江苏省泰州市兴化市2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一列数20，16，19，25，19，23的众数是(

)A.16 B.19 C.25 D.202.若ab=54，则a+bA.49 B.59 C.943.将抛物线y=-5x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为(

)A.y=-5(x+1)2-2 B.y=-5(x-1)2-24.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为(

)A.120°

B.130°

C.140°

D.150°5.在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则cosB的值是(

)A.513 B.135 C.12136.如图，将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，圆柱的底面半径是(

)A.455cm B.(43二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是______cm．8.已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的面积比为______．9.某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500km，第三年充满电可行驶405km，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为______．10.某初中学校为了更好地落实教育部“双减”政策，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．则这40名同学每天做书面家庭作业的平均时间是______分钟．书面家庭作业时间(分钟)708090100110学生人数(人)47208111.如图，在平面直角坐标中，△ABC与△DEF是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为______．12.2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为SH2，最低气温的方差为SL2，则SH2______SL2(填“>”、“<”或“13.人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618：1，这时人的身长比例看上去更美观.妈妈的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋.依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度______.(填“偏高、合适、偏低、无法判断”)

14.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则tan∠APC的值为______．

15.已知函数使y=-(x-2)2+4(x≤5)-(x-8)2+4(x>5)使y=a成立的x的值恰好只有16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，点F是边AB上一动点(不与A、B重合)，以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

(1)计算：|-3|-2tan45°+(-1)2022-(3-π)018.(本小题8.0分)

为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A.文学鉴赏，B.趣味数学，C.川行历史，D.航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．

(1)请对张老师的工作步骤正确排序______．

(2)以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．

A.随机抽取八年级三班的40名学生

B.随机抽取八年级40名男生

C.随机抽取八年级40名女生

D.随机抽取八年级40名学生

(3)如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．19.(本小题8.0分)

如图，已知抛物线y=x2-4x-5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC．

(1)求B，C及顶点D的坐标；

(2)求三角形BDC20.(本小题8.0分)

如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且△ACD∽△A'C'D'，若______，则△ABD∽△A'B'D'．

请从①BDCD=B'D'C'D'；②ABCD=A'B'C'21.(本小题10.0分)

小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，(点A、B、C、D在同一平面内)

(1)求点D与点A的距离；

(2)求隧道AB的长度．(结果保留根号)22.(本小题10.0分)

如图，两个边长为6的等边三角形△ABC和△CDE，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(不写作法，保留作图痕迹)：

(1)在图①中作出CE的中点P；

(2)在图②中作出AC的一个三等分点Q，连接BQ，求BQ的值．23.(本小题10.0分)

如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．

(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；

(2)如图2，连接EF交AB于点G，连接GC，当GC//AE时，求AE的值．24.(本小题10.0分)

某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．

(1)当该商品的销售价为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？

(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？25.(本小题12.0分)

如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“远离数”．

(1)如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为(4,0).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.①过点E画垂直于x轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”、“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“远离数”为______；

②若直线n的函数表达式为y=33x-433.求⊙O关于直线n的“远离数”；

(2)在平面直角坐标系中，直线l经过点M(5,1)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点N(0,2)是⊙F关于直线l的“远点”.且⊙F关于直线l26.(本小题14.0分)

如图，已知抛物线y=ax2(a<0)经过点A(2,-2)，过点A的直线l平行于x轴，横坐标分别m，s的点B、C(m<s<0)在抛物线上，且位于在直线l异侧，连接BC，AC，AB，线段BC与直线l相交于点D．

(1)求a的值；

(2)若m=-3，s=-1．

①求AD的值；

②试判断AD是否平分∠CAB，并说明理由；

(3)若AD平分∠CAB，试判断tan

答案1.答案：B

解析：解：这组数据中．19出现了2次，出现的次数最多，

所以这组数据的众数为19，

故选：B．

根据众数的定义判断即可．

本题考查众数的定义，解题的关键是理解众数的定义，属于中考常考题型．

2.答案：C

解析：解：∵ab=54，

∴a+bb=5+44，

∴3.答案：D

解析：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=-5x2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=-5(x+1)2．

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=-5(x+1)2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=-5(x+1)2+2．

