2019湖北省武汉市中考数学试卷

2019年湖北省武汉市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）实数2019的相反数是（）

A.2019B.-2019C.-J—D.1.1

20192019

2.（3分）式子心I在实数范围内有意义，则x的取值范围是)

A.x>0B.-1C.D.xWl

3.（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下

列事件是不可能事件的是（）

A.3个球都是黑球B.3个球都是白球

C.三个球中有黑球D.3个球中有白球

4.（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A.诚B.信c.友D.善

5.（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）

4正面

6.（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏

出，壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间，用f表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适

合表示y与X的对应关系的是（）

忆

。|~~—川

7.（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为〃、c,则关于x的一元二次方程依2+4x+c=0有

实数解的概率为（）

8.（3分）已知反比例函数），=四的图象分别位于第二、第四象限，A（xi,*）、B（x2,”）两点在该图象上，下列命

题：①过点A作轴，C为垂足，连接0A.若△ACO的面积为3,则％=-6；②若xi<0<工2，则

③若xi+x2=0，则yi+”=O，其中真命题个数是（）

9.（3分）如图，AB是。。的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，NACB的角平分线交。。

于点。，/8AC的平分线交C。于点E.当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）

D.在

A.y/2

10.（3分）观察等式：2+2?=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数:250^251>

252、…、299、2100.若250=公用含。的式子表示这组数的和是（）

A.2/-2aB.2a2-2a-2C.2a2-aD.2a2+a

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）计算标的结果是.

12.（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：。C）,分别是25、20、18、23、27,这组数据的中位

数是.

13.（3分）计算的结果是

一2•1,A-4

14.（3分）如图，在nABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE=EF=CD,ZA£>F=90°,ZBCD=63°,则/AQE

的大小为

15.（3分）抛物线y=tu2+/>x+c经过点A（-3,0）、B（4,0）两点，则关于x的一元二次方程”（x-1）2+c=b-bx

的解是_______

16.（3分）问题背景：如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AOE,DE与BC交于点P,可推出结论：PA+PC

=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,NM=75：MG=&/工点、。是LMNG内一点、,则点。到三

17.（8分）计算：（2?）

18.（8分）如图，点4、B、C、。在一条直线上，CE与BF交于点、G,/A=/l,CE//DF,求证：/E=NF.

19.（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表

示“很喜欢”，8表示“喜欢”，C表示“一般”，。表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如

下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取名学生进行统计调查，扇形统计图中，。类所对应的扇形圆心角的大小为;

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的8类的学生大约有多少人？

各吴学生人数条形统计图各类学生人数扇形统计图

20.（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCZ）的顶点在格点上,

点E是边。C与网格线的交点.请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不

要求说明理由.

（1）如图1,过点A画线段AF,使AF〃OC,S.AF=DC.

（2）如图1,在边AB上画一点G,使/AGZ）=/8GC.

21.（8分）已知48是的直径，A例和BN是。。的两条切线，DC与相切于点E,分别交AM、BN于D、C

两点.

（1）如图1,求证：AB2=4AD>BC；

若/A£»E=2/OFC,4。=1,求图中阴影部分的面积.

22.（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数,

其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表:

售价X（元/件）506080

周销售量y（件）1008040

周销售利润W（元）100016001600

注：周销售利润=周销售量又（售价-进价）

（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元.

（2）由于某种原因，该商品进价提高了〃？元/件（机>0）,物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在

今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是1400元，求〃?的值.

23.(10分)在△ABC中，NABC=90°，鲤_=〃，M是BC上一点，连接AM.

BC

(1)如图1,若"=1,N是A8延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM=BN.

(2)过点8作BPL4M,尸为垂足，连接CP并延长交AB于点Q.

①如图2,若〃=1,求证：空=典.

PQBQ

②如图3,若M是8c的中点，直接写出tan/BPQ的值.(用含〃的式子表示)

24.(12分)已知抛物线。：y=(x-l)2-4和C2：y=7

(1)如何将抛物线Ci平移得到抛物线C2?

