《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计（表格）

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计课题6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时第一课时教材分析本节内容是分类加法计数原理与分步乘法计数原理，由使用字母或数字为教室座位编号情境导入，学习分类加法计数原理、分步乘法计数原理这些知识点，为分类加法计数原理与分步乘法计数原理的运用做铺垫.教学目标与核心素养1.数学抽象：通过具体案例将分类加法与分步乘法具体化；2.逻辑推理：通过新知导入逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相关知识，为排列组合的学习打好基础的同时，也能学习利用计数原理解决实际问题；4.直观想象：通过分类与分步的直观动画，展示完成一件事需要的过程；5.数学运算:能够正确判断分类与分步问题，并进行计算；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性.重点分类加法计数原理；分步乘法计数原理.难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理计算.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课新知导入：情境一：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？答：因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.情境二：从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?答：从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法.思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.思考：你能举出生活中类似的例子吗？答：如一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法？学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，有多少种不同的选择？情境三：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，...，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码.思考：该问题与前一个问题有什么区别？答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.思考：你能说出上述问题有什么特征吗？答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.问:你能通过这些得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的计算方法吗？学生思考问题，引出本节新课内容.设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.讲授新课新知讲解（一）：分类加法计数原理定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.说明：每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.课堂练习：(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)例题讲解：例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学答：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中可以选择5种专业，在B大学中可以选择4种专业，根据分类加法计数原理，共有5+4=9种专业可以选择思考：如果完成一件事有三类不同的方案，每类方案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m1+m2+…+mn新知讲解（二）：分步乘法计数原理定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法则完成这件事共有N=m×n种不同的方法.说明：只有各个步骤都完成才算做完这件事情.课后练习：(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(×)例题讲解：例2设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？答：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选择；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．例题讲解：例3书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?答：(1)从书架上个任取一本书，可以有三种方案：第一种方案从第一层取一本计算机书，有4种方法；第二种方案从第二层取一本文艺书，有3种方法；第三种方案从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.(2)分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，有4种方法；第二步从第二层取一本文艺书，有3种方法；第三步从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.课堂练习：1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（C）A．5种 B．4种 C．9种 D．20种2、我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼共有（B）种走法A．10种 B．16种 C．25种 D．32种3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____54________.4、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有__180__种.拓展提高一：5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为代表,要求这两人来自不同的年级，有多少种不同的选法？答：(1)13+12+9=34(2)13×12×9＝1404(3)分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况;②若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况;③若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况.由分类加法原理可得，共有156+117+108＝381种选法链接高考：6、某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.乘坐站数0<x≤33<x≤66<x≤9票价（元）234（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的方案共有多少种？答：(1)小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择.如果小华付费2元，小李付费3元，有3+3=6种方案；如果小李付费2元，小华付费3元，也有3+3=6种方案.所以小华、小李下地铁的方案共有6+6=12种(2)小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.①如果小华、小李一人付费2元一人付费4元，且要满足小华比小李先下地铁，只能是小华付费2元（乘坐站数有1，2，3三种方法），小李付费4元（乘坐站数有7，8，9三种方法），所以共有3×3=9种方法;②如果两人都付费3元，且要满足小华比小李先下地铁，则可能有：小华坐了4站，小李坐了5或6站2种方法；小华坐了5站，小李坐了6站1种方法.共有2+1=3种方法.所以，共有9+3=12种方案.学生根据不同的情境问题，探究分类加法计数原理.利用例题引导学生掌握并灵活运用分类加法计数原理.学生根据不同的情境问题，探究分步乘法计数原理的计算方法.利用例题引导学生掌握并灵活运用分步乘法计数原理.通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.利用不同的情境问题，探究分类加法计数原理的计算方法，培养学生探索的精神.加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.利用不同的情境问题，探究分步乘法计数原理的计算方法，培养学生探索的精神.加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.课堂小结分类加法计数原理分步乘法计数原理学生回顾本节课知识点，教师补充.让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.