2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式（2022年2月含解析及考点卡片）

2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式

一、选择题（共10小题）

1.（2021秋•渝中区校级期末）下列选项是一元一次方程的是（）

A.x+2y=0B.3x+lC.3x2+1=0D.2x=l

2.（2021秋•顺义区期末）下列变形中，正确的是（）

A.若a=b,则°+1=匕-1B.若a-6+l=0,则a=6+l

C.若“=人，则@=2D.若@=则a=

xx33

3.（2021秋•沙坪坝区校级期末）己知关于x的方程5=8-3*的解是x=2,则“的值为（

）

25

A.1B.-C.-D.-2

32

4.（2021秋•宁波期末）甲、乙两运动员在长为100加的直道AB（A,8为直道两端点）上

进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达3点后，立即转身跑向A点，到达A点

后，又立即转身跑向3点…若甲跑步的速度为乙跑步的速度为4m/s,则起跑后2

分钟内，两人相遇的次数为（）

A.7B.6C.5D.4

5.（2021秋•建宁县期末）下面各组数值中，二元一次方程2x+y=10的解是（）

6.（2021秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（）

A.5x+4B.3x-5<7C.x-2=6D.3x2-l=5

7.（2021•张家界模拟）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“只闻隔壁客

分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.借问各位能算者，多少客人在

分银？”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则

还差半斤.问参与分银有多少人？（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）.若

设有x人分银子，依据题意所列方程正确的是（）

A.7x-4=9x+8B.7x+4=9x-8

C.7（x-4）=9（x+8）D.7（x+4）=9（x-8）

8.（2021秋•韶关期末）下列变形正确的是（）

A.由二2一1=臼;1去分母，得5（X-5）-1=3（2X+1）

35

B.由3（2x-l）-2（x+5）=4去括号，W6x-3-2x+10=4

C.由-6x-l=2x移项，得-6x-2x=l

D.由2x=3系数化为1,得x=2

3

9.若关于x的方程3x+2m=1的解与方程--1=5的解相同，则"，的值为（）

A.5B.-4C.-5D.4

10.在下列方程中是二元一次方程的为（）

19

A.XH—=1B.1Ox—6=12C.a2+b=iD.8y-6x=19

y

二、填空题（共7小题）

11.（2021秋•遵化市期末）已知3x+2与3（x+2）的值互为相反数，则》=.

12.（2021秋•岳阳期末）己知关于x的方程如+3=2的解满足|x-2|=0,则m的值是

13.（2021秋•玉门市期末）若方程（k-2）/t+7=0是关于x的一元一次方程，则我的值等

于一.

14.（2021秋•渠县期末）已知关于x的方程5x-2=3x+16的解与方程4a+l=4（x+a）-5a的

解相同，则々=.

15.下列运用等式性质正确的是—（填序号）

①若a=b,则a+c=〃一c；②若ac=bc,则口=〃；③若q=贝!]a=/>；④若a=i>,则

cc

二=?;⑤若a=3,贝I/=3/；⑥若-a=-h,则a=6；⑦若（〃/+l）a=（nr+\）b,贝l]a=b；

cc

（©若“=6，则4-3=3—6;⑨若|a|=|匕I，贝=⑩若a=6,则

16.作一个关于y的一元一次方程，使其解为y=3,这个方程可为一.

17.某数的7倍比某数大5.设某数为x,根据题意列出方程：—.

三、解答题（共8小题）

18.（2021秋•任城区校级期末）[现场学习1

定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”.

如：|止2,|2x-l|=3,|匕|-*=2,…都是含有绝对值的方程.

2

怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程一不含有绝对值的方程.

我们知道，根据绝对值的意义，由|x|=2,可得x=2或x=-2.

［例］解方程：|2x-l|=3.

我们只要把2x-l看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.

解：根据绝对值的意义，得2%-1=3或2x-l=.

解这两个一元一次方程，得x=2或x=-1；

经检验可知，原方程的解是x=2或x=-l.

［解决问题］

解方程：|^一-1-%=2.

2

解：根据绝对值的意义，得

X—1—p.X—1

=或=,

2----------2

解这两个一元一次方程，得》=—或*=一,

经检验可知，原方程的解是—.

［学以致用］

解方程：12x+l|=|5x-6|.