(2)如图1,抛物线Ci与x轴正半轴交于点A,直线y=-念+匕经过点A,交抛物线Ci于另一点B.请你在线段

3

A8上取点P,过点P作直线PQ〃y轴交抛物线Ci于点。，连接AQ.

①若AP=A。，求点尸的横坐标；

②若出=PQ,直接写出点尸的横坐标.

(3)如图2,的顶点〃、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公

共点，ME、NE均与)，轴不平行.若aMNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为加、n,求m与〃的数量关

系.

图1图2

2019年湖北省武汉市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）实数2019的相反数是（）

A.2019B.-2019C.D.一L

20192019

【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案.

【解答】解：实数2019的相反数是：-2009.

故选：B.

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.（3分）式子GW在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x>0B.x2-1C.D.xWl

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.

【解答】解：由题意，得

x-1N0,

解得X》11

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键.

3.（3分）不透明的袋子中只有.4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下

列事件是不可能事件的是（）

A.3个球都是黑球B.3个球都是白球

C.三个球中有黑球D.3个球中有白球

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型.

【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；

B、3个球都是白球是不可能事件；

C、三个球中有黑球是必然事件；

。、3个球中有白球是随机事件；

故选：B.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发

生的事件.

第6页（共73页）

4.（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A,诚B.信C.友D.善

【分析】利用轴对称图形定义判断即可.

【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是善,

故选：D.

【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键.

5.（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示:土

故选：A.

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

6.（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏

出，壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间，用f表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适

合表示y与x的对应关系的是（）

第7页（共73页）

C.---XD.O'---J-*

【分析】根据题意，可知），随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题.

【解答】解：•••不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，f表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度,

随f的增大而减小，符合一次函数图象，

故选：A.

【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

7.（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为“、c,则关于x的一元二次方程以2+4x+c=0有

实数解的概率为（）

A.1B.1C.1D.2

4323

【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树状图得:

开始

1234

八/N/K/4\

234134124123

由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使acW4的有6种结果,

关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为工，

2

故选：C.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

8.（3分）已知反比例函数y=K的图象分别位于第二、第四象限，A（Xi，yi）,B（x2,.¥2）两点在该图象上，下列命

X

题：①过点A作ACLx轴，C为垂足，连接OA.若△ACO的面积为3,则2=-6；②若加〈0〈刈，则yi>”；

③若xi+x2=0，则yi+）2=0，其中真命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可.

【解答】解：过点A作ACLx轴，C为垂足，连接OA.

•.'△ACO的面积为3,

第8页（共73页）

A|Jl|=6,

・・•反比例函数产工的图象分别位于第二、第四象限，

x

：.k<Of

・,・&=-6,正确，是真命题；

②..•反比例函数y=k的图象分别位于第二、第四象限，

x

...在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，

若xi<0<x2，则yi>0>”，正确，是真命题；

③当A、8两点关于原点对称时，xi+x2=0,贝Uyi+y2=0，正确，是真命题，

真命题有3个，

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义

等知识，难度不大.

9.（3分）如图，A8是00的直径，M、N是右（异于A、B）上两点，C是右上一动点，的角平分线交

于点D,/A4C的平分线交C。于点E.当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）

A.aB.—C.2.D.在

222

【分析】如图，连接EB.设04=，.易知点E在以O为圆心D4为半径的圆上，运动轨迹是衣，点C的运动轨迹

是前，由题意NM0N=2NGQF,设/G£»F=a,则/M0N=2a,利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：如图，连接EB.设O4=r.

第9页（共73页）

AL

9：AB是直径，

AZACB=90°,

・・・E是△4C6的内心，

ZAEB=135°,

・・・NACD=/BCD,

•••AD=DB«

:.AD=DB=Mr,

：.ZADB=90°,

易知点E在以。为圆心D4为半径的圆上，运动轨迹是席，点C的运动轨迹是而，

VZM0N=2ZGDF,设NGOf=a,则NM0N=2a

2a•冗・r

.MN的长=180=r-

180

故选：A.

