《4．3等比数列》课后分层作业

《4．3等比数列》课后分层作业第一课时等比数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，则a1＝()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\r(2)D．eq\f(\r(2),2)2．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，eq\r(k,a1a2…ak)＝a11，则k＝()A．12B．15C．18D．213．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2019＝()A．32019＋1B．32019－1C．32019－2D．32019＋24．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值为()A.eq\f(\r(5)＋1,2)D．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1－\r(5),2)D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(1－\r(5),2)5．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于()A．9B．10C．11D．126．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.8．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝________.9．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．[B级综合运用]11．(多选)已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是()A．一定是等差数列B．公差为2d的等差数列C．可能是等比数列D．可能既非等差数列又非等比数列12．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，eq\f(1,4)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)…记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为()A.eq\f(1,16)D．eq\f(1,8)C.eq\f(5,16)D．eq\f(5,4)13．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1<b1，b2<a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，则a＝________，an＝________.14．已知数列{an}满足a1＝eq\f(7,3)，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．[C级拓展探究]15．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是不是为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．答案解析[A级基础巩固]1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，则a1＝()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\r(2)D．eq\f(\r(2),2)解析：选D设数列{an}的公比为q，则q>0.由已知，得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.又q>0，所以q＝eq\r(2)，所以a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故选D.2．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，eq\r(k,a1a2…ak)＝a11，则k＝()A．12B．15C．18D．21解析：选Deq\r(k,a1a2…ak)＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1>0，q≠1，∴eq\f(k－1,2)＝10，∴k＝21，故选D.3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2019＝()A．32019＋1B．32019－1C．32019－2D．32019＋2解析：选B∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴数列{an＋1}是首项，公比均为3的等比数列，∴an＋1＝3n，即an＝3n－1，∴a2019＝32019－1.故选B.4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值为()A.eq\f(\r(5)＋1,2)D．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1－\r(5),2)D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(1－\r(5),2)解析：选B设{an}的公比为q(q>0，q≠1)，根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝eq\f(\r(5)＋1,2)或q＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).故选B.5．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于()A．9B．10C．11D．12解析：选C∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq\o\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.6．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，eq\f(an,an－1)＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.答案：an＝3·(－1)n－17．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.答案：68．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝________.解析：∵an＝(n＋8)d，又∵aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.答案：49．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，∴a3＝8，a2＋a4＝20，∴eq\f(8,q)＋8q＝20，解得q＝2或q＝eq\f(1,2)(舍去)．又a1＝eq\f(a3,q2)＝2，∴an＝2n.10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝eq\f(1,2)an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq\f(1,2)an知an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴数列{an}是等比数列．[B级综合运用]11．(多选)已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是()A．一定是等差数列B．公差为2d的等差数列C．可能是等比数列D．可能既非等差数列又非等比数列解析：选ABC由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋(2n＋3)d]－[2a1＋(2n＋1)d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确；故选A、B、C.12．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，eq\f(1,4)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)…记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为()A.eq\f(1,16)D．eq\f(1,8)C.eq\f(5,16)D．eq\f(5,4)解析：选C第一列构成首项为eq\f(1,4)，公差为eq\f(1,4)的等差数列，所以a51＝eq\f(1,4)＋(5－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为eq\f(5,4)，公比为eq\f(1,2)的等比数列，所以a53＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,16).13．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1<b1，b2<a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，则a＝________，an＝________.解析：∵a1<b1，b2<a3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,ab<a＋2b，))∴b(a－2)<a<b，∴a<3，又∵a>1，且a∈N*，∴a＝2.∵对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋(m－1)b＋3＝b，∴b(2－m)＝5，又∵2－m<2，且2－m∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m＝1，,b＝5，))∴an＝a＋(n－1)b＝5n－3.答案：25n－314．已知数列{an}满足a1＝eq\f(7,3)，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×eq\f(7,3)－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.