2022年中考数学压轴题选讲

2022年中考数学压轴题选讲

-、选择题(本大题共6小题)

1.已知M,N两点关于y轴对称，且点例在反比例函数丫=-!■的图象上，点N在一

2x

次函数y=x+3的图象上，设点M的坐标为(a,b),则二次函数y="x2+(a+8)x

()

A.有最小值，且最小值是2

2

B.有最大值，且最大值是-2

2

c.有最大值，且最大值是2

2

D.有最小值，且最小值是-2

2

2.二次函y=or2+公+c的图象如图所示，则一次函数y=加+。与反比例函数

3.二次函数尸/+/ZT+C的图象如图所示,则反比例函数y=g与一次函数y=bx+c

x

在同一坐标系中的大致图象是()

4.二次函数）=以2+法+。的图象如图所示，则一次函数y=fex-ac与反比例函数

》=竺比在同一坐标系内的图象大致为（）

cD

5.如图①，正方形力腼中，AC,劭相交于点0,后是勿的中点.动点尸从点£出

发，沿着EfAB—A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A,在此过程

中线段4〃的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示,则的长为（）

6•如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点0,P是BC边上的一点，且PC=2PB,连

接AP、OP、DP,线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F.过点E作EQ±

AP,交CB的延长线于Q.下列结论中：

@ZPAO+APDO+ZAPD=90°；②AE=EQ；③sinNP4C=§；④S正方形ABCD=1°端边胫0RPF

其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共5小题)

7.已知二次函数wd+fer+c交X轴于A,3两点，交y轴于C点，且△A3C是等腰

三角形，请写出一个符合要求的二次函数的解析式.

8.阅读下列内容后，解答下列各题：

几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.

例如：考查代数式(x-l)(x-2)的值与0的大小

当x<1口寸，%—1<0,X—2<0>..(x-l)(x-2)>0

当1cx<2时，x-l>0,x-2<0,/.(x-l)(x-2)<0

当x>2时，x-l>0,x-2>0,(x-l)(x-2)>0

综上：当1cx<2时，(x-l)(x-2)<0;当x<l或x>2时，(x-l)(x-2)>0

(1)由以上知识可知，当x满足时，(x+2)(x+l)(x-3)(x-4)<0;

(2)运用你发现的规律，直接写出当x满足时，(x-7)(x+8)(x-9)<0.

9.如图，4?是。。的直径，弦C£>_LAB,垂足为E,P是A4延长线上的点，连结尸C

交。O于F,如I果PF=7,尸C=13,且必:AE:E3=2:4:1,那么CD的长是

10.二次函数y=/+6x+c，的图象的顶点为。，与x轴正方向从左至右依次交于A,B

两点，与y轴正方向交于C点，若△9和△O8C均为等腰直角三角形(。为

坐标原点)，则b+2c=.

11.如图，已知在菱形ABCD,BC=9,ZABC=60。，点E在BC上，且BE=6,

将MBE沿AE折叠得到\AB'E,其中交CD于点F,则CF=

三、解答题（本大题共20小题）

12.已知：如图，C为。。上一点，交。。于B,连结AC、BC,S.ZDCB=ZCAB.求

证：（1）DC为。。的切线；（2）CD2=ADBD.

13.已知关于x的一元二次方程（加+2）/-2》-1=0.

（1）若此一元二次方程有实数根，求面的取值范围；

（2）若关于x的二次函数必=（机+2）/-2*一1和%=（%+2）太2+wx+/n+l的图象

都经过x轴上的点（力0）,求.勿的值；

（3）在（2）的条件下，将二次函数%=（相+2]-2了-1的图象先沿x轴翻折,

再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数为的图象.请你直接写出二次函

数X的解析式，并结合函数的图象回答：当x取何值时，这个新的二次函数内的

值大于二次函数%的值.

14.已知抛物线C:丫=*2-(加+1)》+1的顶点在坐标轴上.