【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹,

属于中考选择题中的压轴题.

10.（3分）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数:250,25\

252、…、2的、21（M,.若25°=a,用含。的式子表示这组数的和是（）

A.2a2-2aB.2a2-2a-2C.2«2-aD.2a2+a

【分析】由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2,得出规律：2+2?+23+…+2"=2"+】-2,那么

231002349

250+251+252+...+299+2100=（2+2+2+-+2）-（2+2+2+-+2）,将规律代入计算即可.

【解答】解：：2+22=23-2：

第10页（共73页）

2+22+23=24-2；

2+22+23+24=25-2；

.*.2+22+23+―+2n=2n+l-2,

.•.250+25I+252+-+2W+2,0°

=（2+22+23+—+2100）-（2+22+23+—+249）

=（2101-2）-（250-2）

-210l_250,

V250=a,

,-.2101=（25。）2.2=2/,

原式=2/-a.

故选：C.

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.解

决本题的难点在于得出规律：2+2?+23+…+2"=2/1-2.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）计算、外的结果是4.

【分析】根据二次根式的性质求出即可.

【解答】解：V16=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟练地运用二次根式的性质进行化简是解此题的关键.

12.（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃）,分别是25、20、18、23、27,这组数据的中位

数是23℃.

【分析】根据中位数的概念求解可得.

【解答】解:将数据重新排列为18、20、23、25、27,

所以这组数据的中位数为23°C,

故答案为：23℃.

【点评】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处

于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中

位数.

13.（3分）计算-」」的结果是

a2-l6a-4a+4

第11页（共73页）

【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减.

【解答】解:原式一2a_a+4

(a+4)(a-4)(a+4)(a-4)

_2a-a-4

(a+4)(a-4)

_a-4

(a+4)(a-4)

=1

a+4

故答案为：J_

a+4

【点评】此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母.

14.（3分）如图，在。A8CD中，E、尸是对角线AC上两点，AE=EF=CD,N4D尸=90°,ZBCD=63°,则乙4DE

【分析】设NA£>E=X,由等腰三角形的性质和直角三角形得出ND4E=NADE=X,DE=1AF=AE=EF,得出£）E

2

=CD,证出N£>CE=NOEC=2x,由平行四边形的性质得出/£>CE=NBC。-NBCA=63°-x,得出方程，解方

程即可.

【解答】解：设

"：AE=EF,NA。尸=90°,

：.ZDAE=ZADE=x,DE=1AF=AE=EF,

2

,:AE=EF=CD,

：.DE=CD,

：.NDCE=ZDEC=2x,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

.,.ND4E=/8C4=x,

NDCE=/BCD-/BCA=63°-x,

：.2x=63°-x,

解得：x=21°,

即NAOE=21°；

第12页（共73页）

故答案为：21°.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是

解题的关键.

15.(3分)抛物线经过点A(-3,0)、B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c—b-bx

的解是xi=-2,犯=5.

【分析】由于抛物线yuaAfev+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x-1)2+/>(x-1)+c,从而得到抛物线y=a

(x-1)2+b(x-1)+c与x轴的两交点坐标为(-2,0),(5,0),然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二

方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解.

【解答】解：关于x的一元二次方程a(x-1)2+c—b-bx变形为a(x-1)2+b(x-1)+c—0,

把抛物线y=a?+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到_y=a(x-1)2+b(x-1)+c,

因为抛物线y=ax2+"+c经过点A(-3,0)、B(4,0),

所以抛物线y=a(x-1)2+6(x-1)+c与x轴的两交点坐标为(-2,0),(5,0),

所以一元二方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解为xi=-2,X2=5.

故答案为xi=-2,X2=5.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=/+fot+c(a,4c是常数，a20)与x轴的交点坐标

问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

16.(3分)问题背景：如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AOE,DE与BC交于点P,可推出结论：PA+PC

=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,NM=75°,MG=4&.点。是△“业内一点，则点。到三

个顶点的距离和的最小值是_2叵_.

