2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）（3月份）（学生版+解析版）

2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）（3月

份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）已知A={-1,0,1,3,5},B={x|x（x-4）<0},则4nB=（）

A.{0,1}B.{-1,I,3}C.{0,1,3}D.{1,3}

2.（5分）命题“VxeR,的否定是（）

A.VxeR,7<0B.VxGR,fWO

C.3xo6R,xo2<OD.3xoGR,xo2^O

3.（5分）函数/（x）=sin2x+Wcos2r的最小正周期和最大值分别为（）

A.ir和2B.TT和1+火C.2TT和2D.如和1+8

x+y<3

4.（5分）若实数x,y满足约束条件y-xN1,则z=2x+）'的最大值为（）

,%>0

A.1B.3C.4D.6

X，

5.（5分）已知小尸2为椭圆「：工+）2=1的左、右焦点，M为「上的点，则博下忆

面积的最大值为（）

A.V3B.2C.2V3D.4

6.（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设/为地震时所释放出的能量，则里氏震

级r可定义为=加+3.2.若/=1.2X1（）4,则相应的震级为（）（己知：k2=0.3010,

3=0.4771）

A.5.8B.5.9C.6.0D.6.1

7.（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A.20TCB.247rC.28nD.32TT

——ABADAC—

8.（5分）已知4B=DC=（1,V3）,且-+t=,则14cl=（）

\AB\\AD\\AC\

A.2B.2V2C.2V3D.4

9.（5分）在复平面X。），内，复数zi,Z2所对应的点分别为Zi,Z2,给出下列四个式子：

①Z12=|zi『；

②|Z1・Z2|=|Z1|・|Z2|；

③OZJ=|OZ」|；

④应1•应2|=应11•应J

其中恒成立的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

10.（5分）若无穷等差数列｛“”｝的首项mVO,公差d>0,｛“”｝的前〃项和为S”则以下结

论中一定正确的是（）

A.S单调递增B.S单调递减C.S”有最小值D.S”有最大值

11.（5分）已知直线“、b、/和平面a、p,aua,ftcp,aAp=/,且a_L0.对于以下命题，

下列判断正确的是（）

①若a、。异面，则。、匕至少有一个与/相交；

②若“、6垂直，则“、6至少有一个与/垂直.

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①是假命题，②是假命题D.①是真命题，②是真命题

12.（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足：/（x）+g（x）=2，.若

存在实数a,使得关于x的不等式3矿（x）-a）（g（x）-a）WO在区间［1,2］上恒成

立，则正整数n的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知一组数据a,1,3,7的中位数为4,则该组数据的方差为.

14.（5分）学号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九位同学参加甲、乙两项公益活动，

其中甲组四人，乙组五人，则1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率为.

15.（5分）已知抛物线「：”2px（p>0）的焦点为凡斜率为1的直线/与抛物线「相

交于A、B两点，若|A仪=3,\BF]=5,则|AB|=.

16.(5分)已知函数+\x+a\+b.若函数/(x)在(-8,o)上存在两个不相等

的零点，则实数。的取值范围是.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步臻.

17.(12分)已知数列｛板｝的前"项和为S”。2=4,且对任意"6N*,都有S”+1-2S”=2.

(1)求数列｛曲｝的通项公式;

(2)设历尸言，求数列｛为｝的前”项和乙.

18.(12分)“双减”实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每

周的自主学习时间(单位：小时)，并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围

是[7,12],样本数据分组为[7,8),[8,9),[9,10),[10.11),[11,12].根据直方图，

计算下列问题.

(1)求。的值及自主学习时间在[9,10)内的学生人数；

(2)从这200名学生中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在[8,11)内为事件

A,所抽取学生自主学习时间在[10,12]内为事件8,判断事件4和8是否互相独立，并

说明理由.

19.（12分）在三棱锥O-ABC中，AD1CD,ADVBC,ACA.BC,AD=CD,AC=BC=2.

(1)求三棱锥£>-A8C的体积；

(2)求异面直线AC与8。所成角的大小.

D

……k__._XC

B

x2y2

20.(12分)已知双曲线r：-7-77=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为4(7,0)、

a2b2

A2(L0),离心率为2,过点尸(2,0)斜率不为0的直线/与「交于P、Q两点.

(1)求双曲线「的渐近线方程；

k

(2)记直线AiP、A2Q的斜率分别为％,幻，求证：U为定值.

左2

21.(12分)已知函数/(x)—lnx+a.

