2022年中考数学复习：三角形综合 模拟试题汇编（含答案）

2022年中考数学专题复习：三角形综合模拟试题精选汇编

rn9

1.(2021•历下区三模)在RtA48C中，AC=BO=5,20=90：。是4C边上一点，黑=件,

AUo

直线DE交8c于点E.

(1)如图1,*DE"AB、CD=,EB=；

(2)如图2,在(1)的条件下，等腰RtZ\CWV的端点〃在直线如上运动，连接则请

判断/与度的关系，并说明理由；

(3)如图3,若NCZ厉=60°,等腰RtaaW的端点〃点在直线如上运动，连接俯，请

直接写出伤的最小值.

2.(2021•莱芜区三模)如图1,△/8和△制都是等腰三角形，N匕30°.

(1)观察发现

请直接写出：券的值是_______________,粤的值是_______________；

0AAM

(2)问题探究

如图2,△以8固定不动，将绕着点。自由旋转，旋转角为a(0。<a<360°),

连接以/和AM.粤的值改变吗？请说明理由；

AM

(3)问题拓展

固定不动，若OA=2,OM=3.当△刖绕着点。在自由旋转过程中，点M、B、N

在同一条直线上时，求出线段4"的长度.

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备用图

图1图2

3.（2021•福山区模拟）在△48C中，N&UH90。，AB=AC,点、。在边BC上,DEL少且

DE=DA、〃交边仍于点尸，连接C£

［特例发现］

（1）如图1,当4/7=4尸时,

①求证：BD=CF-,

②推断：NACE=°；

［探究证明］

（2）如图2,当尸时，请探究的度数是否为定值，并说明理由.

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4.（2021•历下区二模）在中，/ABC=qy,ZX=60°,BDrAC,交4;于点。，

£为4C中点.

（1）如图1,连接BE,线段的和做的数量关系是；

（2）如图2,点户是线段8C上动点，连接//，点厂是线段初的中点，作射线使N

MAC=^PAC,延长8尸交制于点G,求N4G3的度数；

（3）如图3,在（2）的条件下，蚱8NLAM,垂足为点优连接ZW,GE,请判断线段ZW

和非的数量关系，并说明理由.

B

图1图2图3

5.（2021•槐荫区一模）（1）①如图1,XABC、△叱都是等腰直角三角形，点石在线段

48上，NACB=NECF=9Q°.求证：△ACP^XBCE：

②如图2,当AE=，i，曜=3然时，求线段CG的长；

(2)如图3,NBDC=NCAD=3Q°,N8CP=90°,AB=2{3，;AD=4,求4c的长.

—

cc

图1图2图3

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6.(2021•历下区一模)如图1,在等边宓中，48=2,点。是直线宓上一点，在射线

以1上取一点£使肥=力£,以/£为边作等边△/优连接&7.

(1)若点。是8c的中点，则曰=,EC=;

(2)如图2,连接8尸，当点。由8C中点向点。运动时，请判断8尸和&7的数量关系,

并说明理由；

(3)如图3,点。在8c延长线上，连接8尸，BE,当先〃/IC时，求8尸的长.

图1

7.(2021•新泰市模拟)在RtZ\48C中，NACB=9Q°,AC=BC,NCAB=NCBA=45°,D

为仇?上一点，连接4?,过点C作于点£

(1)如图1,过点8作8c交结的延长线于点尸，求证：屋△渐；

(2)如图2,若〃为8c的中点，龙的延长线交四于点连接ZW,求证：NBD4N

ADC；

(3)在(2)的条件下，若4£=4,CE=2,直接写出"的长.

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8.（2021•济南模拟）已知，在△48C中，N4第=90°,AC=BC,ADX.CE,BELCE,垂足

分别为。，E.

(1)如图1,求证：DE=AMBE；

(2)如图2,点。为的中点，连接勿，OE.请判断省的形状？并说明理由.

EE

d

^\bW£

4B403

图1图2

9.(2021•陕西模拟)如图，在△以1£和A/lb。中,。是上一点，AD^AB,DE//AB,乙E

=NC.

求证：AE=BC.

