北京市丰台区北京第十二中学2022-2023学年数学高三第一学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位

参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分

按照［70,80）,180,90）,190,1001分组，绘成频率分布直方图如下：

嘉宾ABCDEF

评分969596899798

嘉宾评分的平均数为x,场内外的观众评分的平均数为x,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为X,则下列选项

12

正确的是（）

-X+X-X+X-X+X———X+X

A.X=12B.X>12C.X<12D.X>X>x>12

222122

b=logmc=2,若a>b>c，则正数m可以为（）

2.已知a=log74,

32'2

A.4B.23C.8D.17

3,执行如图所示的程序框图后，输出的值为5,则P的取值范围是（）.

(371(7151/15311

C.I_»___ID・I__»___I

(816J(16321

4.在A4BC中,E,F分别为/B,/C的中点，P为EF上的任一点，实数x,V满足而+铲5+雨=0,设

S

ZV1BC、APBC、△PC4、AP4B的面积分别为S、S[、s>(i=1,2,3),则九♦入取到最大值时,

23

3S

2x+y的值为()

_33

A.B.1C.D.

~22

x,x<0

5.已知a,beR,函数/(x)=11,若函数y=/(x)-ax-b恰有三个零点，贝|]()

_X3-_(a+1)x2+ax,x>0

A.a<-1,b<0B.a<-1,/>>0

C.a>-1力<0D.a>-1,Z?>0

2K

6.在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知C，c=1.当0力变化时，若z=b+"存在最大值,

则正数大的取值范围为

1D.(1,3)

A.(0.1)B.(0,2)C.(2,2)

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为()

俯视图

A.2好B.4C.2D.2近

若复数曾在复平面内对应的点关于虚轴对称，则?等于（

8,复数z=2+i,)

1

2

3+4z3+4;-3+4/

A.----------B.C.-3+4/D.

55

9,《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：，吟有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已

知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自

内切圆的概率是（）

兀兀

A.——B.一

123

10.下列不等式成立的是（）

11.已知命题P：VxeR,sinx<l,则力为（）

A.e/?,sinx>1B.VxeR,sinx>1

00

C.3xe/?,sinx>1D.VxwR,sinx>1

oo

12.若关于x的不等式f1］与«J有正整数解，则实数k的最小值为（）

A.9B.8C.7D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,等腰直角三角形4BC内有一点p,PA=\,PB=J7,PC=2,44=90。，则AABC面积为.

14.如图所示梯子结构的点数依次构成数列%},则a=

n100

15.设s是等比数列〃｝的前〃项的和，S,S,S成等差数列，则^的值为.

nn396a

8

兀兀n

16.已知函数/(x)=2sin((ox+(p),对于任意x都有/(_+x)=/(_-x),则/'(J的值为.

666

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的

还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均

相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款).

已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.

(1)若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小

张该笔贷款的总利息；

(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收

入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)；

(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.

参考数据：LOO4240n2.61.

18.(12分)已知双曲线C：x2-j/2=l及直线/：y=kx+l.

(1)若/与C有两个不同的交点，求实数A的取值范围；

⑵若/与C交于4,8两点，。是原点，且S求实数"的值•

19.(12分)己知函数/(x)=ex(x-D-1e«x2,a<0.

7

(i)求曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极小值；

(3)求函数/(x)的零点个数.

20.(12分)每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,

用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为

叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.

（I）求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；

（H）以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数,

求X的分布列及E（X）.

21.（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据:

月份56789101112

研发费用（百万元）2361021131518

产品销量（万台）1122.563.53.54.5

（I）根据数据可知y与x之间存在线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

（U）该公司制定了如下奖励制度：以Z（单位：万台）表示日销售，当Ze[o,o.13）时，不设奖；当Zeh.13,0.15）

时，每位员工每日奖励200元；当Ze[o.15,o.16）时，每位员工每日奖励300元；当Ze10.16,+8）时，每位员工

每

日奖励400元.现已知该公司某月份日销售Z（万台）服从正态分布N（u,0.0001）（其中口是2018年5-12月产品

销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元.

参考数据：Zxy=347,Zx2=1308,Z尸=93,7140«84.50,

i/ii

/=1/=1卜1

———八、'

参考公式：相关系数「=

,其回归直线y=bx+Q中的/=1//-,若随机变量

工X2一nx2

z=i

x服从正态分布N2),则尸(口-er<x<p,+cy)=0.6826,P(|i-2<J<x<|i+2a)=0.9544.