(1)求机的值；

(2)加>0时，抛物线c向下平移〃(〃>o)个单位后与抛物线G：片加+法+c关

于y轴对称，且G过点5,3)，求G的函数关系式；

15.已知二次函数图象的顶点坐标为"(2,0),直线广加2与该二次函数的图象交

于/、8两点，其中点力在y轴上(如图示)

(1)求该二次函数的解析式；

(2)尸为线段46上一动点(/、6两端点除外)，过P作x轴的垂线与二次函数

的图象交于点Q,设线段尸0的长为1,点尸的横坐标为x,求出1与x之间的函

数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段四上是否存在一点只使四边形故园为梯形.若

存在，求出点夕的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由.

16.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形450c的边80在x轴的负半轴上，边。？在

y轴的正半轴上，且4?=1,08=6,矩形ABOC绕点。按顺时针方向旋转60

后得到矩形EF8.点A的对应点为点£,点8的对应点为点尸，点C的对应

点为点。，抛物线丫=加+法+0过点A,E,D.

(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；

(2)求抛物线的函数表达式；

(3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O,8,P,Q为顶点的平行四边

形的面积是矩形他OC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P,

点。的坐标；若不存在，请说明理由.

17.已知二次函数y=；V+fev+c的图象经过点A(-3,6)并且与x轴相交于点8(-1,0)

和点C,顶点为P

(1)求二次函数的解析式；

(2)设。为线段OC上一点，满足ZDPC=N8AC,求点。的坐标

18.如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=；x+4的图象与该二次函数的图

象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.

(1)求B点的坐标与这个二次函数的解析式；

(2)P为线段4?上的一个动点(点P与A、3不重合)，过P点作x轴的垂线

与这个二次函数的图象交于。点，与x轴交于点E.设该线段叨的长为/?,点尸

的横坐标为「，求人与，之间的函数解析式，并写出自变量『的取值范围；

(3)在(2)的条件下，在线段相上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶

点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出产点的坐标；若不存在，请说明理

由.

19.如图，抛物线y=-/+bx+c与x轴交与A(l,0),8(-3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,

使得△QAC的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使4PBC的面积最大？，

若存在，求出点P的坐标及△P8C的面积最大值.若没有，请说明理由.

20.已知关于x函数y=(2/)x?-2x+)l

(1)若此函数的图像与坐标轴只有2个交点，求出的值.

(2)求证：关于x的一元二次方程(2/)f-2x+&=0必有一个根是1.

21.己知：如图，AABC内接于©O,4?为直径，NCB4的平分线交AC干点尸，交QO

于点。，。尸于点E,且交AC于点P,连接4).

(1)求证：NDAC=NDBA

(2)求证：点尸是线段AF的中点

⑶若OO的半径为5,AF=^,求的值.

D

22.已知：关于x的一元一次方程"=x+2①的根为正实数，二次函数尸

(cWO)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

(1)若方程①的根为正整数，求整数A的值；

(2)求代数式侬)=从+岫的值;

(3)求证：关于x的一元二次方程a。-。户②必有两个不相等的实数根.

23.已知：关于x的一元二次方程皿2_(3〃7_2)1+2m-2=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)在(1)的条件下，求证：无论“取何值，抛物线丫=皿2_(3〃?_2)》+2,〃-2总

过x轴上的一个固定点；

(3)若加为正整数，且关于x的一元二次方程"£-(3,〃-2)x+2%-2=0有两个不

相等的整数根，把抛物线片病-(3吁2口+2吁2向右平移4个单位长度，求平

移后的抛物线的解析式.

24.如图，二次函数尸aV+6x的图象与一次函数产矛+2的图象交于/、△两点，点4

的横坐标是-1,点6的横坐标是2.

(1)求二次函数的表达式；

(2)设点。在二次函数图象的如段上，求四边形如a'面积的最大值.

25.如图，在△ABC中，AB-AC,以4?为直径的0。交AC与E,交BC与D.

求证：（1）。是BC的中点；（2）△BECsaADC；（3）BC1=2ABCE.

26.如图，抛物线产；/+云-2与x轴交于两点，与y轴交于C点，且4（-1,0）.

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（%,0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求加的值.