C

10.(2021•昆山市模拟)如图，在△48C中，AB=C在4ABC=90°,。为延长线上一点，

点、E在BC边上,且BE=BD,连接〃；DE,DC.

(1)求证：XABE9XCBD;

(2)若NG4E=30°,求N劭C的度数.

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11.(2021•南海区模拟)如图，△?(第和都是等腰直角三角形，/ACB=4ECD=9N,

。为四边上一点，求证:

(1)MAC恒XBCD：

(2)25=4+区.

12.(2021•镇雄县一模)已知：如图，8、C、£三点在同一条直线上，AC//DE,AC^CE,

Z.ACD=Z.B.求证：△ABS1XCDE.

13.(2020•温州三模)如图，在△48C中，NC=90。，在边48上取一点伉使得劭=/C,

过8作4c的平行线维，过。作48的垂线与8£交于点£连接力£

(1)求证：△ABMXBED.

(2)若NHk7=34°,求的度数.

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14.（2020•房山区二模）如图，在△被?中，BD平令NABC交AC干点、D,DE〃AB交.BC干

点、E,尸是做中点.求证：EF平■哈aBED.

15.（2021•平阴县二模）如图，将等腰直角三角形为8C的直角顶点置于直线/上，过4B

两点分别作直线/的垂线，垂足分别为〃，E,求证：BE=DC.

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参考答案

、：CA=CB,ZC=9Q°,

・・.N4=N8=45°,

・:47=5,CD：AD=2：3,

：,CD'=2、ADZ=3,

'：DE//AB,

，CDE=NA=45°,4CED=4B=45°,

ZCDE=NCED,

・•・CD=CE=2,

.\BE-BC-宏=5-2=3,

故答案为：2,3.

(2)如图2中，结论：DM^EN,DMS-EN.

理由：,/CD=CE,CM=CN,欣和=90。,

：.DCM=^ECN,

：.ADCM^/\ECN(.SAS'),

：.DM=EN,ACDM=^CEN=^°,

■；NCED=45°,

4DEN=90°,

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：.DMS.EN.

(3)如图3中，作DK〃AB交BC于K、作射线MC,过点、B作BHLNK干H.

〈CD=CK、CM=CN,/DCK=,

：.DCM=^KCN,

:./DCgAKCN(SAS'),

：.ZCDM=NCKN=60°,

点4的运动轨迹是直线NK,

，当点〃与，重合时，瓢的值最小，最小值=8/T・sin60°=3X返=3返

22

.••加的最小值为3返.

2

2.解：(1)如图1中，过点4作为以/于//,过点"作"厂垂直恻于T.

■：AO=AB,AH'OB,

：.OH=HB,

Z0=30°,

：.0H=HB=0A*cos3Q°=-^-0A,

2

■**0B=\f^OA,

同法可证，OT=TN=*OM,ON=MOM,

.0B=r-BN_ON-OB_«OM-«QA_

"0A-V3,AM-OM-OAOFQA

故答案为：V3,V3.

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⑵翳的值不变，理由如下:

'：OA=AB,OM=MN、N0108=30°,

.OBON厂

,:4AOB=4NOM=30°,

/.ZAOB^ZA0N=ZNOM^rZAON,

・•・NB0N=4A0M,

:•XBON^XAOM、

•典3片

'AM。卜7&

(3)第一种情况，当旋转到图3-1位置时，过点8作8//JL酬于点H.

-：0A=2,0M=3,N/I08=NW=3O°,

二。8=2«，ON=3y[3,

设B4x,则HN^MX,

0H=ON-HN=343-43X,

在中，胡+麻=区，

■,-X2+(3V3-V3X)2=(2V3)2-

.9+V21m+、9-V21

xl=一T~缶去，X2=一「，

.•.8〃=28〃=『7^,

2

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♦.止=则左G.

2

第二种情况，当40例旋转到图3-2位置时，过点。作酬于点"

O

・・・N0M/=3O°,

：.40MH=24N=60°,

YOM=MN=3,

•,■MH-1,

\'OA=AB=2,0M=MN=3,

.e.OB=2V3，ON=3V3，

在Rt△板中,BH=VOB2-OH2=^(2Vs)2-(^)2=2^-

BN=帆BH=3+—=—

222

..BN_

.前心r_

..U_3VW7

•・AM=—2一，___

综上所述：川的长为双IzYN或色③近.

