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文档简介
《4.3等比数列》课后分层作业第一课时等比数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2aeq\o\al(2,5),a2=1,则a1=()A.eq\f(1,2)B.2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)2.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,eq\r(k,a1a2…ak)=a11,则k=()A.12B.15C.18D.213.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,则a2019=()A.32019+1B.32019-1C.32019-2D.32019+24.各项都是正数的等比数列{an}中,a2,eq\f(1,2)a3,a1成等差数列,则eq\f(a3+a4,a4+a5)的值为()A.eq\f(\r(5)+1,2)D.eq\f(\r(5)-1,2)C.eq\f(1-\r(5),2)D.eq\f(\r(5)+1,2)或eq\f(1-\r(5),2)5.等比数列{an}的公比为q,且|q|≠1,a1=-1,若am=a1·a2·a3·a4·a5,则m等于()A.9B.10C.11D.126.若数列{an}的前n项和为Sn,且an=2Sn-3,则{an}的通项公式是________.7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则a4=________.8.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k=________.9.已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a4的等差中项,求an.10.已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.[B级综合运用]11.(多选)已知公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,则对重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…描述正确的是()A.一定是等差数列B.公差为2d的等差数列C.可能是等比数列D.可能既非等差数列又非等比数列12.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,eq\f(1,4)eq\f(1,2),eq\f(1,4)eq\f(3,4),eq\f(3,8),eq\f(3,16)…记第i行第j列的数为aij(i,j∈N*),则a53的值为()A.eq\f(1,16)D.eq\f(1,8)C.eq\f(5,16)D.eq\f(5,4)13.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,等比数列{bn}的首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且a1<b1,b2<a3,对于任意的n∈N*,总存在m∈N*,使得am+3=bn成立,则a=________,an=________.14.已知数列{an}满足a1=eq\f(7,3),an+1=3an-4n+2(n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)证明数列{an-2n}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.[C级拓展探究]15.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=eq\f(an,n).(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是不是为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.答案解析[A级基础巩固]1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2aeq\o\al(2,5),a2=1,则a1=()A.eq\f(1,2)B.2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)解析:选D设数列{an}的公比为q,则q>0.由已知,得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2.又q>0,所以q=eq\r(2),所以a1=eq\f(a2,q)=eq\f(1,\r(2))=eq\f(\r(2),2),故选D.2.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,eq\r(k,a1a2…ak)=a11,则k=()A.12B.15C.18D.21解析:选Deq\r(k,a1a2…ak)=a1q=a1q=a1q10,∵a1>0,q≠1,∴eq\f(k-1,2)=10,∴k=21,故选D.3.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,则a2019=()A.32019+1B.32019-1C.32019-2D.32019+2解析:选B∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∵a1+1=3,∴数列{an+1}是首项,公比均为3的等比数列,∴an+1=3n,即an=3n-1,∴a2019=32019-1.故选B.4.各项都是正数的等比数列{an}中,a2,eq\f(1,2)a3,a1成等差数列,则eq\f(a3+a4,a4+a5)的值为()A.eq\f(\r(5)+1,2)D.eq\f(\r(5)-1,2)C.eq\f(1-\r(5),2)D.eq\f(\r(5)+1,2)或eq\f(1-\r(5),2)解析:选B设{an}的公比为q(q>0,q≠1),根据题意可知a3=a2+a1,∴q2-q-1=0,解得q=eq\f(\r(5)+1,2)或q=eq\f(1-\r(5),2)(舍去),则eq\f(a3+a4,a4+a5)=eq\f(1,q)=eq\f(\r(5)-1,2).故选B.5.等比数列{an}的公比为q,且|q|≠1,a1=-1,若am=a1·a2·a3·a4·a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析:选C∵a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4=aeq\o\al(5,1)·q10=-q10,am=a1qm-1=-qm-1,∴-q10=-qm-1,∴10=m-1,∴m=11.6.若数列{an}的前n项和为Sn,且an=2Sn-3,则{an}的通项公式是________.解析:由an=2Sn-3得an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得an-an-1=2an(n≥2),∴an=-an-1(n≥2),eq\f(an,an-1)=-1(n≥2).故{an}是公比为-1的等比数列,令n=1得a1=2a1-3,∴a1=3,故an=3·(-1)n-1.答案:an=3·(-1)n-17.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则a4=________.解析:设公比为q,则a1q2=3,a1q9=384,所以q7=128,q=2,故a4=a3q=3×2=6.