|R+r||O1O2|=|R-r|0≤|O1O2|<|R-r||O1O2|=0外切相交内切内含同心圆(一种特殊的内含)rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2判断两圆位置关系几何方法两圆心坐标及半径〔配方法〕圆心距d〔两点间距离公式〕比较d和r1，r2的大小，下结论外离d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-r0≤d<R-r外切相交内切内含结合图形记忆练习判断C1和C2的位置关系反思几何方法两圆心坐标及半径〔配方法〕圆心距d〔两点间距离公式〕比较d和r1，r2的大小，下结论代数方法？判断C1和C2的位置关系判断C1和C2的位置关系解：联立两个方程组得①-②得把上式代入①①②④所以方程④有两个不相等的实根x1，x2把x1，x2代入方程③得到y1，y2③所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程组消去二次项消元得一元二次方程用Δ判断两的位置关系在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，假设圆心(a,b)为定点，r为参变数，那么它表示同心圆的圆系方程．假设r是常量，a〔或b〕为参变数，那么它表示半径相同，圆心在同一直线上〔平行于x轴或y轴〕的圆系方程．经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)经过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F