27.如图，点。是坐标原点，点A（〃，0）是x轴上一动点（〃<0）.以40为一边作矩形

AQ8C,点C在第二象限，且03=204.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90。得矩

形AG£>E.过点A的直线y="+机（4工0）交y轴于点F,FB=FA.抛物线

>=江+法+c过点£、F、G且和直线AF交于点”，过点〃作轴，垂

足为点M.

(1)求Z的值；

(2)点A位置改变时，ZVVWW的面积和矩形AO3C的面积的比值是否改变？说

明你的理由.

28.已知A、。是一段圆弧上的两点，且在直线/的同侧，分别过这两点作/的垂线,

垂足为8、C，E是BC上一动点，连结4入&DE,且ZAED=90。.

⑴如图(1),如果A8=6,BC=16,且8£:C£=1:3,求4)的长；

⑵如图⑵，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC8之间有怎样的等量

关系？请写出你的结论并予以证明.再探究：当4。分别在直线/两侧且

AB手CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、8之间又有怎样的等量关系？请

直接写出结论，不必证明.

图⑴

29.如图1,OO中43是直径，C是OO上一点，ZABC=45。，等腰直角三角形。CE中

ZDCE是直角，点。在线段AC上.

(1)证明：8、C、E三点共线;

(2)若M是线段BE的中点，N是线段4)的中点，证明：MN=y/2OM;

(3)将绕点C逆时针旋转a(0。＜。＜90。)后，记为△〃(7可(图2)，若必

是线段8月的中点，乂是线段AQ的中点，是否成立？若是，请证

明；若不是，说明理由.

图1图2

30.如图,已知抛物线y=a(x-l)2+3由("0)经过点4(-2,0),抛物线的顶点为。,

过。作射线O"〃AZ).过顶点。平行于x轴的直线交射线于点C,8在x轴

正半轴上，连结BC.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P

运动的时间为心).问当，为何值时，四边形ZMQP分别为平行四边形？直角梯

形？等腰梯形？

(3)若OC=OB，动点P和动点。分别从点。和点8同时出发，分别以每秒1

个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时

另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为r(s),连接PQ,当/为何值

时，四边形8CPQ的面积最小？并求出最小值及此时的长.

31.如图，已知抛物线G：)，=a(x+2)2-5的顶点为尸，与x轴相交于4、6两点(点”

在点8的左边)，点8的横坐标是1.

(1)求P点坐标及。的值；

(2)如图(1),抛物线G与抛物线G关于x轴对称，将抛物线G向右平移，平

移后的抛物线记为圆G的顶点为忆当点只"关于点6成中心对称时，求G

的解析式；

（3）如图（2）,点0是x轴正半轴上一点，将抛物线G绕点0旋转180°后得

到抛物线C.抛物线G的顶点为"与x轴相交于反尸两点（点£在点尸的左

边），当以点只从尸为顶点的三角形是直角三角形时，求点0的坐标.

中考数学压轴题选讲答案解析

—,、选择题

1.D；先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点

求出其最值即可

2.D

3.D；先根据二次函数的图象开口向下可知“<0,再由函数图象经过原点可知c=0,

利用排除法即可得出正确答案

4.B

5.A;解:如图，连接花

图①

•••四边形/发力是正方形，

：.ACVBD,OA=OC=OD=OB,

由题意DE=0E,设DE=0E=x,则0A=0D=2x,

■:AE=2爬,

：.x+(2x)2=(2A/5)2,

解得x=2或-2(不合题意舍弃)，

：.OA=OD=\,

:.AB=AD=AM，

6.B

二、填空题

7>=公-2等(答案不唯一)；，.,二次函数>=加+bx+c,交x轴于A,8两点，交y轴

于C点，且A/WC是等腰三角形.•.当AO=8O时，C点坐标为只要不为0即可.

8-(1)-2<x<-l或3Vx<4；(2)x<-8或7Vx<9.

94M.