22

3.(1)证明：®'：AB=AC,

：.4B=4ACF,

\'AD=AF,

NADF=NAFD,

：.NADB=NAFC,

:•△ABD^XACFkAAS),

：,BD=CF.

②结论：NACE=90°、

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理由：•:DA=DE,NADE=90°,AB=AC,ZBAC=90°,

J.N〃Z?=N〃Z?=45°,

「J、D、E、，四点共圆，

N力宏=90°,

故答案为：90.

(2)结论：ZACE=90°,

证明：-：DA=DE,ZADE=9G,AB^AC,N84=90°,

AAACD=Z.AED=^°,

..•4D、E、C四点共圆，

N4羽•//1*=180°,

AZACE=9Qa.

4.解：(1),:NABC=90°,N4=60°,£为4;中点，

：.BE=AE,

二.△/I的是等边三角形，

/.ZAEB=60°,

'：BDA.AC,

:./BDE=90",

=sinZ^=sin600=返，

BE2

：.BD=*BE；

(2),：NABX)0°,4=60°,

NG=30°,

•••点尸是线段4P的中点，

：.BF=FP,

：.ZPBF=ZBPF=NaNPAC,

■：ZPBRNBP丹NBFP=\BG,N笈仍NAG的N/尸4180°,ZBFP=4AFG,

：.NPBPrZBPF=NFAG^rNAGB,

•：^MAC=ZPAC,

：.2FAG=2/PAC、

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.0.2（N/N弘C）=2NPAC+NAGB,

：.ZAGB=2ZC=60°；

（3）如图3,连接

YBE=CE,

BED=60°=/BGA,

•：BNLAM,BD1AC,

：・/BNG=NBDE=9G,

:•△BNGs^BDE,

NNBG=NDBE,

BDBE

2NBD=ZGBE,

BGBE

：.4BNDs2BGE,

.ND_BD_V3

"GE-BET'

图1

5.解：(1)①证明：•・•△43C、△员?「都是等腰直角三角形,

：.AC=BC,CE=CF,NACB=NECF=9Q°,

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，ZBCE=ZACF'

在△丸尸和48绥中，

'AC=BC

.ZBCE=ZACF,

CF=CE

:.XAC34BCEQSAS)；

②由①知△力&四△&7£,

：.AF=BE,ZCBE=ZCAF,

■：AC^BC,N4第=90°,

:.NB=NBAC=45°,

"尸=45°,

N£4尸=90°,

•；AE=®,BE=3AE,

:.AF=3®,AB=BE^AE=^2,

22=2

,-.AC=J1AB^,^=VAE+AFV5>

又・••△&圻为等腰直角三角形，

:.NCEG=NEAC,

又：NECgNACE,

:ZCGSRACE'

.CEAC

"CG=CE5

：.C^=CG-AC,

."G=£li=独占

CA42

(2)过点/作段的垂线，过点C作4C的垂线，两垂线交于点“，连接ZW,

图3

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•••Zfi4Z)=30°,

二.NOI460°,

ZAMC=30°,

AAMC=NBDC,

又,：NACM=NBCD=90°,

:.△BC%XACM、

.BCCD

"AC=MC?

又ZBCD=NACM,

：.ZBC屏ZBCM=ZAC雌ZBCM,

即NDCM=NACB,

.DMCM

•-AB=AC^r

,：AB=2M，

r

DM=-2.-'^}XJ§=6,

■,•/仁加M2-AD2=362-42=2娓,

：.AC=^AM=^.