19.（2021秋•平昌县期末）己知方程（1-机2*-（加+1）%+8=0是关于x的一元一次方程.

（1）求，”的值及方程的解.

（2）求代数式5--2（刀加+2尤2）-3（3,〃+2）的值.

20.（2021秋•洛阳期末）如果关于x的方程4x-（3a+l）=6x+2a-l的解与方程

±W_8=-9的解相同，求字母〃的值.

32

21.（2021秋•兰州期末）a为何值时，方程3（5%-6）=3-20x的解也是方程a--x=2a+10x

3

的解？

22.（2021秋•淮北月考）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车

型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示.（假设每辆车均满载）

车型甲乙丙

运载量（吨/辆）5810

运费（元/辆）450600700

解答下列问题:

（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车辆可将全部物资一次运完;

（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆？

（3）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各

需多少辆？此时总运费为多少元？

23.（2021秋•怀柔区期末）（1）用方程解答：x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差，求

X・

将下列解答过程补充完整：

列方程为：—;

解方程，移项：—（依据—）;

移项的目的：;

解得：—.

（2）小刚解方程版+七1=3-1（2》-1）去分母时出现了错误，请你能帮他改正，解答下列

23

问题.

解：去分母，得6x+3x-l=9-2（2x-l）；

改为：，（依据）;

去括号，得—，（依据—）；

解得：—.

24.（2021秋•花都区期末）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门

票价为每人20元，由各班班长负责买票.下面是1班班长与售票员咨询的对话：

你好！购票人数超过40人的团

票，有两种优惠方案：

你好！我们每个班的方案一：若每人都购票，每张门

学生人数都超过40票打8折；

人，请问购买团队票方案二：若打9折，有7人可免票

有优惠吗？

（1）1班学生人数为44,选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？

（2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？

（3）3班的学生人数为4（。＞40）,如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种

最实惠的购票方案，并说明理由.

25.（2021秋•巴南区期末）解下列方程:

(1)4x+l=—5x+10；

2x-l1—3xx+2

(2)------1-----

236

2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1.（2021秋•渝中区校级期末）下列选项是一元一次方程的是（）

A.x+2y=0B.3x+1C.3x2+1=0D.2x=1

【答案】D

【考点】一元一次方程的定义

【专题】符号意识；一次方程（组）及应用

【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1,这样

的方程叫一元一次方程，据此即可判断.

【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，选项错误；

5、不是方程，则不是一元一次方程，选项错误.

C、x的次数是2,不是一元一次方程，选项错误；

是一元一次方程，选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法.一元一次方程的未知数的指数为1.

2.（2021秋•顺义区期末）下列变形中，正确的是（）

A.若a=b,则1=B.若a—6+1=0,则a=Z;+l

C.若a=b,则@=2D.若且=2,则4=人

xx33

【答案】D

【考点】等式的性质

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力

【分析】根据等式的性质逐个判断即可.

【解答】解：A.若a=b,则a+l=b+l,故错误，本选项不符合题意；

B.若〃-6+1=0,则a=b—l,故错误，本选项不符合题意；

C.当xwO时，若a=。，则4=故错误，本选项不符合题意；

XX

D.若巴=2,则。=力，故正确，本选项符合题意.

33

故选：D.

【点评】本题考查了等式的性质，能熟记知识点是解此题的关键，注意：等式的性质是：①

等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等

式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立.

3.（2021秋•沙坪坝区校级期末）己知关于x的方程ov=8-3x的解是x=2,则。的值为（

）

2S

A.1B.-C.-D.-2

32

【答案】A

【考点】一元一次方程的解

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力

【分析】把x=2代入方程6=8-3x得出24=8-6,再求出方程的解即可.

【解答】解：把x=2代入方程or=8-3x得：2a=8-6,

解得：a=1>

故选：A.

【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于”的一元一次方程是

解此题的关键.

4.（2021秋•宁波期末）甲、乙两运动员在长为100,”的直道AB（A,B为直道两端点）上

进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达3点后，立即转身跑向A点，到达A点

后，又立即转身跑向5点…若甲跑步的速度为5〃?/s,乙跑步的速度为4m/s,则起跑后2

分钟内，两人相遇的次数为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

【考点】一元一次方程的应用

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识

【分析】利用时间=路程+两人的速度之和可求出两人每隔也*5相遇一次，设两人相遇

5+4

的次数为x,由运动的总时间为2分钟，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x

的值，再结合x为整数，即可得出两人相遇的次数为5.