答案:68.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k=________.解析:∵an=(n+8)d,又∵aeq\o\al(2,k)=a1·a2k,∴[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.答案:49.已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a4的等差中项,求an.解:设等比数列{an}的公比为q.依题意,知2(a3+2)=a2+a4,∴a2+a3+a4=3a3+4=28,∴a3=8,a2+a4=20,∴eq\f(8,q)+8q=20,解得q=2或q=eq\f(1,2)(舍去).又a1=eq\f(a3,q2)=2,∴an=2n.10.已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1.∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.∴an+1=eq\f(1,2)an.又∵S1=2-a1,∴a1=1≠0.又由an+1=eq\f(1,2)an知an≠0,∴eq\f(an+1,an)=eq\f(1,2).∴数列{an}是等比数列.[B级综合运用]11.(多选)已知公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,则对重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…描述正确的是()A.一定是等差数列B.公差为2d的等差数列C.可能是等比数列D.可能既非等差数列又非等比数列解析:选ABC由题意得a1+a4=2a1+3d,a2+a5=2a1+5d,a3+a6=2a1+7d,…,令bn=an+an+3,则bn+1-bn=[2a1+(2n+3)d]-[2a1+(2n+1)d]=2d,因此数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…一定是公差为2d的等差数列,即A、B正确,D错误;当a1≠0,d=0时bn=2a1,此时数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…可以是等比数列,即C正确;故选A、B、C.12.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,eq\f(1,4)eq\f(1,2),eq\f(1,4)eq\f(3,4),eq\f(3,8),eq\f(3,16)…记第i行第j列的数为aij(i,j∈N*),则a53的值为()A.eq\f(1,16)D.eq\f(1,8)C.eq\f(5,16)D.eq\f(5,4)解析:选C第一列构成首项为eq\f(1,4),公差为eq\f(1,4)的等差数列,所以a51=eq\f(1,4)+(5-1)×eq\f(1,4)=eq\f(5,4).又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为eq\f(5,4),公比为eq\f(1,2)的等比数列,所以a53=eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2=eq\f(5,16).13.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,等比数列{bn}的首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且a1<b1,b2<a3,对于任意的n∈N*,总存在m∈N*,使得am+3=bn成立,则a=________,an=________.解析:∵a1<b1,b2<a3,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b,,ab<a+2b,))∴b(a-2)<a<b,∴a<3,又∵a>1,且a∈N*,∴a=2.∵对于任意的n∈N*,总存在m∈N*,使得am+3=bn成立,∴令n=1,得2+(m-1)b+3=b,∴b(2-m)=5,又∵2-m<2,且2-m∈N*,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-m=1,,b=5,))∴an=a+(n-1)b=5n-3.答案:25n-314.已知数列{an}满足a1=eq\f(7,3),an+1=3an-4n+2(n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)证明数列{an-2n}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.解:(1)由已知得a2=3a1-4+2=3×eq\f(7,3)-4+2=5,a3=3a2-4×2+2=3×5-8+2=9.(2)∵an+1=3an-4n+2,∴an+1-2n-2=3an-6n,即an+1-2(n+1)=3(an-2n).由(1)知a1-2=eq\f(7,3)-2=eq\f(1,3),∴an-2n≠0,n∈N*.∴eq\f(an+1-2n+1,an-2n)=3,∴数列{an-2n}是首项为eq\f(1,3),公比为3的等比数列.∴an-2n=eq\f(1,3)×3n-1,∴an=3n-2+2n.[C级拓展探究]15.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=eq\f(an,n).(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是不是为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解:(1)由条件可得an+1=eq\f(2n+1,n)an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得eq\f(an+1,n+1)=eq\f(2an,n),即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得eq\f(an,n)=2n-1,所以an=n·2n-1.《4.3等比数列》课后分层作业第二课时等比数列的性质及应用(习题课)[A级基础巩固]1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.-24B.0C.12D.242.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6)D.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为()A.100B.-100C.10000D.-100004.在等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则()A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=15.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()A.2B.4C.8D.166.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________.7.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=________.8.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.9.