【分析】(1)在BC上截取BG=PC,通过三角形求得证得AG=AP,得出AAGP是等边三角形，得出NAGC=60°

=ZAPG,即可求得NAPE=60°,连接EC,延长BC到F,使CF=B4,连接EF,证得aACE是等边三角形，得

tilAE=EC=AC,然后通过证得△APE丝△ECF(SAS),得出PE=PF,即可证得结论；

(2)以MG为边作等边三角形△MG。，以OM为边作等边△OME.连接N£>,可证△GMO会可得GO=

DE,则MO+NO+GO=NO+OE+DE,即当£>、E、0、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为NO的长度，

根据勾股定理先求得MF、DF,然后求的长度，即可求MO+NO+GO的最小值.

第13页(共73页)

【解答】(1)证明：如图1,在BC上截取8G=P£>,

在△ABG和△AOP中

rAB=AD

-NB=ND，

BG=PD

.•.△A3G丝△ADP(SAS),

：.AG=AP,NBAG=NDAP,

,：ZGAP=ZBAD=60°,

：.ZXAGP是等边三角形，

AZAGC=6Q°=NAPG,

.•.NAPE=60°,

Z£PC=60°,

连接EC,延长8c到F,使CF=B4,连接EF,

•.•将AABC绕点A逆时针旋转60°得到△AOE,

；./E4C=60°,/EPC=60°,

"：AE=AC,

：.Z\ACE是等边三角形，

：.AE=EC=AC,

VAPAE+AAPE+^AEP=\^°,ZECF+ZACE+ZACB=180°,/ACE=NAPE=60°,NAED=NACB,

：.ZPAE=ZECF,

在和△£■(¥中

'AE=EC

<ZEAP=ZECF

PA=CF

/\APE^/\ECF(SAS),

：.PE=PF,

：.PA+PC^PE；

(2)解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGO,以OM为边作等边AOME.连接N£>,作。交NM的

延长线于E

,/AMGD和△OME是等边三角形

：.OE=OM=ME,/£>MG=/OME=60°,MG=MD,

：.ZGMO^ZDME

第14页（共73页）

在△GMO和△£>ME中

，OM=ME

<ZGMO=ZDME

,MG=MD

/.△GA/O^ADME(SAS),

OG=DE

NO+GO+MO=DE+OE+NO

...当0、E、0、M四点共线时，NO+GO+何。值最小,

VZWG=75°,ZGMD=60°,

:.NNMD=135°,

...NOMF=45°,

：MG=472.

：.MF=DF=4,

：.NF=MN+MF=6+4=10,

ND=VNF2+DF2=V102+42=2^29,

.,.MO+NO+GO最小值为2岳，

故答案为2痛，

图1

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关

键.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）计算：（2?）

【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可.

第15页（共73页）

【解答】解：（2?）3-0/

=8x6-x6

=7x6.

【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算性质和法则是解题的关键.

18.（8分）如图，点A、B、C、。在一条直线上，CE与BF交于点G,NA=N1,CE//DF,求证：Z£=ZF.

【分析】根据平行线的性质可得NACE=N。，又NA=/1,利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出NE=N

F.

【解答】解：〃。区

ZACE=ZD,

'：ZA=Z1,

.♦.180°-ZACE-ZA=180°-ZD-Zl,

又丫/£：=180°-AACE-ZA,ZF=180°-ZD-Zl,

：.ZE=ZF.

【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角

相等.也考查了三角形内角和定理.

19.（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表

示“很喜欢”，8表示“喜欢”，C表示“一般”，。表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如

下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取50名学生进行统计调查,扇形统计图中，。类所对应的扇形圆心角的大小为72°；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？

【分析】（1）这次共抽取：12+24%=50（人），。类所对应的扇形圆心角的大小360。xW=72°：

50

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（2）A类学生：50-23-12-10=5（人），据此补充条形统计图:

（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500X^2=690（人）.