【解答】解：设两人相遇的次数为X,

依题意得：也0x=60x2,

5+4

解得：x=—.

5

又・・・x为整数，

二x取5.

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

5.（2021秋•建宁县期末）下面各组数值中，二元一次方程2x+y=10的解是（）

[x=-2[x=6fx=4fx=-3

A.4B.4C.4D.（

[y=6[y=-2[y=3[y=4

【答案】B

【考点】二元一次方程的解

【专题】运算能力；一次方程（组）及应用

【分析】把各选项的值代入方程验算即可.

【解答】解：A选项，2x+y=-4+6=2xl0,故该选项不符合题意；

8选项，2x+y=12-2=10,故该选项符合题意；

C选项，2x+y=8+3=llwl0,故该选项不符合题意；

。选项，2x+y=-6+4=-2H10,故该选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二元一次方程的解，把各选项的值代入方程验算是解题的关键.

6.（2021秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（）

A.5x+4B.3x-5<7C.x-2=6D.3x2-l=5

【答案】C

【考点】有理数的混合运算；方程的定义

【专题】运算能力；一次方程（组）及应用

【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，判断即可.

【解答】解：A5x+4,不是方程，故A不符合题意；

B3x-5<7是一元一次不等式，故8不符合题意，

C.x-2=6,是方程，故C符合题意；

£).3x2-l=5,不是方程，故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键.

7.(2021•张家界模拟)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“只闻隔壁客

分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.借问各位能算者，多少客人在

分银？”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则

还差半斤.问参与分银有多少人？(注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语).若

设有x人分银子，依据题意所列方程正确的是()

A.7x-4=9x+8B.7x+4=9x-8

C.7(X-4)=9(X+8)D.7(X+4)=9(X-8)

【答案】B

【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程

【专题】一次方程(组)及应用；和差倍关系问题；应用意识

【分析】设有x人分银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差

半斤(八两”'，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

【解答】解：设有X人分银子，

依题意，得：7x+4=9x-8.

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列

出一元一次方程是解题的关键.

8.(2021秋•韶关期末)下列变形正确的是()

A.由去分母，得5(x-5)—l=3(2x+l)

B.由3(2x-l)-2(x+5)=4去括号，得6x-3-2x+10=4

C.由-6x-l=2x移项，得-6x-2x=l

D.由2x=3系数化为1,得x=2

3

【答案】C

【考点】解一元一次方程；等式的性质

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力

【分析】A、方程去分母得到结果，即可作出判断；

3、方程去括号得到结果，即可作出判断；

C、方程移项得到结果，即可作出判断；

D、方程x系数化为1,即可作出判断.

【解答】解：A、由土炉一1=生里，去分母得：5(x-5)-15=3(2x+l),不符合题意；

35

B、由3(2x-l)-2(x+5)=4,去括号得：6x-3-2x-10=4,不符合题意；

C、由-6x-l=2x,移项得：-6x-2x=l,符合题意；

D、由2x=3,系数化为1,得：x=3,不符合题意.

2

故选：C.

【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解方程的步骤是解本题的

关键.

9.若关于x的方程3x+2m=1的解与方程-2x7=5的解相同，则机的值为()

A.5B.-4C.-5D.4

【答案】A

【考点】同解方程

【专题】运算能力；一次方程(组)及应用

【分析】先求出第二个方程的解是x=-3,把x=-3代入第一个方程，再求出机即可.

【解答】解：解方程一2》一1=5得：x=-3,

•.•关于x的方程3x+2帆=1的解与方程-2x-1=5的解相同，

/.把x=—3代入方程3x+2〃z=l得：-9+2/77=1，

解得：m=5)

故选：A.

【点评】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于小的一元一次方程是解此题

的关键.

10.在下列方程中是二元一次方程的为()

A.x+-=lB.10x-6=12C.a2+b=\D.8y_6x=19

y

【答案】D

【考点】二元一次方程的定义

【专题】一次方程(组)及应用；符号意识

【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案.含有两个未知数，并且含有未知数的项的

次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程.