在由实数组成的等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求q.10.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.[B级综合运用]11.设各项为正数的等比数列{an}中,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,则a3·a6·a9·…·a30=()A.230B.210C.220D.21512.各项均为正数的等比数列{an}满足:a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,记数列{an}的前n项积为Tn,则满足Tn>1的最大正整数n的值为()A.11B.12C.13D.1413.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则a3a18=________,lna1+lna2+…+lna20=________.14.已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列ab1,ab2,…,abn,…为等比数列,其中b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.[C级拓展探究]15.容器A中盛有浓度为a%的农药mL,容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL,A,B两容器中农药的浓度差为20%(a>b),先将A中农药的eq\f(1,4)倒入B中,混合均匀后,再由B倒入一部分到A中,恰好使A中保持mL,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?答案解析[A级基础巩固]1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24解析:选A由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6)D.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)解析:选D法一:设公比为q,则由等比数列{an}各项为正数且an+1<an知0<q<1,由a2·a8=6,得aeq\o\al(2,5)=6.∴a5=eq\r(6),a4+a6=eq\f(\r(6),q)+eq\r(6)q=5.解得q=eq\f(2,\r(6)),∴eq\f(a5,a7)=eq\f(1,q2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2=eq\f(3,2).法二:设公比为q,由an>0,且an+1<an知0<q<1.∵a2·a8=a4·a6=6,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4·a6=6,,a4+a6=5,))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4=3,,a6=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4=2,,a6=3))(舍).∴q2=eq\f(a6,a4)=eq\f(2,3),∴eq\f(a5,a7)=eq\f(1,q2)=eq\f(3,2).3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为()A.100B.-100C.10000D.-10000解析:选C∵a3a8a13=aeq\o\al(3,8),∴lg(a3a8a13)=lgaeq\o\al(3,8)=3lga8=6.∴a8=100.∴a1a15=aeq\o\al(2,8)=10000,故选C.4.在等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则()A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=1解析:选B由题意,可得a1·a2·a3·a4·a5=1,即(a1·a5)·(a2·a4)·a3=1,又因为a1·a5=a2·a4=aeq\o\al(2,3),所以aeq\o\al(5,3)=1,得a3=1.5.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()A.2B.4C.8D.16解析:选C等比数列{an}中,a3a11=aeq\o\al(2,7)=4a7,解得a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=8.6.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________.解析:设此三数为3,a,b,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a=3+b,,a-62=3b,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3,,b=3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=15,,b=27.))所以这个未知数为3或27.答案:3或277.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=________.解析:由题意得a4=eq\f(1,2),a5=eq\f(3,2),∴q=eq\f(a5,a4)=3.∴a6+a7=(a4+a5)q2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+\f(3,2)))×32=18.答案:188.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析:这10个正方形的边长构成以2为首项,eq\r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N*),则第10个正方形的面积S=aeq\o\al(2,10)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(11,2)))2=211=2048.答案:20489.在由实数组成的等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求q.解:法一:由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7q-4+a7+a7q4=28,①,a7q-5·a7·a7q5=512,②))由②得aeq\o\al(3,7)=512,即a7=8.将其代入①得2q8-5q4+2=0.解得q4=eq\f(1,2)或q4=2,即q=±eq\f(1,\r(4,2))或q=±eq\r(4,2).法二:∵a3a11=a2a12=aeq\o\al(2,7),∴aeq\o\al(3,7)=512,即a7=8.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3+a11=20,,a3a11=64,))即a3和a11是方程x2-20x+64=0的两根,解此方程得x=4或x=16.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3=4,,a11=16))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3=16,,a11=4.))