50

【解答】解：（1）这次共抽取：12・24%=50（人），

。类所对应的扇形圆心角的大小360°X!2=72°,

50

故答案为50,72°；

（2）A类学生:50-23-12-10=5（人），

条形统计图补充如下

各类学生人数条形统计图

人数小

5m什......

ABCD"

该校表示“喜欢”的8类的学生大约有1500义圆=690（人），

50

答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解

决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

20.（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.四边形48。的顶点在格点上,

点E是边。C与网格线的交点.请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不

要求说明理由.

（1）如图1,过点A画线段AF,使A尸〃。C,且4尸=OC.

（2）如图1,在边A8上画一点G,使/AGD=/BGC.

（3）如图2,过点E画线段EM,EM//AB,且

【分析】（1）作平行四边形即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论;

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（3）作平行四边形AEM8即可得到结论.

【解答】解：（1）如图所示，线段A尸即为所求;

（2）如图所示，点G即为所求；

（3）如图所示，线段即为所求.

图1图2

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性

质，正确的作出图形是解题的关键.

21.（8分）已知48是的直径，AM和BN是。。的两条切线，0c与OO相切于点E,分别交AM、8N于。、C

两点.

（1）如图1,求证：AB2=4AD*BC；

（2）如图2,连接OE并延长交4M于点F,连接CF.若NADE=2N0FC,AD=1,求图中阴影部分的面积.

【分析】（1）连接。C、0D,证明△AOOS^BC。，得出包_=空，即可得出结论；

BOBC

（2）连接OD,0C,证明△C。。丝△C77）得出NCDO=NCDF,求出/BOE=120°,由直角三角形的性质得出

8c=3,OB=M，图中阴影部分的面积=254080-5南彩0时，即可得出结果.

【解答】（1）证明：连接。C、OD,如图1所示：

「AM和BN是它的两条切线,

：.AM±AB,BNLAB,

：.AM//BN,

ZADE+ZBCE=180°

切。。于E,

NODE=LNADE,ZOCE^LZBCE,

22

第18页（共73页）

：.ZODE+ZOCE=90°,

.,./£>OC=90°,

NAOD+NCOB=90°,

VZAOD+ZADO=90°,

NAOD=NOCB,

"：ZOAD^ZOBC=90°,

/\AOD^/\BCO,

•AD^M

"BOBC"

.,Q2=A»BC,

(LB)2=AD*BC,

2

.,.AB2=4AO・8C；

(2)解：连接O。，OC,如图2所示:

NADE=2NOFC,

：.NADO=NOFC,

,：乙4。0=ZBOC,NBOC=ZFOC,

：*/OFC=ZFOC,

：.CF=OC,

.♦•CO垂直平分OF,

：.OD=DF,

'OC=CF

在△CO。和△(?尸。中，<OD=DF，

CD=CD

.".△COD^ACFDCSSS),

:.NCDO=NCDF,

,：ZODA+ZCDO+ZCDF=180°,

ZODA=60°=NBOC,

：.ZBOE=\20a,

在RtZ\OAO,AD=®OA,

3

RtZ\8OC中，BC=y/3OB,

：.AD：BC=\：3,

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'：AD=\,

：.BC=3,0B=0

，图中阴影部分的面积=2SMBC-S南彩OBE=2XJ_XFX3-=3氏r

2360

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、直角三角

形的性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键.

22.（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，

其售价、周销售量、周销售利润卬（元）的三组对应值如表:

售价X（元/件）506080

周销售量y（件）1008040

周销售利润w（元）100016001600

注：周销售利润=周销售量X（售价-进价）

（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是40元/件;当售价是70元/件时,周销售利润最大，最大利润是1800元.

（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（机＞0）,物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在

今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是1400元，求胆的值.

【分析】（1）①依题意设解方程组即可得到结论；

②该商品进价是50-1000+100=40,设每周获得利润叩=苏+云+°：解方程组即可得到结论；

（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2?+（280+2Wx-800-200m,由于对称轴是殳应，

根据二次函数的性质即可得到结论.