(2)∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．由(1)知a1－2＝eq\f(7,3)－2＝eq\f(1,3)，∴an－2n≠0，n∈N*.∴eq\f(an＋1－2n＋1,an－2n)＝3，∴数列{an－2n}是首项为eq\f(1,3)，公比为3的等比数列．∴an－2n＝eq\f(1,3)×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.[C级拓展探究]15．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是不是为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.《4．3等比数列》课后分层作业第二课时等比数列的性质及应用(习题课)[A级基础巩固]1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．242．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6)D．eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－100004．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝15．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．166．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．[B级综合运用]11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝()A．230B．210C．220D．21512．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为()A．11B．12C．13D．1413．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.14．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．[C级拓展探究]15．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的eq\f(1,4)倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?答案解析[A级基础巩固]1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：选A由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6)D．eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)解析：选D法一：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝eq\r(6)，a4＋a6＝eq\f(\r(6),q)＋eq\r(6)q＝5.解得q＝eq\f(2,\r(6))，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝eq\f(3,2).法二：设公比为q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1.∵a2·a8＝a4·a6＝6，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4·a6＝6，,a4＋a6＝5，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝3，,a6＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝2，,a6＝3))(舍)．∴q2＝eq\f(a6,a4)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(3,2).3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－10000解析：选C∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴lg(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故选C.4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝1解析：选B由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16解析：选C等比数列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a，b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b，,a－62＝3b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝27.))所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.解析：由题意得a4＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(3,2)，∴q＝eq\f(a5,a4)＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，eq\r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝aeq\o\al(2,10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(11,2)))2＝211＝2048.答案：20489．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.解：法一：由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7q－4＋a7＋a7q4＝28，①,a7q－5·a7·a7q5＝512，②))由②得aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.解得q4＝eq\f(1,2)或q4＝2，即q＝±eq\f(1,\r(4,2))或q＝±eq\r(4,2).法二：∵a3a11＝a2a12＝aeq\o\al(2,7)，∴aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a11＝20，,a3a11＝64，))即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝4，,a11＝16))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝16，,a11＝4.))又∵a11＝a3·q8，∴q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a11,a3)))＝±4＝±eq\r(4,2)或q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝±eq\f(1,\r(4,2)).10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解：∵a1a5＝aeq\o\al(2,3)，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，∴由题意，得aeq\o\al(2,3)－2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，同理得aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝100，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a52＝36，,a3＋a52＝100.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8，,a5＝2.))分别解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))∴an＝2n－2或an＝26－n.[B级综合运用]11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝()A．230B．210C．220D．215解析：选C∵a1·a2·a3·…·a30＝230，∴aeq\o\al(30,1)·q1＋2＋3＋…＋29＝aeq\o\al(30,1)·qeq\f(29×30,2)＝230，∴a1＝2－eq\f(27,2)，∴a3·a6·a9·…·a30＝aeq\o\al(10,3)·(q3)eq\f(9×10,2)＝(2－eq\f(27,2)×22)10×(23)45＝220.12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为()A．11B．12C．13D．14解析：选B∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6a7＞1，,a6－1a7－1＜0，))∵a1＞1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6＞1，,a7＜1，))由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1，∵a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝aeq\o\al(2,7)＜1，∴T13＜1，∴n的最大值为12，故选B.13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.答案：e55014．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．解：依题意aeq\o\al(2,5)＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝eq\f(a5,a1)＝eq\f(a1＋4d,a1)＝3，所以abn＝a13n－1，①又abn＝a1＋(bn－1)d＝eq\f(bn＋1,2)a1，②由①②得a1·3n－1＝eq\f(bn＋1,2)·a1.