10.2；由已知，得C(O，c)、/上1三，o］、8卜吗一，0、、

7

（h"4c）

I24J

过。作£）E_LAB于点£,则2DE=AB,

B|J2x-———=y]b2-4c,得：b2-4c=2y1b2-4c,

4

・\扬-4。=0或"2-4C=2.

又IT-4C>0,/.-4c=2.

又，：OC=OB,即：c=3，「竺,得：h+2c=^h2-4c=2.

故答案为:2.

【解析】二次函数综合题.此题主要考查了二次函数与坐标轴交点的表示方法,

以及等腰直角三角形的性质等知识，得出2DE=45,是解决问题的关键.

9

5

扫.、解答题

12.(1)连结OC并延长交。。于E,连结3E.

可知CE是。。的直径，/.ACBE=90°,/.AE+ABCE=9QP

'：NCAB=NE,ZDCB=ZCAB,/.ZDCB=ZE,

,ZDCB+ZBCE=90°

•.•虑是直径，,8是。。的切线..

(2)YNOCB=NC4B,ND是公共角，

:.ABDC^ACDA,

・CDBD

••----=-----,即AMCD7=AD-BD.

ADDC

c

D

点评：不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周

角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径.“弦切角”已经从初中

课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师

也可以稍微提一下.

13.(1)根据题意,得夕”20解得

A=(一2)*-4(m+2)x(-l)>0.[m>-3.

Am的取值范围是m2—3且m#—2.

(2)关于x的二次函数y=0+2)/一21-1和%=(〃?+2)/+如+机+1的图象

都经过x轴上的点(n,0),

/.(m+2)n2-2〃-1=(〃？+2)n2+mn+加+1.

解得n二一1.

当n=—1时，m+2+2—1=0,

解得m=—3.

2

(3)y3=x+2x-2\

当x的取值范围是%＞。或无〈-1时，二次函数内的值大于二次函数为的值.

14.当抛物线。的顶点在冗轴上时

△=[一(加+1)]2-4=0

解得加=1或相=-3

当抛物线C的顶点在)，轴上时

_("7+1)=0

・'m——\

综上加=±1或〃？=-3.

(2)当加＞0时，m=l

抛物线。为y=f—2x+l.

向卜平移个单位后得到y=x2-2x4-1-/?

抛物线)，=Y—2x+1-〃与抛物线G：尸加+云+c,关于y轴对称

••a=l9b=29c=1—n

，抛物线G：y=x2+2x+l-n

•.'G过点(〃,3)

**•n~+In+1—〃=3,BP/?2+/j—2=0

解得〃i=l,%=-2(由题意”>0,舍去)，〃=1

，抛物线G：y=x2+2x

15.(1)依题意，设二次函数的解析式为y=a(x-2)2,

由于直线y=x+2与y轴交于(0,2),

x=0,y=2

满足y=a(x-2):于是求得a=—,

2

二次函数的解析式为产,(x-2)2；

2

(2)依题意得，PQ-\=(x+2)-i(x-2)2=-ix2+3x,

y=x+2

由lz、2,求得点8的坐标为(6,8),.-.0<^<6；

(3)由(2)知夕的横坐标为0VxV6时，必有对应的点0在抛物线上；

反之，Q的横坐标为0<x<6时，在线段AB上必有一点P与之对应.

假设存在符合条件的点P，由题意得AM与PQ不会平行，

因此梯形的两底只能是AP与MQ,

♦.•过点必(2,0)且平行48的直线方程为尸x-2,

y=x-2

由1,"，解得尸2或年4

产井-2)-

过M点的直线与抛物线的另一交点为(4,2),

•••此交点横坐标4,落在0VxV6范围内，

二0的坐标为(4,2)时，P(4,6)符合条件，

即存在符合条件的点尸，其坐标为(4,6),

设直线AB与x轴交于N,由条件可知，4ANM是等腰直角三角形，即AM=AN=20,

AP=PN-AN=6夜-2忘=4夜，MQ=2上,

AM为梯形PQMA的高，

•e•S梯彩=—(2V2+4^/2)X2^/2=12.

2

【解析】本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、

梯形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力.