22.（10分）等差数列｛Q｝的公差为2,a,a,a分别等于等比数列｛b｝的第2项，第3项，第4项.

n248n

（1）求数列｝和篙｝的通项公式；

nn

c

（2）若数列L｝满足:+。2++n=b，求数列3｝的前2020项的和.

naGan+1n

12n

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、

C

【解析】

计算出7、T,进而可得出结论.

12

【详解】

由表格中的数据可知，X=96+95+96+89+97+98土9517,

16

由频率分布直方图可知，文=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,则

212

VJ-V_

由于场外有数万名观众，所以，T<x<-；_」<x.

221

故选：B.

【点睛】

本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.2、

C

【解析】

首先根据对数函数的性质求出a的取值范围，再代入验证即可；

【详解】

解：V3=log27<a=log74<log81=4,.,.当m=8时，b=logm=3满足a>c,二实数刀可以为8.

3332

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

3、C

【解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.

【详解】

1113

第一次循环：S=_,n=2；第二次循环：S=_+_=_,n=3；

彳112224

第三次循环：S=_+_+_=:,八=4；第四次循环：S=_+_+1+1_=I5,n=5：

227278227272716

715

此时满足输出结果，故,<PW—•

816

故选：C.

【点睛】

本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.4、

D

【解析】

1

根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而得到5=S=S+s,由

1223

此结合基本不等式求最值，得到当九•入取到最大值时，P为EF的中点，再由平行四边形法则得出

23

111

24+服+抽=L根据平面向量基本定理可求得x=y=，从而可求得结果.

222

【详解】

如图所示：

因为EF是A/BC的中位线，

所以P到BC的距离等于A/BC的BC边上高的一半，

所以S=S=S+s,

1223

(s+s

由此可得九九SSSS(-2)21

=_2_X3—23<_____________=_，

23了了~sT一豆—16

当且仅当s=s时，即p为EF的中点时，等号成立，

23

所以及+再=。，

由平行四边形法则可得F+PB=~2PE,~~PA+'PC^PF,

将以上两式相加可得说4匚丽=2匹+声)=0,

所以河+_屉「■='(),

22

又已知丽+x而+y★J(J*,

1

根据平面向量基本定理可得x=y=_,

2

1Q

从而2x+y=1+_=±.

22

故选：D

【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.

5、C

【解析】

当x<0时，y=/(x)_ax_b=x_ax_b=(1_a)x_b最多一个零点；当当0时，

y=f(x)-ax-b=X3-1(a+1)x2+nx-ax-b=1X3-1(a+1)x2-/),利用导数研究函数的单调性，根据单调

3232

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

当x<0时，y-f(x)-ax-b=x-ax-b=(J\-a)x-b=O,得乂=----：，=/(x)—ax—6最多一个零点；

111

当x>0时，y=f(x)-QX-b=_X3(Q+1)x2+QX-QX-b=_X3-_(Q+1)x2-b,

3232

yf=x2-(a+1)x,

当a+1<),即aw-1时，y'》0,y=/(x)—ax—b在[0,+网上递增，y=/(x)—ax—b最多一个零点.不合题意;

当a+1>0,即a>—1时，令y'>0得xe[a+1,+8),函数递增，令/<0得xe[0,a+1),函数递减；函数最

多有2个零点;

根据题意函数V=/(x)-ax-b恰有3个零点=函数，=/(x)—ax—b在(一双0)上有一个零点，在[0,+8)上有2

个零点,

如图:

1

解得b<0,1-a>0,0>b>-_(a+1)3,；.a>-1.

6

故选c.

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a,匕两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论,这一过程中

有可能分类不全面、不彻底.

6、C

【解析】

因为C=_,。=1,所以根据正弦定理可得_a=__b__=___c__=_9,所以Q=_59in4,&=_s9in

,所以

3sinAsinBsinC#有卡

Z=b+九a=J_sinB+±sinA=：［sinB+\sin（［-B）］=Jj（l-JsinB+

也不拒耳出2

V^"cosB］=2J1-入）2+（了巧2sin（B+小）,其中tanj=用-0<B

F不72~F2^，~3

因为z=6+入a存在最大值，所以由B+<|）=t+2k兀,keZ,可得2k兀+［<<!><2kn+：keZ,

,262

所以ta.>/，所以支匕>小，解得:〈大<2,所以正数入的取值范围为J,2）,故选C

T2-A,T22

7、D

【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.