【解答】解：A.该方程不是整式方程，故不符合题意；

B.该方程是一元一次方程，故不符合题意；

C.该方程符合二元二次方程的定义，故不符合题意；

D.该方程是二元一次方程，故符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题

属于基础题型.

二、填空题（共7小题）

11.（2021秋•遵化市期末）已知3x+2与3（x+2）的值互为相反数，则x=_-g一

【答案】-上

3

【考点】代数式求值；解一元一次方程

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力

【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解得到x的值即可.

【解答】解：根据题意得：3x+2+3（x+2）=0,

解得：x=--.

3

故答案为：.

3

【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系

数化为1,求出解.

12.（2021秋•岳阳期末）已知关于x的方程,nr+3=2的解满足|x-2|=0,则机的值是

2-

【答案】

2

【考点】含绝对值符号的一元一次方程

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力

【分析】解|x-21=0得至x=2,把x=2代入znr+3=2即可得到，"的值.

【解答】解：•."-2|=0,

x—2=0,

/.x=2,

把x=2代入皿+3=2得2〃?+3=2,

故答案为：--.

2

【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，掌握。的绝对值是0是解题的关键.

13.(2021秋•玉门市期末)若方程方-2)产t+7=0是关于x的一元一次方程,则:的值等

于2_・

【答案】—2.

【考点】一元一次方程的定义；绝对值

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力

【分析】依据一元一次方程的定义得到后-2*0,=1,从而可求得&的取值.

【解答】解：•.•方程(％-2)/z+7=0是关于x的一元一次方程，

解得：k=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键.

14.(2021秋•渠县期末)已知关于x的方程5x-2=3x+16的解与方程4a+l=4(x+a)-5a的

解相同，则。=7.

【答案】7.

【考点】同解方程

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力

【分析】先求出第二个方程的解是x=9,把x=9代入第一个方程，即可求出a的值.

【解答】解：解方程5x-2=3x+16,得x=9,

关于x的方程5x-2=3x+16的解与方程4a+l=4(x+a)—5a的解相同，

4a+1=4(x+a)-5a的解也是x=9,

，4a+l=4(9+4)-5a,

解得：a=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于

a的方程44+1=4（9+a）-5a是解此题的关键.

15.下列运用等式性质正确的是③⑤⑥⑦⑩（填序号）

①若”=8，则a+c=6-c;②若ac=be,则a=6;③若@=则“=/?；④若a=6,则

CC

4=与；⑤若a=3,则/=3/；⑥若一“=则a=b；⑦若（加+l）a=（济+1）6,则““；

CC

⑧若。=人，则4—3=3—Z?；⑨若|a|=|b|,贝!Ja=〃；⑩若口=人，则。、乩

【答案】③⑤⑥⑦⑩.

【考点】等式的性质；有理数的乘方；绝对值

【专题】整式；运算能力

【分析】根据等式的基本性质，绝对值，有理数的乘方运算法则逐一判断即可.

【解答】解：①若a=b,则a+c="+c,故①错误；

②若ac=bc,则a=b（cwO）,故②错误；

③若则。=人，故③正确；

CC

④若a=。，则q=4（-0）,故④错误；

c2-c

⑤若a=3,则〃=3/，故⑤正确：

⑥若-a=-6,则a=b,故⑥正确；

⑦若（疗+1）。=（病+1）6,则a=b,故⑦正确;

⑧若a=6,则a-3=6-3,故⑧错误；

⑨若|a|=|6|,则a=±Z;,故⑨错误；

⑩若“=6,则故⑩正确；

所以，上列运用等式性质正确的是：③⑤⑥⑦⑩，

故答案为：③⑤⑥⑦⑩.

【点评】本题考查了等式的性质，绝对值，有理数的乘方，熟练掌握等式的基本性质，绝对

值的意义，有理数的乘方运算法则是解题的关键.

16.作一个关于y的一元一次方程，使其解为y=3,这个方程可为丫-1=2（答案不唯

一）.

【答案】y-l=2（答案不唯一）.

【考点】一元一次方程的解

【专题】一次方程（组）及应用；数感

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据一元一次方程的定义和一元一次方程

的解的定义得出一个方程即可.

【解答】解：方程为y-l=2,

故答案为：y-\=2（答案不唯一）.

【点评】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解的定义，能熟记一元一次方程

的定义是解此题的关犍.

