微积分 第七版 课件 4.7 不定积分分部积分法则

1第七节

不定积分分部积分法则本节学习目标010203了解分部积分法则主要运用的情况理解不定积分分部积分法则能熟练进行不定积分分部积分法则计算一、不定积分分部积分法则求解不定积分的基础是不定积分基本公式,求解不定积分的重要方法除不定积分换元积分法则外,还有不定积分分部积分法则.∫udv=uv-∫vdu1.不定积分分部积分法则如果函数u=u(x),v=v(x)都可导,且一阶导数u'(x),v'(x)都连续,则不定积分3不定积分分部积分法则证明∫uv'dx=∫(uv)'dx-∫u'vdx证:根据§2.2导数基本运算法则2,有一阶导数(uv)'=u'v+uv'即有uv'=(uv)'-u'v等号两端皆取不定积分,得到不定积分∫udv=uv-∫vdu根据§2.7函数微分表达式,有关系式u'dx=du,v'dx=dv,又由于任何函数都为其一阶导数的一个原函数,因此函数uv为其一阶导数(uv)'的一个原函数,所以不定积分42.不定积分分部积分法则说明

所求不定积分等于两项之差：被减项为原被积表达式中微分记号d前后两个函数的积,减项为原被积表达式中微分记号d前后两个函数调换位置所构成的不定积分.这样就将所求不定积分∫udv归结为求作为减项的不定积分∫vdu,再应用§4.2不定积分基本公式或§4.4不定积分第一换元积分法则求解.51.第一种基本情况被积函数为对数函数或反三角函数,这时直接应用不定积分分部积分法则求解.6

不定积分分部积分法则主要能够解决对数函数、反三角函数的不定积分及一部分但不是全部函数乘积的不定积分,分下列两种基本情况讨论这些不定积分.二、不定积分分部积分法则常见情况例1求不定积分∫lnxdx.解:这是对数函数的不定积分,应直接应用不定积分分部积分法则求解.注意到：被积表达式lnxdx中微分记号d前面的函数为对数函数lnx,后面的函数为幂函数x,因而微分记号d前后两个函数的积为函数lnx·x,微分记号d前后两个函数调换位置所构成的不定积分为不定积分∫xd(lnx).7例1=xlnx-x+c所以所求不定积分∫lnxdx=lnx·x-∫xd(lnx)

=xlnx-∫dx8例2求不定积分∫arctanxdx.解:∫arctanxdx=xarctanx-∫xd(arctanx)

92.第二种基本情况(2)被积函数为乘积xnsinx或xncosx(n为正整数),这时必须首先应用§4.3非线性凑微分将乘积sinxdx或cosxdx凑微分,然后应用不定积分分部积分法则求解;(1)被积函数为乘积xnex(n为正整数),这时必须首先应用§4.3非线性凑微分将乘积exdx凑微分,然后应用不定积分分部积分法则求解;10(3)被积函数为乘积xαlnx(α≠-1),这时必须首先应用§4.3非线性凑微分将乘积xαdx凑微分,然后应用不定积分分部积分法则求解;例3=xex-ex+c求不定积分∫xexdx.解:∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx11例4=-xcosx+sinx+c求不定积分∫xsinxdx.解:∫xsinxdx=-∫xd(cosx)

=-(xcosx-sinx)+c12例5求不定积分∫xlnxdx.解:∫xlnxdx

13对于上述两种基本情况,在应用不定积分分部积分法则求解时,虽然不能立即得到结果,但是若作为减项的不定积分比原不定积分简单,还可以连续应用不定积分分部积分法则,直至得到结果.14例6求不定积分∫ln2xdx.解:∫ln2xdx=xln2x-∫xd(ln2x)

=xln2x-2∫lnxdx

15

=xln2x-2(xlnx-x)+c=xln2x-2xlnx+2x+c例7求不定积分∫x2sinxdx.解:∫x2sinxdx=-∫x2d(cosx)

=-x2cosx+2∫xcosxdx=-x2cosx+2∫xd(sinx)

=-x2cosx+2(xsinx+cosx)+c=-x2cosx+2xsinx+2cosx+c16例8

=∫cost·2tdt=2∫tcostdt=2∫td(sint)

=2(tsint+cost)+c

17例9=xe-x+e-x+c不定积分∫xd(e-x)=

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解:根据不定积分分部积分法则,因而所求不定积分∫xd(e-x)=xe-x-∫e-xdx=xe-x+∫e-xd(-x)xe-x+e-x+c18例10已知函数f(x)的二阶导数f″(x)连续,则不定积分∫xf″(x)dx=

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解:应用§4.3一般凑微分,有关系式f″(x)dx=df'(x),根据不定积分分部积分法则,并