2023-2024学年高考数学圆锥曲线的方程专项练习题（附答案）

2023-2024学年高考数学圆锥曲线的方程小专题一、单选题1．抛物线的准线方程为(

)A． B． C． D．2．椭圆与椭圆的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等3．设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（

）A． B． C．或 D．或4．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（

）A． B．C． D．5．设双曲线：的两个焦点为，，是双曲线H上的任意一点，过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（

）cmA．30 B．10 C．20 D．7．若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（

）A． B． C． D．8．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（）A． B．t C．2t D．4t二、多选题9．已知曲线C：（其中，为参数），下列说法正确的是（

）A．若，则曲线C表示圆B．若，则曲线C表示椭圆C．若，则曲线C表示双曲线D．若，，则曲线C表示两条直线10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则11．对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（）A．焦点在y轴上B．焦点在x轴上C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（

）．

A．双纽线关于原点中心对称；B．；C．双纽线上满足的点有两个；D．的最大值为.三、填空题13．抛物线的焦点坐标为，准线方程为.14．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接，.若，，，则C的离心率为.15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的方程为.16．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，于点P，Q，N．给出下列四个命题：①；②若P，Q是线段的三等分点，则直线的斜率为；③若P，Q不是线段的三等分点，则一定有；④若P，Q不是线段的三等分点，则一定有；其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．

答案：1．C【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为，则其准线方程为.故选：C2．D【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.3．C【分析】根据圆锥曲线的类型，结合圆锥曲线的定义和离心率的公式分类讨论进行求解即可.【详解】设该圆锥曲线的离心率为，当该圆锥曲线为椭圆时，，当该圆锥曲线为双曲线时，.即曲线的离心率等于或.故选：C.4．A【分析】由题意得，然后列出方程组，从而求解.【详解】由题意得：，离心率：，从而可得方程组：，解得.故椭圆的标准方程为：，故A项正确.故选：A.5．B【分析】首先根据几何关系求得点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，再根据圆心到直线的距离加上半径为点到直线的距离的最大值，最后求解即可.【详解】由题意，延长，交于一点，连接，因为，且为的平分线，所以，且点为线段的中点，假设点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，所以，因为，分别为，的中点，所以，由双曲线的对称性可得点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为，点到直线的距离的最大值为原点到直线的距离加上半径，即，故B项正确故选：B.6．C【分析】求出大椭圆的离心率，根据两椭圆离心率相同，结合小椭圆短半轴长即可求得其长半轴长，即得答案.【详解】在大椭圆中，，，则，则椭圆离心率为．∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，，结合题意知，得，∴小椭圆的长轴长为20．故选：C7．A【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积．【详解】由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得：，解得：，则，故A项正确.故选：A.8．B【分析】设，，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得，可得是直角三角形，再根据可得面积.【详解】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点，则①，②，，可得①②2：，∴是直角三角形，①②：，．故选：B9．ACD【分析】利用圆、椭圆、双曲线的标准方程一一判定即可.【详解】对于A项，由，是以原点为圆心，为半径的圆，故A正确；对于B项，显然时，不是椭圆，故B错误；对于C项，若，若，两种情况都表示双曲线，故C正确；对于D项，若，若，两种情况均表示两条直线，故D正确.故选：ACD.10．BC【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．故选：BC.11．BD【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由抛物线的焦点坐标为，位于轴上，所以A不满足，B满足；对于C中，设是抛物线上一点，为焦点，则，所以C不满足对于D中，由于抛物线的焦点为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，设过该焦点的直线方程为，则，此时该直线存在，所以D满足．故选：BD.12．ABD【分析】对于A，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于B，根据三角形的等面积法分析判断，对于C，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于D，由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确，对于B，设∵，，∴，∴，∴，故B正确；对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上将代入得即，解得，∴这样的点只有一个，故C错误；对于D，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，故D正确；故选：ABD.13．/【分析】把抛物线方程化成标准方程形式，结合焦点坐标和准线方程进行求解即可.【详解】，因此该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，故；14．【分析】设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，利用余弦定理求出，再根据椭圆的定义分别求出，结合椭圆的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以四边形为矩形，所以，则，，所以，所以C的离心率为.故答案为.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.15．【分析】联立直线与抛物线方程得到，再利用抛物线的定义与条件求得，进而求得，从而得解.【详解】设，抛物线的焦点为，设直线的方程设为，则，联立，可得，易得，则，由抛物线的定义，可得，由，得，解得所以，解得，故直线的方程为.故答案为.16．①②【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用三点共线即可判断①，若是线段的三等分点，则，利用韦达定理和弦长公式即可求判断②，运用求根公式求得点的坐标，结合的表达式，可判断③，由图像可以判断④.【详解】由抛物线C：可知，焦点坐标为，设直线的方程为，，设，联立得，，则，则，所以直线的方程为，因为三点共线，，，同理，所以，，