17.某数的7倍比某数大5.设某数为x,根据题意列出方程：_7x-x=5_.

【答案】lx—x=5.

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程

【专题】应用意识；一次方程（组）及应用

【分析】根据题目中叙述的等量关系，列出方程即可.

【解答】解：设某数为X,

根据题意列出方程：7x-x=5,

故答案为：7x—x=5.

【点评】本题考查了由实际问题抽象一元一次方程的知识，找到等量关系是解题关键.

三、解答题（共8小题）

18.（2021秋•任城区校级期末）［现场学习］

定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”.

如：|x|=2,|2x-l|=3,|六口|—x=2,…都是含有绝对值的方程.

2

怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程一不含有绝对值的方程.

我们知道，根据绝对值的意义，由|x|=2,可得x=2或x=-2.

［例］解方程:12x—l|=3.

我们只要把2x-l看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.

解：根据绝对值的意义，得”-1=3或2%-1=_-3_.

解这两个一元一次方程，得x=2或x=-l；

经检验可知，原方程的解是x=2或x=-l.

［解决问题］

解方程：|三口|—=2.

2

解：根据绝对值的意义，得

X—1-p.X—1

=或=,

2----------2

解这两个一元一次方程，得尤=—或8=一,

经检验可知，原方程的解是—.

［学以致用］

解方程：|2x+l|=|5x-6|.

【答案】［解决问题］2+x,-2-x,-5,-1,x=-5或x=-l;［学以致用］》='7或》=一S.

37

【考点】含绝对值符号的一元一次方程

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力

【分析】［解决问题］根据绝对值的性质可得3-x=2或-3-x=2,求解x即可；

22

［学以致用］根据绝对值的意义，得2x+l=5x—6或2x+l=—5x+6,求解x即可.

【解答】解：［解决问题］

根据绝对值的意义，得±1-》=2或-士l-x=2,

22

x-1_x—1.

/.----=2+x----=12-x9

22

解这两个一元一次方程，得》=-5或x=-l,

经检验可知，原方程的解是x=-5或x=-l;

故答案为：2+x,—2—Xf—5,—1,x=—5或x=—1；

［学以致用］

|2x+l|=|5x-6|,

根据绝对值的意义，得2x+l=5x—6或2x+l=—5x+6,

解这两个一元一次方程，得x=N或x=*,

37

经检验可知，原方程的解是x=N或x=*.

37

【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的意义，一元一次方程的

解法是解题的关键.

19.（2021秋•平昌县期末）已知方程（1-/帚-（m+l）x+8=0是关于x的一元一次方程.

（1）求机的值及方程的解.

(2)求代数式5x?-2(x,〃+2x2)-3(gx"2+2)的值.

【答案】(1)m=\!x=4；

(2)-2.

【考点】一元一次方程的定义：整式的加减

【专题】一次方程(组)及应用；整式；运算能力

【分析】(1)根据一元一次方程的定义得到1-京=。且_(a+1)工0,解得%=1,再解原方

程得到x=4；

(2)把代数式化简得到原式=f-3x-6,然后把x=4代入计算即可.

【解答】解：⑴■方程(1-裙*一(/7?+1)》+8=0是关于x的一元一次方程，

.-A-m2=0且-(利+1)#0,

/.m=l,

原一元一次方程化为：-2x+8=0,解得x=4；

(2)5x?-+2£)-3(gx%+2)

=5A*--2x—4.v~-x—6

=x2-3x-6,

当x=4时，原式=4?-4x3-6=-2,

即代数式5x?-2(入M+2/)-3(gx〃?+2)的值是一2.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义和整式的加减.解题的关键是掌握一元一次方

程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

20.(2021秋•洛阳期末)如果关于x的方程4x-(3a+l)=6x+2a-l的解与方程

1_8=-3的解相同，求字母。的值.

32

【答案】-4.

【考点】同解方程

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力

【分析】分别求解两个方程，再由同解方程可得-»a=10,即可求“的值.

2

【解答】解：4x-(3a+\)=6x+2a-1,

4x—3a—l=6x+2a—1,

-2x=5a，

5

x=——a，

2

x-4x+2

----------8=----------,

32

2(x—4)—48=—3(%+2),

2x-8-48=-3x-6,

5元=50,

x=10,

・・,两个方程的解相同，

—ci=10,

2

=-4.