板书§6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、新知导入三、例题讲解二、新知讲解四、课堂练习1.分类加法计数原理五、拓展提高2.分步乘法计数原理六、课堂总结七、作业布置《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计课题分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时第二课时学习目标理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.重点分类加法计数原理；分步乘法计数原理.难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的计算.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课新知导入：情境一：班上有25名男生，20名女生，要从中选择1人担任班长，一共有多少种不同的选法？答：可以从25名男生中选择一位担任班长，共有25种不同的选法；也可以从20名女生中选择一位担任班长，共有20种不同的选法。所以共有25+20=45种不同的选法。情境二：要完成一项工作，有两种方法可以完成，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选择一人来完成这项工作，有多少种不同的选法？答：会使用第一种方法的有5个人，所以可以有5种选法；会使用第二种方法的有4个人，可以有4种选法。所以，要完成该项工作，总共可以有5+4=9种不同的选法。思考：上述两个问题有什么共同特征？答：要完成上述两件事情（选出班长、完成一项工作），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.情境三：新学期开学，甲、乙、丙3位同学从5个宿舍中挑选一个入住（可以选择相同的宿舍），可以有多少种不同的入住方法？答：甲同学可以从5个宿舍中挑选一件入住，有5种方法；乙同学也可以从5个宿舍中挑选一件入住，有5种方法；丙同学也可以从5个宿舍中挑选一件入住，有5种方法。共有5x5x5=125种不同的方法情境四：班上有25名男生，20名女生，要分别从男生和女生中各选择1名担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？答：从25名男生中选择1位担任数学课代表，有25种不同的选法；从20名女生中选择1位担任数学课代表，有20种不同的选法.故共有25x20=500种不同的选法。思考：上述两个问题有什么共同特征？答：要完成上述两件事情（选宿舍、选课代表），要将每一位学生都安排好宿舍或者要从男生和女生种都选择一位数学课代表，那么这件事情才算完成学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课新知讲解（一）：分类加法计数原理完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种不同的方法说明：每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情。新知讲解（二）：分步乘法计数原理完成一件事，有n个步骤.在第1步中有m1种不同的方法，在第2步中有m2种不同的方法，……，在第n步中有mn种不同的方法，则完成这件事共有：N=m1xm2x…xmn种不同的方法说明：只有各个步骤都完成才算做完这件事情例题讲解：例4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？答：从3幅不同的画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，要分两步完成：（1）从3幅画中选出一幅挂在左边墙上，有3种选法（2）从剩下的2幅画中选出1幅挂在右边墙上，有2中选法。根据分步乘法原理，共有3x2=6种不同的挂法。例5给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？答：首字符共有7+6＝13种不同的选法，中间字符和末位字符各有9种不同的选法，根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法。例6电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？答：1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法原理，一个字节最多可以表示不同字符的个数是2x2x2x2x2x2x2x2=28=256（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？答：由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，考虑2个字节能够表示多少个字符。前一个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法，根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同的字符个数为：256x256=65536，该值大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示。例7计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。这个程序模块有多少条执行路径？(2)为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？答：（1）由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共有18+45+28=91条；子模块4、子模块5中的子路径条数共有38+43=81条；由分步乘法计数原理，整个模块执行路径条数为：91x81=7371条。（2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172，再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3x2=6。如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178（次）例8通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号。其中，序号的编码规则为：①由10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成；②最多只能有两个英文字母。如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？答：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数。根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有一个字母，有两个字母。（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字。确定一个序号可以分五个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法。根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为：10x10x10x10x10=10000；（2）当有一个字母时，这个字母可以分别在序号的第一位、第二位、第三位、第四位或第五位，这类序号可以分为5个子类；当第一位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第一步，从24个字母中选一个放在第一位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法。根据分步乘法计数原理，号牌张数为：24x10x10x10x10=240000。同样，其余四个子类号牌也各有240000张。根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共有：240000+240000+240000+240000+240000=1200000；（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第一位和第二位，第一位和第三位，第一位和第四位，第一位和第五位；第二位和第三位，第二位和第四位，第二位和第五位；第三位和第四位，第二位和第五位；第四位和第五位。当第1位和第2位是字母时，分五个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为：24x24x10x10x10=576000；同样，其余九个子类号牌也各有576000张。则这类号牌张数一共有：576000x10=5760000张。综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌数为：100000+1200000+5760000=7060000课堂练习：1、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A.243 B.252 C.261 D.2792、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(A)A.72种 B.48种C.24种D.12种3、如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共