又∵a11=a3·q8,∴q=±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a11,a3)))=±4=±eq\r(4,2)或q=±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))=±eq\f(1,\r(4,2)).10.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.解:∵a1a5=aeq\o\al(2,3),a3a7=aeq\o\al(2,5),∴由题意,得aeq\o\al(2,3)-2a3a5+aeq\o\al(2,5)=36,同理得aeq\o\al(2,3)+2a3a5+aeq\o\al(2,5)=100,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3-a52=36,,a3+a52=100.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3-a5=±6,,a3+a5=10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3=2,,a5=8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3=8,,a5=2.))分别解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(1,2),,q=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=32,,q=\f(1,2).))∴an=2n-2或an=26-n.[B级综合运用]11.设各项为正数的等比数列{an}中,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,则a3·a6·a9·…·a30=()A.230B.210C.220D.215解析:选C∵a1·a2·a3·…·a30=230,∴aeq\o\al(30,1)·q1+2+3+…+29=aeq\o\al(30,1)·qeq\f(29×30,2)=230,∴a1=2-eq\f(27,2),∴a3·a6·a9·…·a30=aeq\o\al(10,3)·(q3)eq\f(9×10,2)=(2-eq\f(27,2)×22)10×(23)45=220.12.各项均为正数的等比数列{an}满足:a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,记数列{an}的前n项积为Tn,则满足Tn>1的最大正整数n的值为()A.11B.12C.13D.14解析:选B∵a6+a7>a6a7+1>2,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6a7>1,,a6-1a7-1<0,))∵a1>1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6>1,,a7<1,))由a6a7>1得a1a12=a2a11=…=a6a7>1,∴T12>1,∵a7<1,∴a1a13=a2a12=…=aeq\o\al(2,7)<1,∴T13<1,∴n的最大值为12,故选B.13.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则a3a18=________,lna1+lna2+…+lna20=________.解析:因为{an}为等比数列,所以a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11.又a10a11+a9a12=2e5,所以a3a18=a10a11=a9a12=e5,所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.答案:e55014.已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列ab1,ab2,…,abn,…为等比数列,其中b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.解:依题意aeq\o\al(2,5)=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d),所以a1d=2d2,因为d≠0,所以a1=2d,数列{abn}的公比q=eq\f(a5,a1)=eq\f(a1+4d,a1)=3,所以abn=a13n-1,①又abn=a1+(bn-1)d=eq\f(bn+1,2)a1,②由①②得a1·3n-1=eq\f(bn+1,2)·a1.因为a1=2d≠0,所以bn=2×3n-1-1.[C级拓展探究]15.容器A中盛有浓度为a%的农药mL,容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL,A,B两容器中农药的浓度差为20%(a>b),先将A中农药的eq\f(1,4)倒入B中,混合均匀后,再由B倒入一部分到A中,恰好使A中保持mL,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?解:设第n次操作后,A中农药的浓度为an,B中农药的浓度为bn,则a0=a%,b0=b%.b1=eq\f(1,5)(a0+4b0),a1=eq\f(3,4)a0+eq\f(1,4)b1=eq\f(1,5)(4a0+b0);b2=eq\f(1,5)(a1+4b1),a2=eq\f(3,4)a1+eq\f(1,4)b2=eq\f(1,5)(4a1+b1);…;bn=eq\f(1,5)(an-1+4bn-1),an=eq\f(1,5)(4an-1+bn-1).∴an-bn=eq\f(3,5)(an-1-bn-1)=…=eq\f(3,5)(a0-b0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n-1.∵a0-b0=eq\f(1,5),∴an-bn=eq\f(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n.依题意知eq\f(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))n<1%,n∈N*,解得n≥6.故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%.《4.3等比数列》课后分层作业第三课时等比数列的前n项和[A级基础巩固]1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=eq\f(1,4),则a1a2+a2a3+…+anan+1=()A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.eq\f(32,3)(1-4-n)D.eq\f(32,3)(1-2-n)2.在等比数列{an}中,a3=eq\f(3,2),其前三项的和S3=eq\f(9,2),则数列{an}的公比q=()A.-eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,2)或1D.eq\f(1,2)或13.设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2+a5=0,则eq\f(S5,S2)等于()A.11B.5C.-8D.-114.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,eq\f(a7-1,a8-1)<0.则下列结论正确的是()A.0<q<1B.a7a9<1C.Tn的最大值为T7D.Sn的最大值为S75.