金融工程学理论与实务公式

期权定价理论9.1风险中性定价9.1.1风险中性假设定价原理在风险中性的世界里，所有投资者都是风险中性的，其对所有资产的预期收益率都是无风险收益率，而且所有资产现在的价格都是该资产未来预期值用无风险利率折现后的现值。9.1.2风险中性定价思路假设一个无红利支付的股票，当前时刻（设为t时刻）股票价格为S，基于该股票的某个期权价值是f，期权的到期日是T时刻，在T时刻股票价格或者上升到Su(u为股票价格上升的倍数)或者下降到Sd（d为股票下降的倍数）。当股票价格上升到Su时，价格期权的价值为fu；如果股票的价格下降到Sd时，假设期权的价值为fd。下面分别用风险中性定价和无套利均衡分析的方法计算该期权现在的价值f。(1)风险中性定价的思路假设风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于股票目前的价格，故风险中性概率可通过下式求得。S=e-r（T-r）[SuP+Sd(1-p)]，求出P=eq\f(er(T-r)-d,u-d)因此，期权价格为f=e-r（T-r）[Pfu+(1-p)fd](2)无套利均衡分析的思路首先，构造一个有△股股票多头和一个期权空头组成的证券组合。在T时刻，若股票价格上升到Su，则该证券组合的价值为Su△-fu；若股票价格下降到Sd，则该证券组合价值为Sd△-fd。为了使该证券组合为无风险组合，则在T时刻必须有Su△-fu=Sd△-fd，计算出值△，即△=。若无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值是（Su△-fu）e-r（T-r）或者（Sd△-fd）e-r（T-r）；而该证券组合是有股股票多头和一个期权空头组成的，因此，该证券组合的价值是S△-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即S△-f=（Su△-fu）e-r（T-r）或者S△-f=（Sd△-fd）e-r（T-r）将值的计算式代入上式，得f=e-r（T-r）[Pfu+(1-p)fd]。式中，令P=eq\f(er(T-r)-d,u-d)结论：风险中性定价法和无套利定价法得出的结论完全一致，只是字母P的含义不同。9.2布莱克-斯科尔斯期权定价模型9.2.1基本思想期权（欧式期权）的风险实际上在标的物价格及其运动中得到反映，即它们都受同一种不确定性因素的影响，只要匹配得当，这种不确定性就可以消除。通过买入一种股票同时卖出一定份额的该股票的看涨期权，可以构造一个无风险投资组合。在市场均衡条件下，该组合投资收益率等于无风险利率。因此，期权的收益可以用标的物股票和无风险证券的投资组合来复制，在无套利机会下，期权价格应等于购买投资组合的成本，即期权价格仅以来股票价格波动率、无风险利率、期权到期时间、执行价格和股票市价。9.2.2基本假设（1）允许卖空。（2）无税，无交易成本。（3）所有证券都可无限细分。（4）在衍生证券有效期内，标的证券没有现金收益支付，无风险利率r为常数。（5）证券交易是连续的，价格变动也是连续的。（6）股票价格S遵循一种称之为带漂移的几何布朗运动。股票价格S所遵循的带漂移的几何布朗运动是一种随机过程，数学上可以表示为：=μS+σS式中：μ——股票在单位时间内以连续复利表示的期望收益率，又称漂移率；σ——股票收益率单位时间的标准差，又称为证券价格波动率；=ε——标准布朗运动（也是一种随机过程），ε满足标准正太分布。9.2.3布莱克-斯科尔斯微分方程的推导及求解1.布莱克-斯科尔斯微分方程的推导因为，所以在小的时间间隔中，股票价格变化为=μS+σS（9-1）假设f是依赖S的衍生证券的价格，则（9-2）

在小的时间间隔△t中，f的变化值为（9-3）为了消除△z,可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券的组合。令（9-4）在△t时间后则有（9-5）eq/f(er（T-r）-d,u-d)eq/f(1,2)将式（9-1）和式（9-3）代入式（9-5）可得（9-6）式（9-6）中不含有△z，因此，在一个小的时间间隔△t后，该组合必定没有风险，其在△t中的瞬时收益率一定等于无风险收益率，所以有，把式（9-6）和式（9-4）代入上式得化简为（9-7）这就是著名的布莱克-斯科尔斯微分方程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。从（9-7）可以看出，衍生证券的价格f只与标的证券的市价S、时间t、证券价格波动率σ和无风险利率r（它们都是客观变量）有关，而与主观变量μ（它受制于投资者的风险偏好）无关。2.利用风险中性假设求解假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为E[max(ST-X,0)]，其现值为C=e-r（T-r）E[max(ST-X,0)](9-8)因为证券价格S遵循几何布朗运动，所以股票价格的对数服从正太分布，即在风险中性条件下，r可以取代μ，因此（9-9）对式（9-8）求解得出（实际是求积分，因为是计算期望值）C=SN(d1)-Xe-r（T-r）N(d2)(9-10)式（9-10）就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。其中：N(d)为标准正态分布变量X的概率分布函数，即N(d)=P(X≤d)=同时有N(-d)=1-N(d)9.2.4布莱克-斯科尔斯期权定价模型的推广布莱克-斯科尔斯期权定价模型仅仅给出了欧式无收益股票看涨期权的定价公式，而在标的资产无收益情况下，有C=c，因此，式（9-10）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在的评价关系就可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式为P=Xe-r（T-r）N(-d2)-SN(-d1)(9-11)由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的评价关系，其定价没有精确的解析公式，故可用二叉树或有限差分等方法求出。若假设期货价格遵循过程dF=μFdt+σFdz，则可得出欧式看涨期权定价公式为c=e-r（T-r）[FN(d1)-XN(d2)(9-12)根据欧式看涨期权与看跌期权的评价关系，欧式期货看跌期权定价公式为p=e-r（T-r）[XN(-d2)-FN(-d1)(9-13)此时的d1、d2为若标的证券在期权的有效期内产生收益，则也可由布莱克-斯科尔斯期权定价模型推导出相关期权的定价公式。当标的证券产生固定收益且其现值为I时，只要用S-I代替式（9-10）和式（9-11）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨期权和看跌期权的定价公式为c=（S-I）N(d1)-Xe-r（T-r）N(d2)(9-14)p=Xe-r（T-r）N(-d2)-(S-I)N(-d1)(9-15)此时的d1、d2为当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，只要将Se-q（T-r）代替式（9-10）和式（9-11）中的S，