【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定义

是解题的关键.

21.(2021秋•兰州期末)a为何值时，方程3(5x-6)=3-20x的解也是方程a-¥x=2a+1Ox

的解？

【答案】-8.

【考点】一元一次方程的解

【专题】运算能力；一次方程(组)及应用

【分析】先解方程3(5x—6)=3-20x得至=再把x=3代入方程a-?x=2a+10x得至U

关于a的一元一次方程，然后解此方程即可.

【解答】解：解方程3(5x-6)=3-20x得x=1,

310

将x=一代入a---x=2a+10x,得a-2=2a+6.

53

解得a=-8.

【点评】本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程.

22.(2021秋•淮北月考)运输公司要把120吨物资从A地运往3地，有甲、乙、丙三种车

型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示.(假设每辆车均满载)

车型甲乙丙

运载量(吨/辆)5810

运费(元/辆)450600700

解答下列问题：

(1)安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆可将全部物资一次运完:

(2)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆？

(3)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各

需多少辆？此时总运费为多少元？

【答案】(1)4辆；

(2)甲8辆，乙10辆；

(3)三种型号的车各需2辆，5辆，7辆，此时总运费为8800元.

【考点】二元一次方程的应用

【专题】一元二次方程及应用；应用题；运算能力

【分析】(1)设丙型车机辆可将全部物资一次运完，根据题意列出方程，求出方程的解即

可得到结果；

(2)设甲、乙型车各需a辆，。辆，根据物资共120吨，运费共9600元列出方程组，求出

方程组的解即可得到结果；

(3)设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆，根据总辆数14和总吨数列出方程组，根据x,

y,z都为正整数确定出值，进而求出总运费即可.

【解答】解：(1)设丙型车x辆可将全部物资一次运完，

根据题意得：5x8+8x5+10m=120,

解得：%=4,

则丙型车4辆可将全部物资一次运完；

故答案为：4；

(2)设甲、乙型车各需a辆，b辆,

根据题意得：产+昉=120①

[450〃+600〃=9600②

〃=8

解得:

b=10

则甲、乙型车各需8辆，10辆；

(3)设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆,

x+y+z=14

根据题意得:

5x+8y+10z=120

消去x得：3y+5z=50,

x,y,z取正整数，

.'.x=2,y=5,z=7,

此时总运费为450x2+600x5+700x7=900+3000+4900=8800（元），

则三种型号的车各需2辆，5辆，7辆，此时总运费为8800元.

【点评】此题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应

用，弄清题意是解本题的关键.

23.（2021秋•怀柔区期末）（1）用方程解答：x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差，求

x.

将下列解答过程补充完整：

歹I」方程为：_5x+2=3x-4_；

解方程，移项：—（依据—）;

移项的目的：—:

解得：—.

（2）小刚解方程31+土」=3（2x-l）去分母时出现了错误，请你能帮他改正，解答下列

23

问题.

解：去分母，得6x+3x-l=9-2（21）；

改为：,（依据）;

去括号，得—，（依据—）;

解得：-.

【答案】（1）5x+2=3x-4;5x—3x=Y-2；等式的性质1；通过移项，把未知项移到方

程的一边，已知项移项到方程的另一边，为合并同类项做准备；x=-3;

（2）18x+3（x-l）=18-2（2x-l）;等式的性质2；18x+3x-3=18-4x+2；乘法分配律；

23

X=­•

25

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程

【专题】推理能力；一次方程（组）及应用

【分析】（1）直接利用倍数关系以及和差关系得出方程即可，再解方程得出答案；

(2)直接利用一元一次方程的解法解方程得出答案.

【解答】解：(1)列方程为：5x+2=3x—4,

解方程，移项：5x-3x=-4-2(依据等式的性质1),

移项的目的：通过移项，把未知项移到方程的一边，已知项移项到方程的另一边，为合并同

类项做准备，

解得：x=-3；

(2)改为：18x+3(x-l)=18-2(2x-l)(等式的性质2),

去括号，得18x+3x-3=18-4x+2(乘法分配律)，

解得：x=—.