16.(1)点E在y轴上

理由如下：连接AO,如图所示，在用AABO中，

VAB=\,BO=G,/.AO=2,：.smAAOB=-,：.AAOB=30

2

由题意可知：ZAOE=60

/.ABOE=ZAOB+ZAOE=30+60=90.

•.•点8在x轴上，.•.点£在y轴上.

(2)过点。作。W_Lx轴于点用

•；OD=1,ZDOM=30

1R

，在RfADO历中，DM=—，OM=—

22

•.•点。在第一象限，.•.点。的坐标为［三■，：

由(1)知EO=AO=2,点E在y轴的正半轴上

...点E的坐标为(。,2),点A的坐标为卜g,l)

•抛物线丫=加+以+。经过点E,；.c=2

//r.\3a-\［3b+2=1

由题意，将A(—j3,1),£)—，-代入y=/+6x+2中得，，30［，解

I，)—〃+——8+2=一

1422

8

a=—

得\

9

...所求抛物线表达式为：丫=一§/-9X+2

99

（3）存在符合条件的点2，点Q.

理由如下：

,/矩形ABOC的面积=ABBO=C

...以。、B、P、Q为顶点的平行四边形面积为26.

由题意可知03为此平行四边形一边，

又•.•08=75,...08边上的高为2.

依题意设点P的坐标为（〃?，2）

•••点P在抛物线y=一述x+2上

99

•..一§/一述a+2=2

99

解得町=0,/n,=~~^，

•.•以。、B、P、。为顶点的四边形是平行四边形,

,PQ//OB,PQ=OB=拒,

二当点6的坐标为（0,2）时，

点Q的坐标分别为Q1百,2）,°?便，2）,

当点？的坐标为卜挈，2）时，

点Q的坐标分别为。3[-为回，2

【解析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、平行

四边形的性质等知识点，综合性强，能力要求较高.考查学生数形结合的数学

思想方法.

2

17.(1)y=lx-x--；(2)[-,0

■2213

【解析】(1)函数图象经过点A(-3,6),B(T,0),

1

6=—x(―3)92—3h+c,

<2,解得卜=—1,c=—o

0=lx(-l)2-&+cI2

2

・••二次函数解析式为—J

22

(2)y=-x2-x--=—(x-\)2-2f・,・顶点P的坐标为(1,一2)。

222

1O

由方程—f-x-，=0,得玉=3,x,=-1。.•.点C的坐标为(3,0)。

22

过点4,尸分别作A£,PF垂直于x轴，垂足分别为E,F(如图所示)

那么AE=|XJ=6,EC=EO+OC=3+3=6,

:.AE=CE,

即A/正C是等腰直角三角形，

/.ZACf=45°,同理可得APFC是等腰直角三角形，，ZPCF=45°.

设点。的坐标为(a,0),那么£>C=OC-8=3-a,

NPCD=ZACB,ZDPC=ABAC,/.ADPCsABAC,

・噗喑即WI，解得吗|.

.••点D的坐标为(I,0).

18.(1)令x=0,代入y=；x+4,/.y=4,：.4).

设y=/,把(8,8)代入得:82-a=8,：.a=-,：.y=-x2.

88

⑵•••点P的横坐标为...公》+4；DE：%,.

2

,PD=PE-DE=-t+4--t2,/?=-1/+1f+4(0<r<8)

28

(3)存在,

①当NPD3=ZBOC=90。时,

,?BD//CE,/.ZPBD=ZBCO.：./\PDB^/\BOC,—

BOCO

1,T，.TR.

令y=—x+4=0,得x=—8,/•C（-8>0）,CO=8.・\---------------=—.

248

化简得：*=32.解得：乙=4及；/2=-4>/2<0（不合题意，舍去）.

把“4夜代入y=；x+4,得y=20+4.

.•.点P的坐标为（4夜，2夜+4）.

②当NP3D=NBOC=90。时，

PD//BO,/.ZDPB=Z.CBO././\PBD^/\BOC.

