概念同角关系及诱导公式作业及答案

学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载概念、同角关系式及诱导公式作业及答案一、选择题：1.若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于()A．sineq\f(1,2)B.eq\f(π,6)C.eq\f(1,sin\f(1,2))D．2sineq\f(1,2)解析：设圆的半径为r.由题意知r·sineq\f(1,2)＝1，∴r＝eq\f(1,sin\f(1,2))，∴弧长l＝α·r＝eq\f(1,sin\f(1,2)).答案：C2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为 ()解析：如图取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2sinθ，l=2θR=2θ，∴d=2sin.答案：C3．在(0,2π)内使sinx＞cosx成立的x取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))解析：用单位圆内正弦线和余弦线来解．答案：C4．(2010银川模拟)若角α的终边落在直线y＝－x上，则eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)的值等于()A．0B．2C．－2解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，α＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，sinα，cosα的符号相反．当α＝2kπ＋eq\f(3π,4)，即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；当α＝2kπ＋eq\f(7π,4)，即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以有eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)＝eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝0.答案：A5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是()A．sineq\f(θ,2)B．coseq\f(θ,2)C．taneq\f(θ,2)D．cos2θ解析：∵2kπ＜θ＜2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴kπ＜eq\f(θ,2)＜kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，4kπ＜2θ＜4kπ＋π(k∈Z)．可知eq\f(θ,2)是第一、第三象限角，sineq\f(θ,2)、coseq\f(θ,2)都可能取负值，只有taneq\f(θ,2)能确定为正值．2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值．答案：C6．设0≤θ＜2π，如果sinθ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是()A．π＜θ＜eq\f(3π,2)B.eq\f(3π,2)＜θ＜2πC.eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,4)＜θ＜eq\f(7π,4)解析：∵0≤θ＜2π，且sinθ＜0，∴π＜θ＜2π，又由cos2θ＜0得2kπ＋eq\f(π,2)＜2θ＜2kπ＋eq\f(3π,2)，即kπ＋eq\f(π,4)＜θ＜kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，∵π＜θ＜2π，∴k＝1，即θ的取值范围是eq\f(5π,4)＜θ＜eq\f(7π,4).答案：D7．(2010·潍坊模拟)已知α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，tan(α－7π)＝－eq\f(3,4)，则sinα＋cosα的值为()A．±eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)D．－eq\f(7,5)解析：tan(α－7π)＝tanα＝－eq\f(3,4)，∴α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＋cosα＝－eq\f(1,5).答案：B8．已知tanθ＝2，则eq\f(sin(\f(π,2)＋θ)－cos(π－θ),sin(\f(π,2)－θ)－sin(π－θ))＝()A．2B．－2C．0D.eq\f(2,3)解析：eq\f(sin(\f(π,2)＋θ)－cos(π－θ),sin(\f(π,2)－θ)－sin(π－θ))＝eq\f(cosθ－(－cosθ),cosθ－sinθ)＝eq\f(2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2,1－tanθ)＝eq\f(2,1－2)＝－2.答案：B9.(tanx＋eq\f(1,tanx))cos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD.eq\f(1,tanx)解析：(tanx＋eq\f(1,tanx))cos2x＝(eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(cosx,sinx))cos2x＝eq\f(sin2x＋cos2x,sinxcosx)·cos2x＝eq\f(cosx,sinx)＝eq\f(1,tanx).答案：D10.已知cos(eq\f(π,4)＋α)＝－eq\f(1,2)，则sin(eq\f(π,4)－α)＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)解析：sin(eq\f(π,4)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)]＝cos(eq\f(π,4)＋α)＝－eq\f(1,2).答案：A11．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lgeq\f(1,1－cosA)＝n，则lgsinA的值为()A．m＋eq\f(1,n)B．m－nC.eq\f(1,2)(m＋eq\f(1,n))D.eq\f(1,2)(m－n)解析：两式相减得lg(l＋cosA)－lgeq\f(1,1－cosA)＝m－n⇒lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lgsin2A＝m－n∵A为锐角，∴sinA＞0，∴2lgsinA＝m－n，∴lgsinA＝eq\f(m－n,2).答案：D12.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，若f(2009)＝－1，则f(2010)等于()A．－1B．0C．1解析：法一：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－1，∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.