25

故答案为：(1)5x+2=3x-4；5x_3x=Y—2;等式的性质1;通过移项，把未知项移到

方程的一边，已知项移项到方程的另一边，为合并同类项做准备；x=-3;

(2)18x+3(x-l)=18-2(2x-l)；等式的性质2；l8x+3x-3=18-4x+2；乘法分配律；

23

X=­•

25

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及一元一次方程的解法，正确得

出等量关系是解题关键.

24.(2021秋•花都区期末)七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门

票价为每人20元，由各班班长负责买票.下面是1班班长与售票员咨询的对话：

你好！购票人数超过40人的团心

票，有两种优惠方案：

你好！我们每个班的方案一：若每人都购票，每张门

学生人数都超过40票打8折；

人，请问购买团队票方案二：若打9折，有7人可免票

有优惠吗？

(1)1班学生人数为44,选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？

(2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？

(3)3班的学生人数为“(a>40),如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种

最实惠的购票方案，并说明理由.

【答案】（I）704元；（2）46人；（3）方案二.

【考点】一元一次方程的应用

【专题】运算能力；优选方案问题；一次方程（组）及应用

【分析】（1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可；

（2）设2班有x人，列方程20（x-7）x09=702,求解即可得到答案；

（3）设3班有“人，由题意得20（4-7）*0.9=20ax0.8,得a=63,当班级人数为63人时，

两种方案费用相等，结合（1）（2）即可得到按照方案二购票更省钱.

【解答】解：（1）44x20x0.8=704（元），

答：1班购票需要704元；

（2）设2班有x人，由题意得20（x-7）x0.9=702,

解得x=46,

答：2班有46人；

（3）选择方案二购票更省钱，理由如下：

设3班有a人,由题意得20（。一7）x0.9=20ax0.8,

解得a=63,

・•・当班级人数为63人时，两种方案费用相等，

由（1）（2）可知，当班级44人时，按照方案一购票的费用高于班级46人的方案二购票的

费用，

.•.3班应选择方案二购票更省钱.

【点评】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找

准题目间等量关系是解题的关键.

25.（2021秋•巴南区期末）解下列方程：

（1）4x+l=-5x+10:

,八,2x-l1-3xx+2

236

【答案】（1）x=l；

（2）x=5.

【考点】解一元一次方程

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力

【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；

(2)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可.

【解答】解：(1)4x+l=-5x+10,

移项，得4x+5x=10-l,

合并同类项，得9x=9,

系数化成1,得x=l;

/八.2x-l1-3xx+2

(2)1-----=----+----

236

去分母，得6—3(2x—l)=2(l-3x)+(x+2),

去括号，得6—6x+3=2—6x+x+2,

移项，得-6x+6x—*=2+2—6—3,

合并同类项，得-x=-5,

系数化成1，得x=5.

【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键.

考点卡片

1.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数“绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零.

即|a|={〃(a>0)0(a=0)-a(a<0)

2.有理数的乘方

(1)有理数乘方的定义：求"个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做幕，在,中，。叫做底数，〃叫做指数./读作。的〃次方.(将/看作是

。的“次方的结果时，也可以读作。的〃次幕.)

(2)乘方的法则：正数的任何次幕都是正数；负数的奇次'幕是负数，负数的偶次基是正数;

。的任何正整数次事都是0.

(3)方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定募的符号，然后再计算幕的

绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除,

最后做加减.

指数

3.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通

常将小数转化为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的

两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

4.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

5.代数式求值

(1)代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.

(2)代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要

先化简再求值.

题型简单总结以下三种：

①已知条件不化简，所给代数式化简；

②已知条件化简，所给代数式不化简；

③己知条件和所给代数式都要化简.

6.整式的加减

(1)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接：然后去括号、

合并同类项.

(2)整式的加减实质上就是合并同类项.

(3)整式加减的应用：

①认真审题，弄清已知和未知的关系；

②根据题意列出算式；

③计算结果，根据结果解答实际问题.

【规律方法】整式的加减步骤及注意问题

1.整式的加减的实质就是去括号、合并同类项.一般步骤是：先去括号，然后合并同类项.

2.去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号

外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号.

7.方程的定义

（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程.

方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式;②含有未知数.

（2）列方程的步骤：

①设出字母所表示的未知数；

②找出问题中的相等关系；

③列出含有未知数的等式-------方程.

8.等式的性质

（1）等式的性质

性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；

性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.

（2）利用等式的性质解方程

利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形