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于()A.8B.12C.16D.246.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=________.7.等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{an}的前100项和为________.8.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为________.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.10.已知等比数列{an}中,a1=eq\f(1,3),公比q=eq\f(1,3).(1)Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn=eq\f(1-an,2);(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.[B级综合运用]11.(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则()A.数列{an}的公比为2B.数列{an}的公比为8C.eq\f(S6,S3)=8D.eq\f(S6,S3)=912.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是()A.190B.191C.192D.19313.已知{an}是递减的等比数列,且a2=2,a1+a3=5,则{an}的通项公式为________,a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)=________.14.在数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中,若an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n=1,,an-1+\f(1,2),n≥2,))求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和.[C级拓展探究]15.设a1,a2,…,an成等比数列,且S=a1+a2+…+an,R=eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+…+eq\f(1,an),P=a1·a2·…·an.求证:(1)eq\f(S,R)=a1·an;(2)P2Rn=Sn.答案解析[A级基础巩固]1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=eq\f(1,4),则a1a2+a2a3+…+anan+1=()A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.eq\f(32,3)(1-4-n)D.eq\f(32,3)(1-2-n)解析:选C由a5=a2q3,得q3=eq\f(1,8),所以q=eq\f(1,2),而数列{anan+1}也为等比数列,首项a1·a2=8,公比q2=eq\f(1,4),所以a1a2+a2a3+…+anan+1=eq\f(81-4-n,1-\f(1,4))=eq\f(32,3)(1-4-n).2.在等比数列{an}中,a3=eq\f(3,2),其前三项的和S3=eq\f(9,2),则数列{an}的公比q=()A.-eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,2)或1D.eq\f(1,2)或1解析:选C由题意,可得a1q2=eq\f(3,2),a1+a1q+a1q2=eq\f(9,2),两式相除,得eq\f(1+q+q2,q2)=3,解得q=-eq\f(1,2)或q=1.3.设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2+a5=0,则eq\f(S5,S2)等于()A.11B.5C.-8D.-11解析:选D设{an}的公比为q.因为8a2+a5=0.所以8a2+a2·q3=0.所以a2(8+q3)=0.因为a2≠0,所以q3=-8.所以q=-2.所以eq\f(S5,S2)=eq\f(\f(a11-q5,1-q),\f(a11-q2,1-q))=eq\f(1-q5,1-q2)=eq\f(1+32,1-4)=eq\f(33,-3)=-11.故选D.4.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,eq\f(a7-1,a8-1)<0.则下列结论正确的是()A.0<q<1B.a7a9<1C.Tn的最大值为T7D.Sn的最大值为S7解析:选ABC∵a1>1,a7·a8>1,eq\f(a7-1,a8-1)<0,∴a7>1,0<a8<1,∴0<q<1,故A正确.a7a9=aeq\o\al(2,8)<1,故B正确;T7是数列{Tn}中的最大项,故C正确;因为a7>1,0<a8<1,Sn的最大值不是S7,故D不正确;故选A、B、C.5.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于()A.8B.12C.16D.24解析:选C设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16.6.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=________.解析:设{an}的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,偶数项之和与奇数项之和分别为S偶,S奇,由题意S偶+S奇=3S奇,即S偶=2S奇,因为数列{an}的项数为偶数,所以q=eq\f(S偶,S奇)=2.答案:27.等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{an}的前100项和为________.解析:由eq\f(a2+a4+…+a100,a1+a3+…+a99)=q,q=2,得eq\f(a2+a4+…+a100,150)=2⇒a2+a4+…+a100=300,则数列{an}的前100项的和S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450.答案:4508.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为________.解析:由题意,q≠1,由9S3=S6,得9×eq\f(a11-q3,1-q)=eq\f(a11-q6,1-q),解得q=2,故an=a1qn-1=2n-1,eq\f(1,an)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n-1,∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项,eq\f(1,2)为公比的等比数列,其前5项和为eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1-\f(1,2))=eq\f(31,16).答案:eq\f(31,16)9.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.解:设{an}的公比为q,由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q=6,,6a1+a1q2=30,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=3,,q=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=2,,q=3.))