2023-2024学年高考数学专项复习-等式与不等式（附答案）

2023-2024学年高考数学专项复习——等式与不等式决胜2024年高考数学专项特训:等式与不等式（解答题篇）1．已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．(1)若，求实数的值；(2)求的最小值．2．已知(1)当时，解不等式：(2)对不同的值，讨论的奇偶性；3．已知．(1)当时，解不等式；(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．4．已知集合，，集合为函数的定义域，全集为实数集R.(1)求，；(2)若，求实数的取值范围.5．设全集，集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．6．已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若，的解集为，求最小值.7．设集合，若关于的不等式的解集为.(1)求函数的解析式；(2)求关于的不等式的解集，其中.8．已知，不等式的解集是.(1)求的解析式；(2)不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围；(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.9．已知函数.(1)求的最小值；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.10．已知函数．(1)试问在和这两个区间内是否都有零点？说明你的理由．(2)若方程只有两个不同的实数解，比较与的大小．11．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径．(1)当，求其弧所在弓形的面积．(2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？12．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围.13．已知不等式的解集为或.(1)求的值；(2)解不等式.14．已知关于x的不等式的解集为或（）.(1)求a，b的值；(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.15．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？16．电动汽车革命已经成为全球汽车产业发展的新趋势.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2018年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系；（利润=销售额-成本）(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.17．某市为争创文明卫生城市，实行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”和“其他垃圾”四类，某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品．已知该企业每周的加工处理量最少为110吨，最多为150吨．周加工处理成本（元）与周加工处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为18元．(1)该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？(2)该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则市政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损？18．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

答案：1．(1)(2)【分析】（1）由题意可得结合是直角三角形，可知M为AB的中点，由此即可得解.（2）设直线AB的方程可写成，将代入得，结合基本不等式即可得解，注意取等条件.【详解】（1）由题意易得直线AB过定点，又，且，则，而是直角三角形，故M为AB的中点，故，故．（2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成，将代入得，，故，当且仅当，即，亦即时取等号，故的最小值为．2．(1)(2)详见解析【分析】（1）由不等式即为，利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用函数奇偶性的定义求解.【详解】（1）解：当时，，则不等式即为，即，解得，所以，所以不等式的解集为：（2）若为奇函数，则恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以；若为偶函数，则恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，当时，既不是奇函数，也不是偶函数，3．(1)(2)【分析】（1）利用对数函数的性质直接解不等式即可；（2）先转化方程为，利用二次函数的零点分布计算即可.【详解】（1）当时，，∵在上单调递增，∴，解之得，∴不等式的解集为．（2）关于的方程在区间内恰有一个实数解，化简方程得，即方程在区间内恰有一个实数解，即方程在区间内恰有一个实数解，且，即方程区间内恰有一个实数解，且，故有，解得．4．(1)，或(2)【分析】（1）解不等式，得到，利用并集和补集的概念进行求解；（2）根据交集结果得到包含关系，由定义域得到，分三种情况，得到不等式的解集，并根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1），解得，故，，故，解得，故，所以，或；（2），故，令，当，即时，的解集为，此时不符合函数定义域为非空数集的要求，不合题意；当，即时，不等式解集为，要想，则，解得，结合，可得；当，即时，不等式解集为，要想，则，解得，结合，可得，综上，实数的取值范围是.5．(1)(2)【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式的求解，根据补集与交集的运算，可得答案；（2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式，可得答案.【详解】（1）由得：，解得：，则，；当时，，解得，则；.（2）由（2）知：；由,解得：，即，因为是的必要不充分条件，是的真子集，且等号不会同时取到，解得，即实数的取值范围为.6．