过点。作OF_L08,

,?ZDPB+APDB=90°,ZBDF+APDB=90°,

:.ZBDF=ZDPB=NCBO.

iDFRF

•?/BFD=/COB,/\DFB^/\BOC.丁BF=BO—OF=4一一r,二-----—,・二

8BOCO

4--t2

L=8

48,

化简得：*+16f-32=0.

解得：解得：tt=-8+4x/6;r2=-8-4>/6<0（不合题意，舍去）

把4=-8+46代入y=；x+4,得：y=2指,

P点的坐标为卜8+4的，2㈣,

.,.当P点的坐标为18+4指,2a）或（4&,2a+4）时，以点P、。、8为顶点的

三角形与刈。。相似.

【解析】二次函数综合题。此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定等

知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

-1+b+c=0.ib=-2

19・⑴将4(1,0),8(-3,0)代y=-x2+bx+c中得,

-9-38+c=0'"|c=3

•••抛物线解析式为：），=-f_2x+3

（2）存在

理由如下：由题知4、B两点关于抛物线的对称轴x=T对称.

•••直线8C与x=T的交点即为。点，此时△QAC周长最小

Vy=-x2-2x+3；.C的坐标为：（0,3）

•••直线8c解析式为：y=x+3.

fjy——]=一|

，Q点坐标即为一「的解，，"

[y=x+3[y=29

Q（T，2）

（3）存在.

理由如下：设尸点（x，-丁-2犬+3）且（-3。＜0）

9什4

•$4BPC=S四边形8PCO—S&BOC=S四边形BPCO一/，右S四边形方也）有最大值，贝（J^^BPC就取大.

••S四边形BPCO-S心△8/>£+S自角梯形PE0C=；BEPE+；OE(PE+OC)

=^(X+3)(-X2-2X+3)+^(-X)(-X2-2X+3+3)

丫

=一3一/元+3—+9—+2——7

212)28

3927.$_927_9_27

当％时,S四边形BPCO最大值—+一・・J/kBPC最大值一耳十耳一§一后~

28

715

当工=_：时，_/_2无+3=宁

315

・••点P坐标为，

24

【解析】二次函数与三角形综合，轴对称与线段和差最值问题，坐标与面积

2。.⑴分情况讨论:

(i)4一1=0时，得Z=1.

此时y=4x+l与坐标轴有两个交点，符合题意.

(ii)-0时,得到一个二次函数.

①抛物线与x轴只有一个交点，

△=ft2-4«c=(-2)2-4A:(2-A:)=4(jt-l)2

解得女=1(舍去)

②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是(0,0)

把(0,0)带入函数解析式，易得k=O

(2)设关于x的一元二次方程(2-%)x2-2x+A=0的两个实数根分别为不，9

._-/>±4b'-4ac_2±2(/:-1)

•，x一2^-2(2-k)

二必有一个根是1

21.(1)•.•加>平分NCR4,

:.NCBD=ZDBA,

,：ZDAC与NCBD都是8所对的圆周角,

:.ZDAC=NCBD,

:.ZDAC=ZDBA；

(2)AB为直径，，ZADB=9O°,

「DE上AB于E,

/DEB=90。,

・\ZADE+NEDB=ZABD+NEDB=90。,

，ZADE=ZABD=ZDAP，

：.PD=PA，

VZDE4+ZZMC=ZADE+ZPDF=90°,且ZADB=90。，

，ZPDF=ZPFD,

/.PD=PF，

:.PA=PF，

即：P是AF的中点；

(3)VZDAF=ADBA,ZADB=ZFDA=90°,

/\FDA^^ADB,

・ADAF

••----=----9

DBAB

153

J在他△ARD中，tanZABO=—+10=-,

24

3

即：tanZABF=-.

4

【解析】(1)根据圆周角定理得出ZZMC=NC8。，以及NCBD=NDBA得出答案

即可;

(2)首先得出ZAZ)3=90。，ZDFA+ZDAC=ZADE+ZPDF=90°,且

NAZ)8=90。得出

APDF=APFD,从而得出d=P尸；

(3)利用相似三角形的判定得出即可得出答案.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性

质，根据证明产。=%以及叨=所，得出答案是解决问题的关键.