(1)若曲线)，=/(x)在(1,/(D)处的切线经过点(0,1),求实数a的值；

(2)若对任意(0,+8),都有"一。可(》)(e为自然对数的底)，求证：aWl.

22.(10分)已知函数/(X)=|2x-4|+|/+a|(xGR).

(1)若a=l,求证：f(x)24；

(2)若对于任意尤41,2],都有/(x)W4,求实数”的取值范围.

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参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知A={-1,0,1,3,5},B=[x\x(x-4)<0},则AGB=()

A.{0,1}B.{-1,1,3}C.{0,1,3}D.{1,3}

【解答】解：・・・A={-1,0,1,3,5),

B={x\x(x-4)<0}={x|0<x<4},

・・・AG8={1,3}.

故选：D.

2.(5分)命题uVxGR,x22。”的否定是()

A.V.rER,/〈OB.VAGR,

C.3xoGR,XO2<OD.R,x()22。

【解答】解:根据特称命题的否定为全称命题可知：命题，成R,/20”的否定是FXOWR,

xo2<O"，

故选：C.

3.（5分）函数/G）=sin2x+gcos2无的最小正周期和最大值分别为（）

A.IT和2B.it和1+国C.2n和2D.2n和1+百

【解答】解：f（x）=sin2x+V3cos2x=2sin⑵+5）的最小正周期T=ii,最大值为2.

故选：A.

%+y<3

4.（5分）若实数x,y满足约束条件y—1,则z=2x+y的最大值为（）

%>0

A.1B.3C.4D.6

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直线y=-2x+z,由图象知当直线y=-2x+z,经过点A时，直线y=-2x+z的截距

最大，此时z最大,

<?：：得仁3即AO,

此时z=2x+y=2+2=4,

即z的最大值为4,

故选：C.

5.（5分）已知尸1、尸2为椭圆「：一+）2=1的左、右焦点，M为「上的点，则尸2

4

面积的最大值为（）

A.V3B.2C.2V3D.4

%2

【解答】解:椭圆「:—+y2=l,

可得a=2,b=l,c=V3,

-1-1

可得△F1MF2的面积的最大值为S=X2V3X1=V3,

故选：A.

6.（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设/为地震时所释放出的能量，则里氏震

级r可定义为片当g/+3.2.若/=1.2X104,则相应的震级为（）（已知：/g2=0.3010,

/g3=0.477D

A.5.8B.5.9C.6.0D.6.1

【解答】解:当/=1.2X1（）4时，

厂=|/g/+3.2=|/g（1.2X104）+3.2

=^lg（12X103）+3.2

2

1(2/g2+/g3+3)+3.2

2

(0.6020+0.4771+3)+3.2

=2.6694+3.2心5.9；

故选：B.

7.(5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()

B.24nC.28TTD.32Tt

【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，

上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2百，

...在轴截面中圆锥的母线长是“I不彳=4,

...圆锥的侧面积是irX2X4=8n,

下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,

二圆柱表现出来的表面积是nX22+2nX2X4=2(hr

...空间组合体的表面积是28TT,

故选：C.

TTT

——ABADAC—

8.(5分)己知4B=DC=(1,V3),且一'h+->=rr-,则|AC|=()

\AB\\AD\\AC\

A.2B.2V2C.2V3D.4

【解答】解：如图示：

"：AB=辰=(1,V3),

四边形A8C。是平行四边形,

ABADAC

又r-+r-=

\AB\\AD\\AC\

：.ZDAB=\20°,且四边形ABC。是菱形,

...△A8C是等边三角形，

：.\AC\^\AB\=y/T+3=2,

9.(5分)在复平面xOy内，复数zi,Z2所对应的点分别为Zi,Z2,给出下列四个式子：

①Z12=|zi『；

②|ZI・Z2|=|ZI|TZ2|；

TT

③ozJ=iozJi；

④|。口・。521=1。?1|・|。/1・

其中恒成立的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：设zi=a+bi,Z2=c+di,(a,b,c,d£R),

则Zi=(a,b),Z2(c,d),OZ】=(a,b),0Z2=(c,d),

对于①z/=〃2-g-labi,|zi|2：=tz2+/72,故①不正确；

对于②zi・z2=(ac-bd)+(bc+ad)i,则|zi・z2『=(ac-)2+(bc+ad)2=t/2c2+tz26f2+/?2c2+/?2J2,

|z2|2=c2+t/2,则|ZI|2・|Z2『=Ca2+h2)(J+/)=«2c2+d!2J2+Z?2c2+/?2t/2,则|zi・z2|=|zi|,|z2|,

故②正确；

22

对于③OZ/=|OZ1|=a+/?=|。2|2,故③正确；

22222

对于④0/。》2=ac+bd,^]\OZ^OZ2\=y/^ac+bd),\OZ^\OZy\=Va+6«Vc+d丰

Q(ac+bd)2,故④错误.

