四川省绵阳市2024届高三二模数学（文）试题（含答案解析）

绵阳市高中2021级第二次诊断性考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算计算即可.【详解】由，可得.故选：D.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：A3.已知，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用，结合数量积运算即可.【详解】由，则，得即，解得，因为，所以与的夹角为.故选：C4.若变量x，y满足不等式组则的最大值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据约束条件，作出可行域，平移直线，由直线在y轴上截距最大时，目标函数取得最大值求解.【详解】解：由变量x，y满足作出可行域，如图所示：令，平移直线，当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值2，故选：D5.已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，x2468y58.213m则下列说法正确的是（）A.B.变量y与x是负相关关系C.该回归直线必过点D.x增加1个单位，y一定增加2个单位【答案】C【解析】【分析】根据给定数据及回归方程求出样本中心点，再逐项判断即可得解.【详解】依题意，，由，解得，A错误；回归方程中，，则变量y与x是正相关关系，B错误；由于样本中心点为，因此该回归直线必过点，C正确；由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误.故选：C6.已知为上的减函数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性得到与0.5的大小，再利用为上的减函数判断.【详解】因为，所以，又因为为上的减函数，所以，故选：B7.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式平方判断充分性，再通过特殊值法判断必要性即可得到答案.【详解】充分性：若，则由平方得，即，故充分性成立，必要性：令，则，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A8.已知角的终边与角的终边关于对称（为象限角），则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】首先根据对称性确定，，再代入化简后的，即可求解.【详解】设角上任一点为（除原点），点关于的对称点为，落在角的终边，根据三角函数的定义可知，，，所以.故选：C9.如图是的大致图象，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】数形结合和导数分析A选项函数图像特征，根据，奇偶性，单调性，利用排除法选出正确答案.【详解】对于A选项，研究的图像可知与轴有两个交点,且一点为坐标原点,另一个点横坐标为正，其他函数都不具备这样的特点.另外因为时所以为R上增函数，所以在R上在某一个值左侧为减函数，右侧为增函数，结合零点和绝对值对图像的影响可判断A正确.根据排除D选项，B选项根据对于都成立可以判断B为偶函数，与所给图像不符，所以B不正确.C选项根据当时，为上得增函数与所给图像不符，所以C不正确.故选：A10.已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求数列的解析式，再结合数列的解析式，以及条件，判断数列和的单调性，即可判断选项.【详解】由条件可知，，当时，，当时，，验证，当时，，所以，当时，，单调递减，此时，故A错误；，单调递增，所以，故B错误；当时，，成立，当时，，故C错误；当时，，当时，单调递减，当时，数列取得最大值，，当时，，所以，故D正确.故选：D11.已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C三点的圆的圆心轨迹为（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线【答案】A【解析】【分析】首先求点的坐标，再利用，可求得轨迹方程.【详解】的对称轴为，由对称性可知，圆心在上，令，，得，设点在点的左边，所以点的坐标为，，设圆心为，根据，得，整理为，当时，此时，，，两点重合，圆心为的轨迹方程为，所以，则，即圆心，所以圆心的轨迹方程为，而点满足条件，所以圆心轨迹为一条直线.故选：A12.设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率.【详解】由题意可得、，，则以为圆心且过的圆的方程为，令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即，则，即，有，则，又，即有，即，代入，有，即，即在椭圆上，故，化简得，由，即有，整理得，即，有或，由，故舍去，即，则.故选：B.【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.己知为钝角，，则_______．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式即可得到答案.【详解】因为为钝角，，所以，所以，故答案为：.14.若为奇函数，则______.【答案】##【解析】【分析】首先求函数的定义域，根据奇函数的性质，求的值，再验证函数为奇函数.【详解】，由，得或，所以函数的定义域为，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，得，此时，即，函数为奇函数，所以.故答案为：15.甲、乙二人用4张不同的扑克牌（其中红桃3张，方片1张）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为______.【答案】##0.5【解析】【分析】由题意得到都抽到是红桃，然后利用古典概型的概率求解.【详解】解：甲、乙二人抽到的花色相同的概率为，故答案为：16.已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作E的渐近线的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当轴时，，则E的渐近线方程为_________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性取渐近线，求出点坐标，再列出方程求解即得.【详解】由双曲线的对称性，取渐近线，由直线垂直于直线，得直线：，由与联立解得，即，由轴，且，得，而点M在双曲线E的左支上，因此，即，又，整理得，解得，所以双曲线E的渐近线方程为.故答案为：【点睛】关键点睛：求双曲线离心率或渐近线的方程问题，由题设条件建立关于的关系式是求解问题的关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】17.;18..【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果.小问1详解】设等差数列的公差为,由题意得:解得:，所以的通项公式为，即.【小问2详解】令，则，即整理得：.18.绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050总计5050100（1）能否有把握认为喜欢旅游与性别有关？（2）在以上所调查的喜欢旅游的市民中，按性别进行分层抽样随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率.附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）有的把握认为喜欢旅游与性别有关（2）【解析】【分析】（1）首先计算与比较大小，即可作出判断；（2）首先确定男女各2人和3人，再利用古典概型概率公式，即可求解.【小问1详解】根据列联表计算，所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关；【小问2详解】按分层比例可知，随机抽取的5人中，男性2人，女性3人，设男性2人分别为，，女性3人分别为，5人中任取2人的样本空间为，共包含10个样本点，其中2人不同性别包含的样本为，有6个样本点，所以5人中随机抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率.19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求及a；（2）若周长为48，求的面积.【答案】（1）；（2）84【解析】【分析】（1）结合数量积的运算及正弦定理，同角三角函数关系即可求解；（2）结合余弦定理及三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由，得，由正弦定理得：，因为，则，由，得，所以，则，又，解得，所以；【小问2详解】，所以①，由余弦定理得：②，由①②得：，则.20.己知直线与抛物线交于A，B两点，F为E的焦点，直线FA，FB的斜率之和为0．（1）求E的方程；（2）直线分别交直线于两点，若，求k的取值范围．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线方程，将直线FA，FB的斜率之和坐标化，利用韦达定理代入整理求解系数；（2）由直线方程，令，用表示坐标，代入利用志达定理将条件转化为的不等关系，求解不等式即得.【小问1详解】由，得，设直线与抛物线线交点，的斜率，的斜率，由已知直线FA，FB的斜率之和为0，则①，联立方程组，消得，由，且，得，则.由韦达定理得，代入①化简得，由，解得，故抛物线E的方程为；【小问2详解】由（1）知，焦点，则，，令，得，故，解得，又，由（1）知，，代入②式得，，且，解得，则，或，故的取值范围为.21.己知函数.（1）求曲线在处的切线方程：（2）若在上是单调函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求切线方程；（2）首先由，确定在上恒成立，再讨论和两种情况，分区间讨论，即可求解的取值范围.小问1详解】，且，，所以曲线在处的切线方程为；【小问2详解】因为，且在上是单调函数所以在上恒成立，即在上是单调递增函数，若，则在上恒为正数，在上单调递增，只需，得，若，则在上恒为正数，而在上单调递减，则只需，得，综上可知，的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是确定恒成立，再分情况，分区间讨论，转化为最值问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C极坐标方程；（2）若A，B为曲线C上的动点，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲线C的参数方程消参后得普通方程，再由极坐标与直角坐标的关系化为极坐标方程；（2）由，利用曲线C的极坐标方程，表示出和，化简求的值；【小问1详解】曲线C的参数方程为（t为参数），消参得普通方程为，即，则有，所以曲线C极坐标方程为.【小问2详解】由（1）得，因