故选：D．4.答案：C

解析：解：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC=50°，

∴∠A=90°-50°=40°，

∴∠BDC的度数为：180°-40°=140°

故选：C．

根据直径所对的圆周角是直角，再根据三角形内角和定理即可解决问题．

本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角等基本知识．

5.答案：A

解析：解：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，

∴AB=52+122=13，

∴cosB=BCAB=5136.答案：C

解析：解：扇形的弧长=4πcm，

∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2(cm)，

∴圆锥的高为42-22=23(cm)．

设圆柱的底面半径为r cm，高为R cm．

由题意得r2=23-R23，

解得：R=23-37.答案：14

解析：解：根据点和圆的位置关系，得OP=7cm，

再根据线段的中点的概念，得OA=2OP=14cm．

故答案为：14．

根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可．

本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．

8.答案：1：16

解析：解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，

∴相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．

故答案为：1：16．

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．

本题考查对相似三角形性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

9.答案：10%

解析：解：设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为x，根据题意可得：

500(1-x)2=405，

解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意舍去)，

故该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为10%．

故答案为：10%．

直接根据题意可得第二年充满电可行驶10.答案：88.75

解析：解：140×(70×4+80×7+90×20+100×8+110×1)=88.75(分钟)．

故答案为：88.75．

利用加权平均数的计算公式计算即可．

11.答案：(2,2)

解析：解：如图所示：位似中心点P的坐标为(2,2)．

故答案为：(2,2)．

直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置．

此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

12.答案：>

解析：解：观察气温统计图可知：这七天最低气温比较稳定，波动较小；故最低气温的方差小．

所以SH2>SL2．

故答案为：>13.答案：偏高

解析：解：设这双高跟鞋的高度为x cm合适，

由题意得：

64：(102+x)=0.618：1，

解得：x≈1.6，

∵6cm>1.6cm，

∴这双高跟鞋的高度偏高，

故答案为：偏高．

根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．

本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

14.答案：12解析：解：作AE//CD交DE于点E，连接BE，如图所示，

∵CD//AE，

∴∠APC=∠BAE，

设每个小正方形的边长为a，

由图可知：BE=a2+(2a)2=5a，

AE=(2a)2+(4a)2=25a，

AB=(3a)2+(4a)2=5a，

∴BE2+AE2=AB2，

∴△AEB是直角三角形，

15.答案：a<-5或a=4

解析：解：画出函数解析式的图象，

使y=a成立的x的值恰好只有2个即函数图象与y=a这两个条直线有2个交点，由图象及解析式可知，当a<-5或a=4时，函数图象与y=a这两个条直线恰好有2个交点．故答案为：a=4或a<-5．

画出图象，使y=a成立的x的值恰好只有2个．即函数图象与y=a这两个条直线有2个交点，据此观察图象求解．

本题主要考查二次函数的图象，知道使y=a成立的x的值恰好只有2个即函数图象与y=a这条直线有2个交点是解题的关键．

16.答案：2解析：解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=4，BC=AB2-AC2=42-22=23，∠BAC=60°，

连DF，AE，EF，

∵AF为的直径，

∴∠ADF=∠AEF=90°，

∴∠AFD=∠AED=90°-∠BAC=90°-60°=30°，

∴∠AEB=180°-30°=150°为定角，

∴E在以AB为弦所对圆心角为60°的圆弧上运动，

设该圆圆心为N，连NE，CN，AN，BN，则∠ANB=60°，AN=BN，

∴△AB为等边三角形，

∴AB=BN=AN=4，∠ABN=60°，

∴∠CBN=90°，

∴CN=BC2+BN2=12+16=27，

又EN=BN=4，

由两点之间线段最短知：CE+NE≥CN，

∴CE≥CN-EN=27-4，

∴当C、E、N在一直线时．CE有最小值为：27-4．

故答案为：217.答案：解：(1)|-3|-2tan45°+(-1)2022-(3-π)0

=3-2×1+1-1

=3-2+1-1

=1；

(2)x2+4x-1=0，

x2+4x=1，

x解析：(1)先化简，然后算乘法，最后算加减法即可；

(2)根据配方法可以解答本题．

本题考查实数的运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和配方法解一元二次方程是解答本题的关键．

18.答案：解：(1)①③②④；

(2)