【详解】

根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示:

B,

由三视图知：IAr\=2,(|E|=^3,|S[|-2,

所以|sc|=pc|=2,

所以|SA|=JSD「+网2=20|SB|=Jsc|2+|BC1=2工

所以该几何体的最长棱的长为2近

故选：D

【点睛】

本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

8、A

【解析】

先通过复数z,z在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到z=-2+i,再利用复数的除法求解马.

122Z

2

【详解】

因为复数Z,z在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数Z=2+i,

121

所以z=-2+i

2

z2+i2+z(-2—z)34

所以1r=—2+i=(—2+i)(—2—i)==5=5'

2

故选：A

【点睛】

本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.

9、C

【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式,

即可求解.

【详解】

由题意，直角三角形的斜边长为｛82+62=10,

6x8

利用等面积法，可得其内切圆的半径为「=(0s=2,

6+8+10

71-22_71

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为1A；6.

—XQXO

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是

解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

10、D

【解析】

根据指数函数、对数函数、骞函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【详解】

对于A,VO<I<1,，sin!<cosl,4错误；

2422

1V(<1\

对于B,..y=_在R上单调递减，_2<1_3,B错误;

1,1.1,1

对于C,'..log—_log3>1,log—-log2<1,log_>log2

2C错误;

P123pt

对于O,y=xl在R上单调递增，D正确.

­•⑴卬

姬D.

【点睛】

本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和暮函数的单

调性.

11、C

【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.

【详解】

丫全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题p：VxeR,sinx<1,

.,.-ip:GR,sinx>1.

00

它C.

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

12、A

【解析】

〃Inx31n3QInx

根据题意可将1卜4」_转化为不-2一广，令/x=—,利用导数，判断其单调性即可得到实数k的最小值.

⑴27x

【详解】

k\nx

八rn-1

因为不等式有正整数解，所以X>0,于是j<—转化为——>31n3,x=l显然不是不等式的解，当x>l时,

x

lnx>0,所以、"“23比3可变形为“X231n3

xxk

令於=史，则r（x）=4,

xx2

...函数/（X）在（o,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减，而2<e<3,所以

当xeN*时，f=max{/（2）,/（3）}=埠,故）3〉31n3,解得"9.

max3k

故选：A.

【点睛】

本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考

查学生的转化能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

5

13、_

2

【解析】

利用余弦定理计算cosNP/B,cos（90-NP力B）,然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.

【详解】

设AB=AC=x

由题可知：

PAi-vABi-PB?

cosNP/B=

2PAAB

cos（叱=

由sin2ZPAB+cos2ZPAB=1,

P4=1,PB=O,PC=2

I12+X2-JTI「12+X2-2212

所以I-----太------I+—万一二]

111L2J

化简可得：X4-6X2+5=0

则x2=5或x2=l,即或x=l

由AB>PA,所以x4

S_].ABAC=5

所以-ec-2I

5

故答案为：—

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.

14、5252

【解析】

根据图像归纳a=2+3+4+...+〃+2,根据等差数列求和公式得到答案.

n

【详解】

根据图像：a=2+3,a=2+3+4,故a=2+3+4+...+n+2,

12"

（2+102）xl01

故a=2+3+4+...+102=------------=5252.

ioo2

故答案为：5252.

【点睛】

本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15、2

【解析】

设等比数列｛a｝的公比设为q，再根据S,S,S成等差数列利用基本量法求解q,再根据等比数列各项间的关系求解

n396

a+a

-^一即可.

8

【详解】

解：等比数列｛a｝的公比设为q,

n

S,S,s成等差数列，

396

可得2S=S+S,

936

若q=1,则18Q=3Q+6Q,

显然不成立，故

化为2q6=1+q3,

1

解eq3=

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用，属于中档题.

16>-2或2

【解析】

由条件得到函数的对称性，从而得到结果

7T

.•・x=美函数f(x)=2sin®x+(p)的一条对称轴.

【点睛】

本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)289200元(2)能够轴t；(3)应选择等额本金还款方式

【解析】

(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还

款总额，减去本金即为还款的利息；

(2)根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x元，由等比数列求和公

式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；

(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.

【详解】

(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为｛a｝,

n

S表示数列｛a｝的前〃项和，则a=4900,a=2510,

nn1j240

则s=240(‘+。240)=120X(4900+2510)=889200,

2402

故小张该笔贷款的总利息为889200-600000=289200元.

