东北《高等数学(二)》在线平时作业1

未知驱动探索，专注成就专业PAGE\MERGEFORMAT2东北《高等数学(二)》在线平时作业1一、题目描述本次在线平时作业涵盖《高等数学(二)》课程的相关知识点。共包含五道题目，范围包括函数极限、函数的连续性、导数以及曲线的切线与法线等内容。二、题目详解题目1：函数极限已知函数$f(x)=\\sin(x)\\cdot\\cos(x)$，求$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)$的值。解答：我们可以利用三角函数的性质来求解此题。我们将函数$f(x)=\\sin(x)\\cdot\\cos(x)$转化为一个更简单的形式。通过三角恒等式，我们知道$\\sin(2x)=2\\sin(x)\\cos(x)$。可以得到以下变换：$$f(x)=\\frac{\\sin(2x)}{2}$$接下来，我们计算$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)$。由于$\\sin(2\\frac{\\pi}{4})=\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，根据函数极限的性质，我们可以得到：$$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)=\\frac{\\sin(2\\cdot\\frac{\\pi}{4})}{2}=\\frac{1}{2}$$$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)$的值为$\\frac{1}{2}$。题目2：函数的连续性已知函数$g(x)=\\begin{cases}x,&x\\geq0\\\\1x^2,&x<0\\end{cases}$，判断函数g(x)在解答：要判断函数g(x)在x=0当$x\\geq0$时g(g(x)在当x<0g(x)=1g(x)在x=0处连续。函数g(题目3：导数计算已知函数$h(x)=\\ln(\\sin(x)+\\cos(x))$，求h′解答：为了求解函数h(x)的导数，我们可以利用链式法则。根据链式法则，如果h(x)=f(g(xh(x)=f(g(我们知道$\\frac{d}{du}\\ln(u)=\\frac{1}{u}$，所以$f'(u)=\\frac{1}{u}$。对于$g(x)=\\sin(x)+\\cos(x)$，我们可以利用三角函数的导数公式来求其导数。根据导数公式，$\\frac{d}{dx}\\sin(x)=\\cos(x)$和$\\frac{d}{dx}\\cos(x)=\\sin(x)$。$g'(x)=\\cos(x)\\sin(x)$。根据链式法则，我们可以得到$h'(x)=f'(g(x))\\cdotg'(x)=\\frac{1}{\\sin(x)+\\cos(x)}\\cdot(\\cos(x)\\sin(x))$。$h'(x)=\\frac{\\cos(x)\\sin(x)}{\\sin(x)+\\cos(x)}$。题目4：曲线的切线与法线已知函数y=x3+2x2−x解答：要求曲线y=x3+2x求出曲线y=x将切线斜率代入点斜式方程，求出切线方程。利用切线的斜率与法线的斜率关系，求出法线方程。我们求出曲线的导数。对函数y=x3+2接下来，我们求切线方程。曲线的切线斜率等于曲线上某点的导数值。在(1,2)处，曲线的切线斜率为y′(1)=3(1\\frac{1}{6}$。将法线斜率和曲线上某点(1,2)2=\\frac{1}{6}(x1)$。曲线y=x3+2x2−x在点2=\\frac{1}{6}(x1)$。题目5：综合题已知函数z=x2+y2，求函数z=x2+解答：题目中给出了一个函数z=x2+y2和一个椭圆方程x2+4y2=10，要求函数z=x2+y2在点(1,−2)处沿椭圆x2+4y2接下来，我们将点(1,−2)代入椭圆方程x2+4y2=10，得到12+4(−2)2=21。点(1,−2)不在椭圆上。我们可以利用椭圆方程x2+4y2=10的法线方程来求解。法线方程可以表示为$\\frac{x}{a^2}+\\frac{y}{b^2}=1$，其中a和三、本次在线平时作业涵盖了《高等数学(二)》课程中的函数极限、函数的连续性、导数以及曲线的切线与法线等知识点。通过解答题目，我们对这些知识点有了更深入的理解。通过计算函数的极限、判断函数的连续性，我们可以更好地理解函数在特定点的行为和性质。而导数的计算则可以帮助我们求解