D；

(3)由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：

840×1000=200(人)，

200÷40=5，

答：至少应该开设5解析：解：(1)根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，

故答案为：①③②④；

(2))根据抽样调查的特点易判断出：D，

故答案为：D；

(3)由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：

840×1000=200(人)，

200÷40=5，

答：至少应该开设5个班．

(1)根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；

(2)根据抽样调查的特点解答即可；

(3)根据样本估计总体思想解答即可．

19.答案：解：(1)y=x2-4x-5当y=0时，x2-4x-5=0，

∴x1=-1，x2=5

∴B点坐标为(5,0)，

当x=0时，y=-5，

∴C点坐标(0,-5)，

∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9，

∴D点坐标(2,-9)；

(2)由(1)知，抛物线对称轴为直线x=2，

设直线x=2与x轴相交于E，于BC相交于H，如图所示：

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B(5,0)，C(0,-5)，

∴b=-55k+b=0，

解得k=1b=-5，

∴直线BC的解析式为解析：(1)根据抛物线解析式分别求出点B，C，D坐标；

(2)直线x=2与x轴相交于E，于BC相交于H，先用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出H点坐标，求出DH，再用S△BCD=12DH⋅20.答案：解：③(答案不唯一)

理由如下：∵△ACD∽△A'C'D'，

∴∠ADC=∠A'D'C'，

∴∠ADB=∠A'D'B'，

又∵∠BAD=∠B'A'D'，

∴△ABD∽△A'B'D'．

解析：本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．

利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明．

选①也可以，答案不唯一．

21.答案：解；(1)由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°-45°-45°=90°，

在Rt△ADC中，

∴AD=DC·tan∠ACD=1003×tan60°=1003×3=300(米)，

答：点D与点A的距离为300米．

(2)过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB是东西走向，

∴∠ADE=45°，∠BDE=60°，

在Rt△ADE中，

∴DE=AE=AD·sin∠ADE=300×sin45°=300×22=150解析：(1)由题意，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；

(2)过点D作DE⊥AB于点E.分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

22.答案：(1)解：如图，连接BE交CE于点P，点P即为所求；

理由：∵△ABC和△CDE为两个全等的等边三角形，

∴AC=ED，∠ACB=∠CDE=60°，

∴AC//DE，

∴∠E=∠ACE，∠ADE=∠CAD，

∴△ACP≌△DEP(ASA)，

∴CP=EP，

即点P为CE的中点；

(2)解：如图，延长BA，DE交于点G，连接CG，AE，CG与AE交于点H，连接HP，并延长HP交BC于点F，连接EF交AC于点Q，点Q即为所求，

理由：∵△ABC和△CDE为两个全等的等边三角形，

∴AB=CD=CE，∠D=∠ACB=60°，AC=CE=BC=CD，

∴AC//DG，CE//BG，∠BGD=60°，

∴四边形ACEG是平行四边形，∠BGD=∠D=∠ABC=60°

∴△BDG是等边三角形．

∴CG⊥BD，

∵AC=CE，

∴四边形ACEG是菱形，

∴AE⊥CG，点H是AE的中点，

∴AE//BD，

由(1)得：点P为AC的中点，

∴PH//CE，

∴CF：BF=CP：AP=1：1，

即点F为BC的中点，

∴CF：BC=1：2，

∵AE//BD，

∴△CFQ∽△AEQ，

∴CQ：AQ=CF：AE=1：2，

∴CQ：AC=1：3，

∴点Q为AC的三等分点．

连接BQ，过点Q作QM⊥BC，

∵CQ：AQ=1：2，AC=6，

∴CQ=2，AQ=4，

∵∠C=60°，

∴∠CQM=30°，

∴CM=1，QM=3，BM=5，

∴BQ=B解析：(1)连接AD交CE于点P，点P即为所求，理由：证明△ACP≌△DEP，即可求解；

(2)延长BA，DE交于点G，连接CG，AE，CG与E交于点H，接HP，并延长HP交BC于点F，连接EF交AC于点Q，点Q即为所求，理由：证明△BDG是等边三角形，可得CG⊥BD，再证得四边形ACEG是菱形，可得AE⊥CG，点H是AE的中点，从而得到AE//BD，再由点P为AC的中点，可得PH//CE，从而得到点F为BC的中点，继而得到CF：BC=1：2，再由△CFQ∽△AEO，即可求解．