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【解答】解：(1)①依题意设y=fcv+b,

则有［"k+b=100

解得：4二一2

lb=200

所以y关于x的函数解析式为y=-2%+200；

②该商品进价是50-1000+100=40,

设每周获得利润w^cv^+bx+c：

，2500a+50b+c=1000

则有，3600a+60b+c=1600>

6400a+80b+c=1600

'a=-2

解得：，b=280，

c=-8000

；.w=-2?+280x-8000=-2(x-70)2+1800,

...当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；

故答案为：40,70,1800；

(2)根据题意得，w=(x-40-m)(-2x+200)=-2?+(280+2%)x-800-200m,

•.•对称轴x=140+1r

2

①当112坦<65时(舍)，②当140+m265时,x=65时，卬求最大值1400,

22

解得：m=5.

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题.注意：数学应用题来源于实践，用

于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，

然后再利用二次函数求最值.

23.(10分)在△ABC中，ZABC=90°,姻■=〃，M是BC上一点，连接AM.

BC

(1)如图1,若〃=1,N是A8延长线上一点，C7V与AM垂直，求证：BM=BN.

(2)过点8作P为垂足，连接CP并延长交48于点Q.

①如图2,若〃=1,求证：生=巡.

PQBQ

②如图3,若M是8c的中点，直接写出tan/BPQ的值.(用含〃的式子表示)

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【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H.想办法证明5Mg△CBN（ASA）即可.

（2）①如图2中，作CH〃A8交8P的延长线于利用全等三角形的性质证明CH=BM,再利用平行线分线段

成比例定理解决问题即可.

②如图3中，作C7/〃A3交8尸的延长线于”，作CN_LBH于N.不妨设8。=2加，WlJAB=2mn.想办法求出CM

PN（用加，〃表示），即可解决问题.

【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点儿

・・・NA”C=90°,

VZABC=90°,

：.ZBAM+ZAMB=90°,NBCN+NCMHS,

NAMB=NCMH,

:・/BAM=/BCN,

*：BA=BC,NABM=NCBN=90°,

:・AABM义ACBN(ASA),

:・BM=BN.

（2）①证明：如图2中，作C”〃AB交BP的延长线于

第22页（共73页）

：.ZBPM=ZABM=90°,

VZBAM+ZAMB=90Q,ZCBH+ZBMP=90°,

NBAM=NCBH,

'：CH//AB,

.•.N”CB+/ABC=90°,

VZABC=90°,

.../ABM=/BCH=90°,

"：AB=BC,

:,丛ABM会丛BCH(ASA),

：.BM=CH,

'JCH//BQ,

.PC=CH=BM

*'PQBQBQ,

②解：如图3中，作CH//AB交BP的延长线于H,作CN±BH于N.不妨设BC=2m,则AB=2nm.

BH=^\Il+4n2,AM=/77Vl+4n2,

22

：.PB=-r^^-

l+4n2

第23页（共73页）

■:CN=1CH。BC,

22

•:CNLBH,PMLBH,

：.MP//CN,,：CM=BM,

2mn

:,PN=BP=

■:/BPQ=/CPN,

2m

忖「vl+4n^1

・・・tanN8PQ=tanNC尸可=生='-----

PN「2一0

Vl+4n2

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

24.(12分)已知抛物线Ci：y=(x-l)2-4和C2：y=7

(1)如何将抛物线C\平移得到抛物线C2?

(2)如图1,抛物线Ci与x轴正半轴交于点A,直线)=-£+%经过点A,交抛物线Ci于另一点B.请你在线段

3

AB上取点P,过点P作直线PQ〃y轴交抛物线。于点。，连接AQ.

①若求点尸的横坐标；

②若布=PQ,直接写出点P的横坐标.

(3)如图2,△/可£的顶点M、N在抛物线C2上，点〃在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公

共点，ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为小、〃，求〃?与〃的数量关

【分析】(1)y=(x-1)2-4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y=f；

第24页(共73页)

(2)易求点A(3,0),b=4,联立方程-&+4=(x-1)2-4,可得8(-工，毁)；设