法二：f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2009π＋β)]＝－asin(2009π＋α)－bcos(2009π＋β)＝－f(2009)＝1.答案：C二、填空题：13．若角β的终边与60°角的终边相同，在0°～360°内，终边与角eq\f(β,3)的终边相同的角为________．解析：∵β＝k·360°＋60°，k∈Z，∴eq\f(β,3)＝k·120°＋20°，k∈Z.又eq\f(β,3)∈[0，π)，∴0°≤k·120°＋20°＜360°，k∈Z，∴－eq\f(1,6)≤k＜eq\f(17,6)，∴k＝0,1,2.此时得eq\f(β,3)分别为20°，140°，260°.故在[0，π)内，与角eq\f(β,3)终边相同的角为20°，140°，260°.答案：20°，140°，260°14．sin(π＋eq\f(π,6))sin(2π＋eq\f(π,6))sin(3π＋eq\f(π,6))…sin(2010π＋eq\f(π,6))的值等于________．解析：原式＝(－eq\f(1,2))eq\f(1,2)(－eq\f(1,2))…eq\f(1,2)＝－eq\f(1,22010).答案：－eq\f(1,22010)15．若f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为________．解析：∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.答案：－116.已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________()解析：由cos(α－π)＝－eq\f(5,13)得，cosα＝eq\f(5,13)，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(12,13).答案：－eq\f(12,13)三、解答题：17．(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解：(1)∵r＝eq\r(x2＋5)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))，从而eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(x,\r(x2＋5))，解得x＝0或x＝±eq\r(3).∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－eq\r(3).故r＝2eq\r(2)，sinα＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，tanα＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)；当x＝－1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2).18．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l＝eq\f(10,3)π(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)π×10－eq\f(1,2)×102×sin60°＝50(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))(cm2)．(2)法一：∵扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(c,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α(eq\f(c,2＋α))2＝eq\f(c2,2)α·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(c2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(c2,16).∴当且仅当α＝eq\f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值eq\f(c2,16).法二：由已知2R＋l＝c，∴R＝eq\f(c－l,2)(l＜c)，∴S＝eq\f(1,2)Rl＝eq\f(1,2)·eq\f(c－l,2)·l＝eq\f(1,4)(cl－l2)＝－eq\f(1,4)(l－eq\f(c,2))2＋eq\f(c2,16)，∴当l＝eq\f(c,2)时，Smax＝eq\f(c2,16)，此时α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\f(c,2),\f(c－\f(c,2),2))＝2，∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值eq\f(c2,16).19．如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，化简：coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1－sin\f(α,2),1＋sin\f(α,2)))＋coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1＋sin\f(α,2),1－sin\f(α,2))).解：由sinα·tanα＞0，得eq\f(sin2α,cosα)＞0，cosα＞0.又sinα·cosα＞0，∴sinα＞0，∴2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即kπ＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．当k为偶数时，eq\f(α,2)位于第一象限；当k为奇数时，eq\f(α,2)位于第三象限．∴原式＝coseq\f(α,2)·eq\r(\f((1－sin\f(α,2))2,cos2\f(α,2)))＋coseq\f(α,2)·eq\r(\f((1＋sin\f(α,2))2,cos2\f(α,2)))＝coseq\f(α,2)·eq\f(1－sin\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＋coseq\f(α,2)·eq\f(1＋sin\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＝eq\f(2cos\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(\f(α,2)在第一象限时),－2(\f(α,2)在第三象限时))).20．已知f(α)＝eq\f(sin(π－α)cos(2π－α)cos(－α＋\f(3,2)π),cos(\f(π,2)－α)sin(－π－α))(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cos(α－eq\f(3,2)π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31,3)π，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sinαcosα(－sinα),sinα·sinα)＝－cosα.(2)∵cos(α－eq\f(3,2)π)＝－sinα＝