(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，

则x+X(1+0,004)+X(1+0,004)2+•••+X(1+0.004>39=600000X(1+0.004M。，

(1-1.004240^1

所以x---------1=600000x1.004240,

11-1.004)

即x=600000x1.004240x0.004600000x2.61x0.004w3891,

1.004240-1~2.61-1

1

因为3891<10000x_=5000,

2

所以小张该笔贷款能够获批.

(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为：

3891x240-600000=933840-600000=333840,

因为333840>289200,

所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.

【点睛】

本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中

档题.

18、(1)；(2)1<=。或卜=土也.

【解析】

(1)联立直线方程与双曲线方程，消去，，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；

⑵设A(x/),B(x,y),由(1)可得x,x关系，再由直线，过点(0,1),可得=%x—x=进而建

S-II

112212^OAB2121

立关于k的方程，求解即可.

【详解】

(1)双曲线C与直线/有两个不同的交点,

[y-kx+1

则方程组《[有两个不同的实数根，

[X2-y2-1

整理得G-旌)x2-2kx-2=0,

1-/C2工0

A=4/C2+8（-/C2）>0'

•-或<k<成且ko±1.

双曲线C与直线1有两个不同交点时，

k的取值范围是J厄-1)u(-1.1)u(1,72).

⑵设交点A(xJ),B(x,y),直线/与y轴交于点仇°」)，

1122

富三

’2个2,..s=并—叼=隹.

X•X=^OAB2

[12

(-2kV8

」.(x-x>=(202,gpi_____i+______=8,

12h-k2)1-/C2

整理得2k4—3k2=0,解得k=0或

2

：.k=Q或k=S_.又•；—&<!<<&，

...k=0或k=±乎时，AAOB的面积为

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属

于中档题.

19、（1）＞=一1；（2）极小值—1；（3）函数y=/（x）的零点个数为1.

【解析】

（1）求出/（0）和/'（0）的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）利用导数分析函数y=/（x）的单调性，进而可得出该函数的极小值；

（3）由当XW1时，/（乂）＜。以及/（2）＞。，结合函数y=/（x）在区间（0,+＜»）上的单调性可得出函数y=/（x）

的零点个数.

【详解】

（1）因为/（x）=&（x-1）-）eoX2,所以/'（x）=xex-xe。.

2

所以/（0）=-1,/'（0）=0.

所以曲线V=/（X）在点（0,/（0））处的切线为y=-1；

（2）因为/'（x）=xe*-xe“=xL-e«）,令尸（x）=0,得x=0或x=a（a＜。）.

列表如下：

(-00,a)(a,0)(0.+OO)

Xa0

尸（X）

+0-0+

f(x)

极大值极小值/

所以，函数y=/（x）的单调递增区间为（-8,a）和（0,+8）,单调递减区间为（a,0）,

所以，当x=0时，函数y=/（x）有极小值/（0）=-1；

（3）当时，/（x）＜0,且/（2）=e2-2e。＞e2-2＞0.

由（2）可知，函数y=/（x）在（0,+8）上单调递增，所以函数V=f（x）的零点个数为1.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于

中等题.

199

20、(1)前7(11)见解析・

【解析】

(1户8人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福

(2)

的概率即可：(H)根据题意，随机变量3,列出分布列，根据公式求出期望即可.

【详解】

(I)设事件力=｛抽出的3人至少有1人是“很幸福”的｝,则/表示3人都认为不很幸福

199

204

18

(H)根据题意，随机变量XX的可能的取值为0J,2,3

()⑴31()2⑴22

PX=0=OI；PX=1=GxxlI=.

3(3j2733k3j9

P(X=2)=C2xpYx1=4；p(X=3)=C3(2]=8

3k3j393W27

所以随机变量X的分布列为:

X0123

1248

P

279927

所以x的期望E(X)：Ox1+1x2+2x4；3x8=2

279927

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题

型.21,(I)j=0.24x+0.32(II)7839.3元

【解析】

(I)由题意计算x、y的平均值，进而由公式求出回归系数b和a,即可写出回归直线方程；

(H)由题意计算平均数"，得出z~N5,02),求出日销量ze[0.13,0.15)>[0.15,0.16)和[0.16,+8)的概率,计算奖

金总数是多少.

【详解】

-2+3+6+10+21+13+15+1888

([)因为x=-------------------------=11,

O