故选：B.

10.(5分)若无穷等差数列｛的｝的首项ai<0,公差d>0,｛“”｝的前”项和为S”则以下结

论中一定正确的是()

A.S”单调递增B.S,单调递减C.S有最小值D.%有最大值

【解答】解：S"=〃m+M：2/=号〃2+@—务”,

>0,;.s”有最小值.

故选：c.

11.(5分)已知直线a、b、/和平面a、0,aua,bu0,aC0=/,且&_1_d对于以下命题，

下列判断正确的是()

①若4、。异面，则4、8至少有一个与/相交；

②若4、b垂直，则4、人至少有一个与/垂直.

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①是假命题，②是假命题D.①是真命题，②是真命题

【解答】解：对于①，若a,b都不与交线相交，

则只有一种可能，即“，人均平行于交线，

.,.若a、b异面,则a、6至少有一个与/相交，故①正确；

对于②，根据面面垂直的性质定理得：

若“，b垂直，则aJ_0,或6_1_0(,故a、6至少有一个与/垂直，

••・若。、b垂直，则人人至少有一个与/垂直，故②正确.

故选：D.

12.(5分)己知定义域为R的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足：/(x)+g(x)=2七若

存在实数a,使得关于x的不等式(W(x)-a)(g(x)-a)W0在区间[1,2]上恒成

立，则正整数”的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由题设，/(-x)+g(-x)—f(x)-g(x)—2'x,又/(x)+g(x)=

2X,

联立可得/(x)=2厂】+2一=1,g(x)=2厂1-2一厂1,

又f(x)2*1=1,当且仅当x=0时等号成立，

即/(x)在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增，

517

所以，在[1,2]±/(%)e[-,—],

315

而g(x)=2厂1-2*1在[1,2]上递增，故g(x)&[-,—],

48

若则”三公弟且〃为正整数，只需“22即可.

lg(x)<a84

若则=且N为正整数，不成立；

lg(x)>a84

综上，正整数〃的最小值为2.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知一组数据a,1,3,7的中位数为4,则该组数据的方差为5.

【解答】解：由数据小1,3,7的中位数为4,则a>3,

3+7

若a》7,则这组数据的中位数为5,不符合题意，

所以3<a<7,

则这组数据的中位数为等=4,解得〃=5,

1+3+5+7

这组数据的平均数为---------=4,

4

故这组数据的方差为s2=iX[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.

故答案为：5.

14.(5分)学号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九位同学参加甲、乙两项公益活动，

4

其中甲组四人，乙组五人，则1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率为一

【解答】解：1号同学和9号同学恰好分在同一组的选法为：C打仔+C弘的=56,

甲组四人，乙组五人的分法共有以=126种，

则1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率=黑=不

4

故答案为：--

15.(5分)已知抛物线「：/=2px(p>0)的焦点为凡斜率为1的直线/与抛物线「相

交于A、B两点，若|AM=3,\BF]^5,则依8|=」夜_.

【解答】解：作A4',89分别垂直于准线与B'煎,由抛物线的性质可得14rl=3用,

过A作于D点，则|3£>|=由砌-|AA|=5-3=2,直线AB的斜率为1,则|AB|=

近\BD\=2近,,

故答案为：2位.

16.(5分)已知函数F(x)=1+\x+a\+h.若函数/(x)在(-8,0)上存在两个不相等

的零点，则实数〃的取值范围是(1,+8).

【解答】解：若/(x)=[+\x+a\+b在(-8,0)上有两个不同的零点，

即以+3=-1一〃在(-8,0)上存在2个不同的交点，

(1)当。<0时，如图1,|x+a|=一匕仅有1个交点，不满足题意；

(2)当“>0且-a在点尸左侧时，如图2,仅有1个交点，不满足题意；

(3)当“>0且一9一〃在x=-a处的切线斜左》1时，如图3,仅有一个交点，

令g(x)=—g'(x)=+，所以当x=-1时，g'(-1)=1,即-心-1,

求得aWl,不满足题意；

(4)当“>0且一：一6在x=-a处的切线斜率上<1时，如图4,方程即可能存在2个

交点，满足题意，且由(3)知g'(-1)=1,此时-a<-1,BPa>\；

综上可得a的取值范围为(1,+8).