因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.[C级拓展探究]15．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的eq\f(1,4)倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.b1＝eq\f(1,5)(a0＋4b0)，a1＝eq\f(3,4)a0＋eq\f(1,4)b1＝eq\f(1,5)(4a0＋b0)；b2＝eq\f(1,5)(a1＋4b1)，a2＝eq\f(3,4)a1＋eq\f(1,4)b2＝eq\f(1,5)(4a1＋b1)；…；bn＝eq\f(1,5)(an－1＋4bn－1)，an＝eq\f(1,5)(4an－1＋bn－1)．∴an－bn＝eq\f(3,5)(an－1－bn－1)＝…＝eq\f(3,5)(a0－b0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n－1.∵a0－b0＝eq\f(1,5)，∴an－bn＝eq\f(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n.依题意知eq\f(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n<1%，n∈N*，解得n≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.《4．3等比数列》课后分层作业第三课时等比数列的前n项和[A级基础巩固]1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.eq\f(32,3)(1－4－n)D．eq\f(32,3)(1－2－n)2．在等比数列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，其前三项的和S3＝eq\f(9,2)，则数列{an}的公比q＝()A．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)或1D．eq\f(1,2)或13．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)等于()A．11B．5C．－8D．－114．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，eq\f(a7－1,a8－1)<0.则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9<1C．Tn的最大值为T7D．Sn的最大值为S75．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．246．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．8．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为________．9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.10．已知等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(1,3).(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝eq\f(1－an,2)；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．[B级综合运用]11．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则()A．数列{an}的公比为2B．数列{an}的公比为8C.eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝912．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．19313．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.14．在数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,an－1＋\f(1,2)，n≥2，))求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和．[C级拓展探究]15．设a1，a2，…，an成等比数列，且S＝a1＋a2＋…＋an，R＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)，P＝a1·a2·…·an.求证：(1)eq\f(S,R)＝a1·an；(2)P2Rn＝Sn.答案解析[A级基础巩固]1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.eq\f(32,3)(1－4－n)D．eq\f(32,3)(1－2－n)解析：选C由a5＝a2q3，得q3＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，而数列{anan＋1}也为等比数列，首项a1·a2＝8，公比q2＝eq\f(1,4)，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(81－4－n,1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n)．2．在等比数列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，其前三项的和S3＝eq\f(9,2)，则数列{an}的公比q＝()A．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)或1D．eq\f(1,2)或1解析：选C由题意，可得a1q2＝eq\f(3,2)，a1＋a1q＋a1q2＝eq\f(9,2)，两式相除，得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3，解得q＝－eq\f(1,2)或q＝1.3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)等于()A．11B．5C．－8D．－11解析：选D设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.所以eq\f(S5,S2)＝eq\f(\f(a11－q5,1－q),\f(a11－q2,1－q))＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f(1＋32,1－4)＝eq\f(33,－3)＝－11.故选D.4．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，eq\f(a7－1,a8－1)<0.则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9<1C．Tn的最大值为T7D．Sn的最大值为S7解析：选ABC∵a1>1，a7·a8>1，eq\f(a7－1,a8－1)<0，∴a7>1,0<a8<1，∴0<q<1，故A正确．a7a9＝aeq\o\al(2,8)<1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正确；故选A、B、C.5．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24解析：选C设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，由题意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.答案：27．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．解析：由eq\f(a2＋a4＋…＋a100,a1＋a3＋…＋a99)＝q，q＝2，得eq\f(a2＋a4＋…＋a100,150)＝2⇒a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.答案：4508．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为________．解析：由题意，q≠1，由9S3＝S6，得9×eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，eq\f(1,an)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列，其前5项和为eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).答案：eq\f(31,16)9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.解：设{an}的公比为q，由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝3.))当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.10．已知等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(1,3).(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝eq\f(1－an,2)；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：因为an＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝eq\f(1,3n)，Sn＝eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(1－\f(1,3n),2)，所以Sn＝eq\f(1－an,2).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－eq\f(nn＋1,2).所以{bn}的通项公式为bn＝－eq\f(nn＋1,2).[B级综合运用]11．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则()A．