(1)(2)【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可；（2）由已知可得方程的解为，且，利用韦达定理求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.【详解】（1）当时，，则，即，解得或，所以不等式的解集为；（2）因为的解集为，所以方程的解为，且，则，因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以最小值为.7．(1)详见解析；(2)或.【分析】（1）先化简集合A，再根据关于的不等式的解集为，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为求解.【详解】（1）解：集合，因为关于的不等式的解集为，所以，则；（2）由（1）知：关于的不等式即为：，即为，即为，解得：或，所以不等式的解集为：或.8．(1)(2)(3)【分析】（1）根据不等式的解集与方程之间的关系可知，、是一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理求出、的值，即可得出函数的解析式；（2）解不等式组，分析可知，该不等式的整数解为、，可得出关于实数的不等式，解之即可；（3）由题意可知，对任意，不等式很成立，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在后面两种情况下，结合二次函数基本性质可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，不等式的解集是，所以、是一元二次方程的两个实数根，由韦达定理可得，解得，所以.（2）解：不等式组，即，解得，因为原不等式组的正整数解仅有个，可得该正整数解为、，可得到，解得，则实数取值范围是.（3）解：因为对任意，不等式恒成立，所以，当时，恒成立；当时，二次函数的对称轴方程为，当时，函数在上单调递减，所以只需满足，解得；当时，函数在上单调递增，所以只需满足，解得.综上，的取值范围是.9．(1)2(2)在上单调递增，证明见解析【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）根据单调性的定义判断并证明即可.【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.（2）函数在上单调递增，证明如下：令，则.因为，所以，所以，即，所以在上单调递增.10．(1)在和这两个区间内都有零点，理由见解析(2)【分析】（1）利用零点存在定理进行判断即可得解；（2）利用换元法，结合对数的运算得到是方程的两个实数解，再利用奇函数的对称性推得，从而利用基本不等式即可得解.【详解】（1）在和这两个区间内都有零点，理由如下：因为，所以，，，，则，，所以在和这两个区间内都有零点.（2）因为，则由，得，即令，则，即，两边取对数，得，则，因为是方程的两个不同的实数解，所以是方程的两个实数解，则是与的图象的两个交点的横坐标，对于，有，解得或，则其定义域为，又，所以是上的奇函数，易知是上的奇函数，所以与的图象的两个交点关于原点对称，则，故，即，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.关键点睛：本题第2小问解决的关键是利用换元法，将问题转化为是与的图象的两个交点的横坐标，从而利用奇函数的对称性即可得解.11．(1)(2)当扇形圆心角为，半径为时，该扇形的周长最小，最小为.【分析】（1）由扇形面积公式可得扇形面积，再减去三角形面积即可得所求弓形面积；（2）由扇形面积公式，得(定值)，利用基本不等式求周长即的最小值即可.【详解】（1）由题意，当时，扇形面积；如图，扇形中，连接，则，所以是正三角形，则，故所求弓形面积为；（2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积，则，则扇形的周长，当且仅当，即时等号成立，此时半径为，圆心角，该扇形的周长最小，最小为.12．(1)(2).【分析】（1）首先得函数表达式，然后对分类讨论解绝对值不等式即可得解.（2）直接由公式法解绝对值不等式即可得解.【详解】（1）因为，所以.当时，原不等式转化为，解得；当时，原不等式转化为，解得；当时，原不等式转化为，解得.综上所述，原不等式的解集为.（2），由，得，解得或，即的取值范围为.13．(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得，且方程的解为，结合韦达定理即可得解；（2）分三种情况讨论即可得解.【详解】（1）因为不等式的解集为或，所以，且方程即方程的解为，所以，所以；（2）由（1）得不等式即，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.14．(1)，(2)【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根且，所以，解得方法二：因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根且，由1是的根，有，将代入，得或，∴；（2）由（1）知，于是有，故，当且仅当时，等号成立，依题意有，即，得，所以k的取值范围为.15．(1)500名(2)【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；（2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意得：，即，又，所以.即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则所以所以，即恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立.所以，又，所以，即的取值范围为.16．(1)(2)当2018年产量为100百辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元【分析】（1）利用题中给定分段函数及利润等于销售额减去成本即可求解；（2）利用二次函数及基本不等式求出各段的最大值，再比较大小即可求解.【详解】（1）根据题意，当时，；当时，；故；（2）根据题意，当时，，当时，；当时，，当且仅当时等号成立，则有；由，故；故当时，即当2018年产量为为100百辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元.17．(1)120吨(2)不获利，市政府至少需要补贴1345元【分析】（1）由题可得每吨产品平均加工成本关于每周加工处理量的表达式，后由基本不等式可得答案；（2）由题可得获利关于每周加工处理量表达式，判断其最大值与0的大小，即可判断是否获利.【详解】（1）设每吨产品的平均加工处理成本为，则，当且仅当，即时，等号成立，故每周加工处理量为120吨时，平均加工处理成本最低．（2）设该企业每周获利元，则,故当吨时，，所以该企业每