22.(1)解：由辰=x+2,得(&-l)x=2.

依题意

.2

・・x=---

k-l

•.•方程的根为正整数，A为整数，

**•左一1=1或左一1=2k]=2k2=3

(2)依题意，二次函数尸aV-6户Ac的图象经过点(1,0),

/.O=a—b+kc,kc=b-a・

.(fa)2-b2+ab_(b-a)2-b2+ab_b2-laba1-b1ab

akca(b—d)ab-a2

_a2-ab

(3)证明：方程②的判别式为A=(-Z?)2-4ac=b2-44c.

由"0,cwO,得。。工0.

(i)若改<0,则4zc>0.故△=/-44>0.此时方程②有两个不相等的实数

根.

(ii)证法—b:若ac>0,由⑵知a-b+Ac=0,故/?=々+h.

△=b2-4ac=(a+kc)~-4ac=a2+2kac+(女。)〜-4ac=a2-2kac+(fa?)2+4kac-4ac

二(a-

二(kAc)2+4ac(hl).

•方程丘=x+2的根为正实数，

・・・方程(&-1)冗=2的根为正实数.

由x>0,2>0,得女-1>0

:.4ac(^-l)>0

•/(〃-Zc)~..0,

/.△=(a-Ar)2+4〃c(A-l)>0A=(a-^c)~+4ac(A-l)>0.此时方程②有两个不相等

的实数根.

23.(1)*/关于x的一元二次方程的之_(3加_2)工+2加-2=0有两个不相等的实数根

A=[-(3/n-2)]2—4加(2〃2—2)=m2—4m+4=(/n—2)2>0

二・awO且加W2

(2)证明：令y=0得，znx?-⑶勿+-2)工+2加-2=0

=9=&匕.•.抛物线与x轴的交点坐标为(LO),(如2,o)

mm

.,•无论m取何值,抛物线y=/nr2-⑶〃-2)x+2"?-2总过X轴上的定点(1,0)

(3)•••x=l是整数.♦.只需即吐=2-2是整数.

mm

in是正整数,且相。0,/%。2

/71=1

当机=1时，抛物线为y=x2-x

把它的图象向右平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为

y=x2-9x4-20

24.⑴把产-1和2分别代入尸x+2,得到y的值分别是1、4,因而4、8的坐标

分别是(-1,1),(2,4).根据题意得到：[m，解得

[4a-2b=4[b=0

因而二次函数的解析式是y=M

(2)过点A,8作轴，曲CLx轴，分别交于KN.过点。作CP工BN与P.

设户的坐标是（x,y）.

S树形^B=g（AM+8N>MN=；（l+4>3=£;

Saa，=gcP8P=；（2-x）（4-y）=；（2-x）（4-x2）；

鼠边E=*P+ON），N=g［（2-x）+21y=g（4-x）.x2.

x

,,S四边形0^=5梯形AMWB-SMOM.-XBCP~S四边形c/wo=~+2x+3

当年1时，函数6-*+2矛+3有最大值是4.

【解析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，求面积的最值问题一般

要转化为函数的最值问题，依据函数的性质解决.

25.⑴•.•45是。。的直径，

ZADB=90。,

即AD是底边BC上的高，

又：AB^AC,

.•.△ABC是等腰三角形，

。是3c的中点；

(2)；NCBE与NC4D是同弧所对的圆周角，

:.NCBE=NCAD,

又，:ZBCE=ZACD,

ABECSAADC；

(3)由△BEC'sZsADC,知=

CEBC

即CDBC^ACCE,

,/。是8C的中点，

:.CD=-BC,

2

又：A8=AC,

/.CDBC=ACCE=-BCBC=ABCE,

2

即BC2=2ABCE.

【解析】(1)要证。是BC的中点，已知4?=AC,即证相>J_3c即可，根据圆周

角定理，M是直径，所以")8=90。，即可得证.

(2)欲证△BECSAADC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，

即/4£3=/4£心=90。，此时，再求另一角对应相等即可.