数列{an}的公比为2B．数列{an}的公比为8C.eq\f(S6,S3)＝8D．eq\f(S6,S3)＝9解析：选AD因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以eq\f(a6,a3)＝q3＝8，解得q＝2，所以eq\f(S6,S3)＝eq\f(1－q6,1－q3)＝1＋q3＝9，故选A、D.12．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．193解析：选C设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝eq\f(1,2)，n＝7，由eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7)),1－\f(1,2))＝381，解得a1＝192.13．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为eq\f(1,4)的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋eq\f(1,2)＋…＋8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1＝eq\f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)).答案：an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1eq\f(32,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n))14．在数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,an－1＋\f(1,2)，n≥2，))求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和．解：当n＝1时，S1＝a1＝1.当n≥2时，若a＝0，有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(1,2)，n≥2.))则Sn＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2).若a＝1，有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(3,2)，n≥2，))则Sn＝1＋eq\f(3,2)(n－1)＝eq\f(3n－1,2).若a≠0且a≠1，则Sn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a2))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋an－1))＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(n＋1,2)＋eq\f(a－an,1－a).综上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(n＋1,2)，a＝0且n≥2，,\f(3n－1,2)，a＝1且n≥2，,\f(n＋1,2)＋\f(a－an,1－a)，a≠0且a≠1且n≥2.))[C级拓展探究]15．设a1，a2，…，an成等比数列，且S＝a1＋a2＋…＋an，R＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)，P＝a1·a2·…·an.求证：(1)eq\f(S,R)＝a1·an；(2)P2Rn＝Sn.证明：本题分q≠1和q＝1两种情形进行讨论．情形1：q≠1.(1)显然，此时S＝eq\f(a11－qn,1－q)，R＝eq\f(\f(1,a1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,qn))),1－\f(1,q))＝eq\f(1－qn,a1qn－11－q)，P＝a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1qn－1)＝aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn－1,2).∴eq\f(S,R)＝aeq\o\al(2,1)qn－1＝a1(a1qn－1)＝a1an.(2)由(1)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,R)))n＝(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\o\al(n,1)q\f(nn－1,2)))2＝P2，∴P2Rn＝Sn.情形2：q＝1.(1)显然，此时S＝na1，R＝eq\f(n,a1)，P＝aeq\o\al(n,1)，∴eq\f(S,R)＝aeq\o\al(2,1)＝a1an.(2)由(1)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,R)))n＝aeq\o\al(2n,1)＝P2，即P2Rn＝Sn.故两式均成立．综上所述，不论q是否为1，两式都成立．《4.3等比数列》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．242．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于()A.D．C.D．3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－100004．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝15．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．166．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．193【答案】C7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于()A．11B．5C．－8D．－118．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24二、多选题9．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9<1C．Tn的最大值为T7D．Sn的最大值为S710．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则()A．数列{an}的公比为2B．数列{an}的公比为8C.＝8D．＝911．下列说法正确的是（）A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列C．若为等差数列，，，则前项和有最大值D．若数列满足，则12．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（）A．实数的取值范围是或B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为C．若数列为等比数列且，则D．若数列为等比数列且，则的最小值为4三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．14．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．16．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．四、解答题17．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．18．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?19．已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.20．数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设数列满足，其前项和为，证明：.21．已知等比数列的前项和为，且.（1）求与；（2）记，求数列的前项和.22．已知数列满足：，.（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数）答案解析一、单选题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24【答案】A【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于()A.D．C.D．【答案】D【解析】公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.解得q＝，∴＝＝＝.3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－10000【答案】C【解析】∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴lg(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故选C.4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝1【答案】B【解析】由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】等比数列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．193【答案】C【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于()A．11B．5C．－8D．－11【答案】D【解析】设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.所以＝＝＝＝＝－11.故选D.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24【解析】选C设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.二、多选题9．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9<1C．Tn的最大值为T7