当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3(2n-1);当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1.10.已知等比数列{an}中,a1=eq\f(1,3),公比q=eq\f(1,3).(1)Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn=eq\f(1-an,2);(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.解:(1)证明:因为an=eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n-1=eq\f(1,3n),Sn=eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3n))),1-\f(1,3))=eq\f(1-\f(1,3n),2),所以Sn=eq\f(1-an,2).(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-eq\f(nn+1,2).所以{bn}的通项公式为bn=-eq\f(nn+1,2).[B级综合运用]11.(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则()A.数列{an}的公比为2B.数列{an}的公比为8C.eq\f(S6,S3)=8D.eq\f(S6,S3)=9解析:选AD因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,所以eq\f(a6,a3)=q3=8,解得q=2,所以eq\f(S6,S3)=eq\f(1-q6,1-q3)=1+q3=9,故选A、D.12.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是()A.190B.191C.192D.193解析:选C设最下面一层灯的盏数为a1,则公比q=eq\f(1,2),n=7,由eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7)),1-\f(1,2))=381,解得a1=192.13.已知{an}是递减的等比数列,且a2=2,a1+a3=5,则{an}的通项公式为________,a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)=________.解析:由a2=2,a1+a3=5,{an}是递减的等比数列,得a1=4,a3=1,an=4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n-1,则a1a2+a2a3+…+anan+1是首项为8、公比为eq\f(1,4)的等比数列的前n项和.故a1a2+a2a3+…+anan+1=8+2+eq\f(1,2)+…+8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n-1=eq\f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1-\f(1,4))=eq\f(32,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)).答案:an=4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n-1eq\f(32,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n))14.在数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中,若an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n=1,,an-1+\f(1,2),n≥2,))求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和.解:当n=1时,S1=a1=1.当n≥2时,若a=0,有an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n=1,,\f(1,2),n≥2.))则Sn=1+eq\f(1,2)(n-1)=eq\f(n+1,2).若a=1,有an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n=1,,\f(3,2),n≥2,))则Sn=1+eq\f(3,2)(n-1)=eq\f(3n-1,2).若a≠0且a≠1,则Sn=1+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+a))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+a2))+…+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+an-1))=1+eq\f(1,2)(n-1)+(a+a2+…+an-1)=eq\f(n+1,2)+eq\f(a-an,1-a).综上所述,Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n=1,,\f(n+1,2),a=0且n≥2,,\f(3n-1,2),a=1且n≥2,,\f(n+1,2)+\f(a-an,1-a),a≠0且a≠1且n≥2.))[C级拓展探究]15.设a1,a2,…,an成等比数列,且S=a1+a2+…+an,R=eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+…+eq\f(1,an),P=a1·a2·…·an.求证:(1)eq\f(S,R)=a1·an;(2)P2Rn=Sn.证明:本题分q≠1和q=1两种情形进行讨论.情形1:q≠1.(1)显然,此时S=eq\f(a11-qn,1-q),R=eq\f(\f(1,a1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,qn))),1-\f(1,q))=eq\f(1-qn,a1qn-11-q),P=a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1qn-1)=aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn-1,2).∴eq\f(S,R)=aeq\o\al(2,1)qn-1=a1(a1qn-1)=a1an.(2)由(1),得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,R)))n=(aeq\o\al(2,1)qn-1)n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\o\al(n,1)q\f(nn-1,2)))2=P2,∴P2Rn=Sn.情形2:q=1.(1)显然,此时S=na1,R=eq\f(n,a1),P=aeq\o\al(n,1),∴eq\f(S,R)=aeq\o\al(2,1)=a1an.(2)由(1)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,R)))n=aeq\o\al(2n,1)=P2,即P2Rn=Sn.故两式均成立.综上所述,不论q是否为1,两式都成立.