(3)由△BECS/XADC可证CZ>3C=ACCE,又。是BC的中点，AB^AC,即可

Xm.BC2=2ABCE.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质.识别两三角形相似，除了要掌握

定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等.

26.(1)•.•点&-1,0)在抛物线y=+法一2上，

.1,,3

••-X(-1)2+/JX(-1)-2=0»/?=--.

.••抛物线的解析式为y=；x2_|x—2.

••・顶点O的坐标为

(2)当x=0时，y=-2,C(0,-2),OC=2.

i3

当y=0时，-x2--x-2=o,.,.玉=-1,4=4,-*•B(4,o).

***OA=1,OB=4,AB=5.

VAB2=25,AC2=0A"+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

：.AC2+BC2=AB2.AABC是直角三角形。

(3)作出点C关于x轴的对称点C,则<7(0,2),OC'=2.

连接C力交x轴于点M,

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+M。的值最小.

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.

我也££>〃y轴，/.ZOCM=ZEDM,ZC'OM=ADEM.

/.^C'OMs^DEM.，=—•

EMED

解法二：设直线an的解析式为y=+

n=2

则.3?5,解得〃=一2,k=-—•

±k+n=--12

[28

••y=---x+2•

12

・••当y=0时,--X+2=O»x=--

1241

・24

••77T=•

41

27.(1)根据题意得到：E(3n,0),G(n,-ri)

当％=0时，y=kx-3t-m=m,・,•点/坐标为(0,6)

•IRtAAOF中，AF2=m2+川,

,:FB=AF,

m2+〃2=(—2/7—/n)2,

化简得：m=-0.75n,

对于y=Ax+〃?，当x=〃时，y=0,

.・.0=fo?-0.75n,

...A:=0.75

(2)•・・抛物线y=0^+法+。过点后、F、G,

0=+3nb+c

二・(一〃=〃2。+泌+c

一0.75〃=。

解得：a=—h=--,c=-O.75n

4n92

**•抛物线为y=—x2-L-0.75〃

4n2

121

A刀t—工口Zany=­x~—x—0.757?

解方程组：『4〃2

)=0.75x-0.75〃

得：%=5"，y=3〃；%2=0,y2=-0.75n

，〃坐标是：(5”，3”)，HM=—3/2,AM=n—5n=-An,

ZVU阳的面积=0.5XMWXAM=6〃2；

而矩形AO8C的面积=2/,A4A用的面积：矩形AO8C的面积=3：1，不随着

点A的位置的改变而改变.

ABBEAE

28.(1)AABE^AECD,

ECCD15E

VBC=16,BE:CE=l:3,:.BE=4,CE=12,

・ABBE_AE

EC-CD-DE-2

在RtAAB石中，AE=\lAB2+BE2=2A/13,

・，・DE=2AE=4届,

在RtAAE。中，ZAED=9QP,

AD=y/AE2+DE2=2765.

(2)⑴猜想AB+CQ=3C.

•・•石是AD的圆心，:・AE=DE,

*/ZAED=90°,，ZAE5+NCE£>=90。,

VCDLBC,AZCE)E+ZC£E>=90°,

/.ZAEB=NCDE,

AB1BC,/.AABE^AECD,

，AB=CE,BE=CD,

：.AB+CD=CE+BE=BC.

(ii)BC=\AB-CD\

29(1)证明：•.•他是直径，

ZBC4=90°,

而等腰直角三角形DCE中"C£是直角，

：.ZBCA+ZDCE=900+90°=\80°,

二B、C、E三点共线；

(2)连接3D,AE,ON,延长3D交A石于/，如图，

■:CB=CA,CD=CE

：.Rt/\BCD冬RtAACE,

/.BD=AE,ZEBD=ZCAE,

：.ZCAE+ZADF=ACBD+ZBDC=90°,即BDLAE,

又：M是线段BE的中点，N是线段4）的中点，而。为4｝的中点，

/.ON=-BD,OM=-AE,ON//BD,AE//OM；

22

ON=OM,ONLOM,即为等腰直角三