6.解：(1).・•△?!仍是等边三角形，点。是SC的中点,

：.AC=BC=AB=2,ADLBC,CD^BD^^BC^^,

^7AC2-CD2=V22-12=V3«

；4O=4E,

；.EA=M，

:.DE=A8AE=2M，

•,•但也D2+DE2=J/+(2禽)2=万，

故答案为：a,vis；

(2)BF=EC,理由如下：

•••△48C和△力炉是等边三角形，

：.AB=AC,NBAC=NEAF=60°,AF=AE,

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・•・/BAO/CAF=/EAR/CAF,

即N必f

:.△BA2XCAE〈SAS),

:、BF=EC\

(3)过E作EM工8c于M,过力作4V_L8c于乂如图3所示:

则日％/W,NEMB=90°,

同⑴得：AN=M，

\'AD=AE,

・・・/w是azo的中位线，

:・EM=2AN=2M，

'：BE//AC,

ZEBM=ZACB=60°,

「・N喇=30°,

：.BM=^-EM=2,BE=2BM=A,

；.CM=B雌BC=2+2=4,

•■•^VEM24CM2=7(2T3)2+42=2V7-

同(2)得：△BA2XCAE(SAS),

：.BF=Eg2S.

7.(1)证明：•.•6/」8aCEA-AD,

：.AAEC=ZCBF=ZACB=9Q°,

ZCAD^NACE=ZBCRNACE=90°,

：.NCAD=ZBCF,

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V.\'AC=BC,

:.△ACD^ACBF（ASa；

（2）证明：过点8作H」8c交宏的延长线于点R如图2所示:

由（1）得：XACD^XCBF,

:,ZADC=4F,CD=BF,

・・•，为仅7的中点，

：.CD=BD,

：・BD=BF、

VZACB=90°,AC=BC,

：.ZABC=45°,

・「N渐=90°,

：,ZFBM=90°-45°=45°,

NDBM=4FBM,

又

・•・△做侬△8?（S4S）,

/.4BDM=4F,

NBDM=/ADC；

（3）解：连接。尸，如图3所示：

•:CE'AD,AE=A,CE=2,

BC=AC=22=

7AE+CEV42+22=2辰,

由⑵得：BD^BF,CABD=^Bg娓,XBD的XBFM,

^=7AC2+CD2=7（2V5）2+（V5）2=5'

：.DE=AD-AE=\,

■:/DBF=9Q0,

••・△8〃尸是等腰直角三角形，

:.DF=J^D=、R^,

^VDF^DE^V（V10）2-l2=3'

iSDM=FM=x,则日K-x,

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在中，由勾股定理得：/+(3-x)2=必,

解得：x=£,

O

•FM=2-^-=—.

410

：,CM=CB-EM=2+—=—.

33

图2

8.(1)证明：如图1,

■:BE1CE,ADA.GE.

，E=NADC=9G°,

，/EBG^NBCE=9G.

VZBCB-ZACD=90°,

NEBC=4DCA.

在和△Z1%中，

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2E=ND

<ZEBC=ZDCA,

BC=AC

:.MCE哈△ADC(/MS),

:.BE=DC、AD^CE.

：.DE=DC+CE=AD^BE,即〃£=力9维；

(2)△。如等腰直角三角形，

理由如下：如图2,连接0C,

■：AC=BC,N/IC8=90°,点。是羔中点，

:.AO=BO=CO,NCAB=NCBA=45°,COLAB,

NAOC=NBOC=NADC=NBEC=90°,

ZBOONBEG+ZEC8ZEBg360",

；.NEB/NECO=M°,且NOG仆N£Ck180°,

:./DCO=4EBO,且DgBE,CO=BO,

:.△DCgAEBO(SA。,

:.EgDO,』E0g2DOC,

同理可证：△力仇运

NAOD=NCOE,

.:/A0A/D0C=qQ°,

：.NDOONCOES,

N0O£=9O°,豆DgOE、

如是等腰直角三角形.

9.证明：•：DE//AB,

：.ZADE=Z.BAC.

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在和△&IC中，

，ZE=ZC

,ZADE=ZBAC,

AD=AB

:4DE会XBAC"AS),

：.AE=BC.

10.(1)证明:

■:NABX)0°,

在△4跳和△胸中

'AB=CB

-ZABE=ZCBD

BE=BD

:.△ABE'^XCBD(SAS)；

(2)解：

■：AB=CB,N4&?=90°,

N8勿=45。,

；.NAEB=NCA&NBCA=3Q°+45°=75°,

,:丛ABEQ4CBD,

：.4BD