《4.3等比数列》同步检测试卷注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、单选题1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.-24B.0C.12D.242.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于()A.D.C.D.3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为()A.100B.-100C.10000D.-100004.在等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则()A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=15.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()A.2B.4C.8D.166.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是()A.190B.191C.192D.193【答案】C7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2+a5=0,则等于()A.11B.5C.-8D.-118.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于()A.8B.12C.16D.24二、多选题9.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,<0.则下列结论正确的是()A.0<q<1B.a7a9<1C.Tn的最大值为T7D.Sn的最大值为S710.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则()A.数列{an}的公比为2B.数列{an}的公比为8C.=8D.=911.下列说法正确的是()A.若为等差数列,为其前项和,则,,,…仍为等差数列B.若为等比数列,为其前项和,则,,,仍为等比数列C.若为等差数列,,,则前项和有最大值D.若数列满足,则12.在数列中,和是关于的一元二次方程的两个根,下列说法正确的是()A.实数的取值范围是或B.若数列为等差数列,则数列的前7项和为C.若数列为等比数列且,则D.若数列为等比数列且,则的最小值为4三、填空题13.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________.14.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=________.15.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.16.等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{an}的前100项和为________.四、解答题17.已知等比数列{an}中,a1=,公比q=.(1)Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn=;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.18.容器A中盛有浓度为a%的农药mL,容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL,A,B两容器中农药的浓度差为20%(a>b),先将A中农药的倒入B中,混合均匀后,再由B倒入一部分到A中,恰好使A中保持mL,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?19.已知等差数列中,,.(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.20.数列的前项和为,且,数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)求证:数列是等比数列;(3)设数列满足,其前项和为,证明:.21.已知等比数列的前项和为,且.(1)求与;(2)记,求数列的前项和.22.已知数列满足:,.(Ⅰ)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(Ⅱ)记,求使成立的最大正整数n的值.(其中,符号表示不超过x的最大整数)答案解析一、单选题1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24【答案】A【解析】由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于()A.D.C.D.【答案】D【解析】公比为q,则由等比数列{an}各项为正数且an+1<an知0<q<1,由a2·a8=6,得aeq\o\al(2,5)=6.∴a5=,a4+a6=+q=5.解得q=,∴===.3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为()A.100B.-100C.10000D.-10000【答案】C【解析】∵a3a8a13=aeq\o\al(3,8),∴lg(a3a8a13)=lgaeq\o\al(3,8)=3lga8=6.∴a8=100.∴a1a15=aeq\o\al(2,8)=10000,故选C.4.在等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则()A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=1【答案】B【解析】由题意,可得a1·a2·a3·a4·a5=1,即(a1·a5)·(a2·a4)·a3=1,又因为a1·a5=a2·a4=aeq\o\al(2,3),所以aeq\o\al(5,3)=1,得a3=1.5.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】等比数列{an}中,a3a11=aeq\o\al(2,7)=4a7,解得a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=8.6.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是()A.190B.191C.192D.193【答案】C【解析】设最下面一层灯的盏数为a1,则公比q=,n=7,由=381,解得a1=192.7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2+a5=0,则等于()A.11B.5C.-8D.-11【答案】D【解析】设{an}的公比为q.因为8a2+a5=0.所以8a2+a2·q3=0.所以a2(8+q3)=0.因为a2≠0,所以q3=-8.所以q=-2.所以=====-11.故选D.8.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于()A.8B.12C.16D.24【解析】选C设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16.二、多选题9.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,<0.则下列结论正确的是()A.0<q<1B.a7a9<1C.Tn的最大值为T7
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