微积分 第七版 课件 一、二元函数的一阶偏导数

后续内容（上）

二元函数微分学一、二元函数的一阶偏导数二、二元函数的二阶偏导数三、二元函数的全微分四、二元函数的极值1本章思维导图引导案例

元，问两种型号的钢笔的产量各为多少时，企业利润最大？分析：此题讨论两种型号的笔的产量为多少时，利润最大，属二元函数的最优化问题，应先根据问题建立二元函数关系，再考虑二元函数求极值问题．

4一

二元函数的一阶偏导数本节学习目标010203掌握二元函数一阶偏导数的计算规则理解二元函数一阶偏导数定义了解二元函数的概念能熟练计算二元函数一阶偏导数04一、二元函数已知变量x,y及z,当变量x,y相互毫无联系地在某个二元有序实数数组的非空集合D内任取一组数值时,若变量z符合对应规则f的取值恒为唯一确定的实数值与之对应,则称对应规则f表示变量z为x,y的二元函数,记作z=f(x,y)61.二元函数定义其中变量x,y称为自变量,自变量x,y的取值范围D称为二元函数定义域二元函数z也称为因变量,二元函数z的取值范围称为二元函数值域,记作G对应规则f也称为对应关系或函数关系72.二元函数的表达式二元函数表达式主要有两种:一种是z=f(x,y),称为二元显函数另一种是由方程式F(x,y,z)=0确定变量z为x,y的二元函数,称为二元隐函数83.二元函数的极限已知二元函数f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义,当点(x,y)无限接近于点(x0,y0)即(x,y)→(x0,y0)时若二元函数f(x,y)无限接近于常数A,则称当(x,y)→(x0,y0)时二元函数f(x,y)的极限为A,记作

94.二元函数的连续性已知二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处及其附近有定义,若有关系式

则称二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.105.二元连续函数若二元函数f(x,y)在区域E上每一点处都连续,则称二元函数f(x,y)在区域E上连续,并称二元函数f(x,y)为区域E上的二元连续函数对于二元函数,若同时考虑两个自变量都在变化,则它的变化比较复杂,不便于讨论,于是分别讨论只有一个自变量变化而引起的二元函数变化情况11二、二元函数的一阶偏导数1.定义后.1已知二元函数z=f(x,y),若自变量x变化而自变量y不变化,这时所给二元函数化为自变量为x的一元函数,其对自变量x的一阶导数称为二元函数z=f(x,y)对自变量x的一阶偏导数,记作

12若自变量y变化而自变量x不变化,这时所给二元函数化为自变量为y的一元函数,其对自变量y的一阶导数称为二元函数z=f(x,y)对自变量y的一阶偏导数,记作

132.二元函数的一阶偏导数计算方法由此可知:求二元函数z=f(x,y)对自变量x的一阶偏导数时,把自变量y暂时看作常量,对自变量x求导数求二元函数z=f(x,y)对自变量y的一阶偏导数时,把自变量x暂时看作常量,对自变量y求导数显然,只需运用一元函数导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则,就可以得到结果14例1求二元函数z=xy的一阶偏导数.解:求二元函数z对自变量x的一阶偏导数时,把自变量y暂时看作常量,于是z'x=(xy)'x=y(x)'x=y求二元函数z对自变量y的一阶偏导数时,把自变量x暂时看作常量,于是z'y=(xy)'y=x(y)'y=x15例2求二元函数z=x3+3x2y-y3的一阶偏导数解:z'x=3x2+6xyz'y=3x2-3y216例3求二元函数z=xy的一阶偏导数解:求二元函数z对自变量x的一阶偏导数时,把自变量y暂时看作常量,因而二元函数z=xy化为自变量为x的一元函数,它属于幂函数,于是z'x=yxy-1求二元函数z对自变量y的一阶偏导数时,把自变量x暂时看作常量,因而二元函数z=xy

化为自变量为y的一元函数,它属于指数函数于是z'y=xylnx17例4

根据一元复合函数导数运算法则,于是

18例5求二元函数z=e3x+2y的一阶偏导数解:z'x=e3x+2y(3x+2y)'x=3e3x+2yz'y=e3x+2y(3x+2y)'y=2e3x+2y19例6求二元函数z=esinxcosy的一阶偏导数解:z'x=esinx(sinx)'xcosy=esinxcosxcosyz'y=-esinxsiny203.求一阶偏导数值若求二元函数z=f(x,y)在定义域上点(x0,y0)处的一阶偏导数值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)则首先求出一阶偏导数fx'(x,y),fy'(x,y)然后在一阶偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)的表达式中,自变量x,y分别用数x0,y0代入所得到的数值就是所求一阶偏导数值,f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)21例7

解:计算一阶偏导数

在一阶偏导数f'x(x,y)的表达式中,自变量x用数1代入、自变量y用数2代入,得到所求一阶偏导数值

224.求二元隐函数的一阶偏导数最后考虑二元隐函数的一阶偏导数.已知方程式F(x,y,z)=0确定变量z为x,y的二元函数z=z(x,y)如何求二元函数z对自变量x,y的一阶偏导数z'x,z'y?23二元函数与一元函数的情形类似,具体作法是:方程式F(x,y,z)=0等号两端皆对自变量x或y求一阶偏导数,然后将含一阶偏导数z'x或z'y的项都移到等号的左端,而将不含一阶偏导数z'x或z'y的项都移到等号的右端经过代数恒等变形,就得到一阶偏导数z'x或z'y的表