高等数学中的两个重要极限

第5讲两个重要极限两个重要的极限预备知识1.有关三角函数的知识2.有关对数函数的知识以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.数e

是一个无理数，它的前八位数是：e=2.7182818

3.有关指数运算的知识4.无穷小量定义在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母性质

无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.5.极限的运算法那么X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一个重要极限OxBACD证解这个结果可以作为公式使用例1求例2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：练习1.求以下极限:

例3解例4解思考题练习3：以下等式正确的选项是〔〕

．

练习4：下列等式不正确的是（）练习5.以下极限计算正确的选项是〔〕练习6.当〔〕时，为无穷小量.

，当

时，为无穷小量．

练习7.练习8.练习9.

X-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828

X10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827第二个重要极限解因为所以，有例1例2

解

方法一令u=-x，因为x0时u0，所以方法二掌握熟练后可不设新变量例3解

练习1.解练习2.解练习3.解两个重要极限:小结练习题思考题解因为所以令u=x

-3

，当x

时u

，因此附录两个重要极限的证明OxRABC证

AOB面积<扇形AOB面积<AOC面积,即例两个重要极限的证明因为所以再次运用定理6即可得≤≤重要极限1

其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作那么sinx=BD，tanx=AC，这就证明了不等式(7).从而有重要极限2证这是重要极限2常用的另一种形式.分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法那么求解。极限综合练习题(一)

例3求以下极限：解：当x从0的左侧趋于0时，当x从0的右侧趋于0时,例5求以下极限分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的极限均为零，不能直接用极限商的运算法那么。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：①假设是有理分式的极限，那么需把分子分母、分别分解因式〔一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法〕；②假设是无理分式的极限，那么需要把分子、分母有理化。解：〔1〕把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。求解。又当x→0时，ax→0，bx→0，于是有分析：当x→0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化〔分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1个重要极限。解法2：分析：当x→0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法那么，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。解：因当x→∞时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法那么求解，考虑到解1.求极限:极限综合练习题(二)

解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即2.求以下极限：解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四那么运算法那么和第一重要极限计算，即3.求以下极限：分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。解：分子分母同除以x15，有=22+1=5解5.求解6.求极限解：容易算出分式分子的最高次项是，分式分母的最高次项是，所以7.求极限8.求极限9.设函数问：〔1〕当a为何值时，f(x)在x=0右连续；〔2〕a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在；〔3〕当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。处右连续。在时，。故当，从而，，又右连续，须有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)(