本题主要考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、熟练掌握等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．

23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°，

∴∠DAE+∠BAE=90°，

∵AF⊥AE，

∴∠BAF+∠BAE=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

∴△ADE∽△ABF，

∴ADAB=DEBF，即AD⋅BF=AB⋅DE，

∴BF=2a；

(2)∵AG//CE，CG//AE，

∴四边形AGCE是平行四边形，

∴AG=CE，

∵AB=CD，

∴BG=DE=a，

∴tan∠EFC=GBBF=解析：(1)根据矩形的性质可得∠ADE=∠ABF，∠∠DAE+∠BAE=90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE=90°，进而可得∠DAE=∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；

(2)先根据AG//CE，GC//AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得AE．

本题考查了相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似的性质是解决本题的难点和关键．

24.答案：解：(1)设每件商品应降价x元，获得利润为y元，

根据题意得：y=(360-x-280)(60+5x)

=-5x2+340x+4800

=-5(x-34)2+10580，

∵-5<0，

∴当x=34时，y取得最大值10580，

此时360-x=360-34=326，

答：该商品的销售价为326元时，总利润最大，最大值为10580元；

(2)由(1)可知，当y=7200时，-5x2+340x+4800=7200，

解得x1=8，x2解析：(1)设每件商品应降价x元，获得利润为y元，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由函数的性质求最值即可；

(2)根据(1)中解析式，当y=7200时，解方程求解即可．

本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确等量关系：总利润=销售量×(售价-进价)，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值．

25.答案：C

10

解析：解：(1)由题意得：⊙O关于直线m的“远点”是点C，

∵点E的坐标为(4,0)，⊙O的半径为1，

∴CA=2，CO=1，OE=4，

∴CE=5，

∴CA⋅CE=2×5=10，

∴⊙O关于直线m的“远离数”为10．

故答案为：C；10；

②设直线n分别交x轴，y轴于点B，A，

令x=0，则y=-433，

∴A(0,-433)，

∴OA=433．

令y=0，则33x-433=0，

解得：x=4，

∴B(4,0)，

∴OB=4，

在Rt△AOB中，

∵tanB=OAOB=33，

∴∠B=30°，

∴OH=12OB=2，

∴PH=OP+OH=3，

∴PQ⋅PH=2×3=6，

∴⊙O关于直线n的“远离数”为6；

(2)设直线l的函数表达式为y=kx+b，

①当k<0时，

由题意得：NA=22，NH⊥MH，NA⋅NH=226，

∴NH=13．

过点M作MG⊥ON于点G，过点M作MD⊥x轴于点D，如图，

∵M(5,1)，N(0,2)，

∴MD=1，OD=5，ON=2，

∴OG=MD=1，

∴NG=ON-OG=1，

∴MN=NG2+MG2=26，

∴MH=MN2-NH2=13，

∴HN=HM，

∴△HMN为等腰直角三角形．

过点H作HB⊥y轴于点B，DM的延长线交BH的延长线于点C，过点H作HE⊥x轴于点E，则BC⊥CD，设H(m,n)，

∴四边形ODCB为矩形，四边形OEHB为矩形，

∴BH=OE=m，OB=HE=n，BC=OD=5，BN=n-2．

∵∠BHN+∠HNB=90°，∠BHN+∠MHC=90°，

∴∠HNB=∠MHC，

在△BHN和△CMH中，

∠HBN=∠MCH=90°∠HNB=∠MHCHN=MH，

∴△BHN≌△CMH(AAS)，

∴BN=CH=n-2，BH=CM=m，

∴BC=BH+CH=m+n-2，CD=CM+MD=m+1，

∴m+n-2=5m+1=n，

解得：m=3n=4，

∴H(3,4)，

∴5k+b=13k+b=4，

∴k=-32b=172，

∴直线l的函数表达式为y=-32x+172；

②当k>0时，

由题意得：NA=22，NH⊥MH，NA⋅NH=226，

∴NH=13．

由①知：MN=NG2+MG2=26，

∴MH=MN2-NH2=13，

∴HN=HM，

∴△HMN为等腰直角三角形．

过点M作MB⊥x轴于点B，过点H作HC⊥y轴于点C，MB的延长线交CH的延长线于点D，过点H作HE⊥x轴于点E，则CD⊥MD