抛物线之等腰三角形存在性问题

【例1】如图，抛物线交x轴于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【跟踪练习1】如图，抛物线〔a＜0〕与X轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB是直角，且恰使△OCA∽△OBC．在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形，假设存在，求出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．草稿【跟踪练习2】如图，抛物线〔a≠0〕与x轴交于点A〔1，0〕和点B〔﹣3，0〕，与y轴交于点C．设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【例2】抛物线的顶点坐标为P〔﹣4，〕，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为〔1，0〕．〔1〕求这条抛物线的函数解析式；〔2〕假设抛物线的对称轴交x轴于点D，那么在线段AC上是否存在这样的点Q使得△ADQ为等腰三角形？假设存在，请求出符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．草稿【跟踪练习3】如图，在平面直角坐标系中，己知点O〔0，0〕，A〔5，0〕，B〔4，4〕．〔1〕求过O、B、A三点的抛物线的解析式．〔2〕作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．【跟踪练习4】如图，抛物线的顶点A在直线y=x﹣5上，直线与两坐标轴的交点分别为M和N，〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在直线y=x﹣5上是否存在点P，使得△PBN是等腰三角形？假设存在，直接写出P点坐标，假设不存在请说明理由．草稿【跟踪练习5】：如图，在直角坐标平面xOy中，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，四边形OABC是边长为4的正方形，点E为BC的中点，且二次函数经过B、E两点．将正方形OABC翻折，使顶点C落在二次函数图象的对称轴MN上的点G处，折痕EF交y轴于点F．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕求点G的坐标；〔3〕设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形？假设存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【例3】如图，直线与x轴交于点A，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线于点Q．假设△APQ为等腰三角形，求点Q的坐标。草稿【跟踪练习6】如图，抛物线的对称轴是x=﹣1，与x轴交于点A〔1，0〕，与y轴交于点B〔0，3〕．动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．〔1〕求抛物线对应的函数关系式；〔2〕△AON能否为等腰三角形？假设能，求出t的值；假设不能，请说明理由．【跟踪练习7】如图，抛物线经过点C〔0，〕，且与x轴交于点A、点B，假设tan∠ACO=．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕假设抛物线的顶点