(1)(2)

故答案为：（1,+8）.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步臻.

17.（12分）已知数列｛祈｝的前〃项和为S,42=4,且对任意"6N*,都有S"+i-2Sa=2.

（1）求数列｛反｝的通项公式；

（2）设力尸会求数列出"｝的前〃项和刀八

【解答】解：（1）因为52-251=2,所以“2-m=2,

因为。2=4,所以41=2,

当"22时，S〃-2S〃-1=2,S〃+i-2S〃=2,

两式相减得，。〃+1=2劭，

因为ai=2a\,

所以对任意都有的+i=2a〃，

即数列｛板｝为等比数列，首项为2,公比为2,

所以Qn=2，?2€N*）.

（2）由题可得由=去，

・・/九=芯+京+…7p

zz乙

2〃=1+2+7+…+券

两式相减得,Tn=1+^+-^2+■•■一云,

1」

所以一关=2—笋，（n€N*）.

18.（12分）“双减”实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每

周的自主学习时间（单位：小时），并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围

是［7,12］,样本数据分组为［7,8),［8,9),［9,10),fl0.ll),［11,12］.根据直方图，

计算下列问题.

(1)求a的值及自主学习时间在［9,10)内的学生人数；

(2)从这200名学生中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在［8,11)内为事件

A,所抽取学生自主学习时间在［10,12］内为事件B,判断事件4和8是否互相独立，并

【解答】解：⑴因为组距为1,所以0.4+a+0.15+0.1+0.1=l,得。=0.25,

在［9,10)的频率为0.25,所以在［9,10)内的人数为0.25X200=50人；

(2)在区间［8,11)内的频率为0.15+0.25+0.4=0.8,所以P(A)=0.8,

在区间［10,12)内的频率为04+0.1=0.5,所以尸(8)=0.5,

在区间［10,11)内的频率为0.4,所以P(A8)=0.4,

因为P(A)P(B)=P(AB),所以事件A与B互相独立.

19.(12分)在三棱锥£>-ABC中，AD1CD,ADA.BC,AC±BC,AD=CD,AC=BC=2.

(1)求三棱锥。-4BC的体积；

(2)求异面直线AC与8。所成角的大小.

【解答】解：(1)因为AC_LBC,AD±BC,ADC\AC=A,ADcffiADC,ACc®ADC.

所以8C_L面AOC.

所以三棱锥D-ABC的体积U=|x5CxS“ACD-

因为AQ_LC£),AD=CD,AC=2,所以4。=CD=0

得V岩XBCX3X4OXCO=/X2X3X&X&=|.

即三棱锥D-ABC的体积为|.

(2)取AC中点H,因为AQ=CZ),所以OH_LAC,由(1)知，BC1DH.

因为8CC4C=C,BCcffiABC,ACc®ABC.

所以力H_L底面ABC,

如图，作BE平行且等于AC,

所以AC8E是平行四边形,

NOBE（或其补角）是异面直线8。和AC所成的角,

因为BC_LAC,所以AE_L4C,因为AH=1,AE=2,

所以EH=VAE2+AH2=V22+l2=V5,同理BH=V5.

因为DHLEH,DHLBH,DH=\,所以DE=DB=遍.

在△OE8中，DE=DB=V6,BE=2,

=22/-2=

_/+/一浸底+2“一乃=

所以COSNDBEn

2xBDxBE2x76x2-6,

V6

即异面直线AC与BD所成角的余弦值为一.

6

X2V2

20.（12分）已知双曲线一a-标=->0,Q0）的左、右顶点分别为4（-1,。）、

A2（I,0）,离心率为2,过点尸（2,0）斜率不为0的直线/与「交于P、。两点.

（1）求双曲线「的渐近线方程；

（2）记直线4P、A2。的斜率分别为心,幻，求证：詈为定值.

叱2

【解答】解：（1）设双曲线「的半焦距为c,由题意可知。=1,e=：=2,廿=C2-/=3,

在双曲线「的方程为，一［=1；

（2）证明：当直线/的斜率不存在时，点P,Q的坐标分别为（2,3）和（2,-3）,

当A1=1时，k2—-3,当％i=-l时，ki=3,此时好=—工，

k23

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k(x-2),P(xi,)，i),Q(X2,”),

将直线/代入双曲线方程得々-3)/-4岛+4必+3=0,

4必4必+3

所以Xl+X2=，X\X2=,20，

必一3k—3

=+_2k_