人教版高中数学选择性必修二同步练习全套（基础训练）

人教版高中数学选择性必修二同步练习全套（基础训练）《4.1数列的概念（第一课时）》同步练习一、选择题1．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．下列四个数中，哪个是数列中的一项（）A．55B．56C．57D．583．已知数列则是这个数列的（）A．第项B．第项C．第项D．第项4．在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则（）A．289B．295C．301D．3075．（多选题）已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A．B．C．D．6．（多选题）下列四个命题中，正确的有（）A．数列的第项为B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D．数列的通项公式为，则数列是递增数列二、填空题7．若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为________．8．如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有______.9．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为________．10.天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.三、解答题11.写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．12．已知数列的通项公式为.（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由（2）计算，并判断其符号；（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？《4.1数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为所以.故选：A2．下列四个数中，哪个是数列中的一项（）A．55B．56C．57D．58【答案】B【详解】由，有或（舍去）．所以正确；，，均无正整数解，则、、都不正确．故选：．3．已知数列则是这个数列的（）A．第项B．第项C．第项D．第项【答案】D【详解】由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项.故选：D.4．在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则（）A．289B．295C．301D．307【答案】B【详解】由题意可知即是2的倍数，又是3的倍数，即是6的倍数，则，所以，所以.故选：B.5．（多选题）已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】AC【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC6．（多选题）下列四个命题中，正确的有（）A．数列的第项为B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D．数列的通项公式为，则数列是递增数列【答案】ABD【详解】A，数列的第出项为，A正确；B，令，得或（舍去），B正确；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为C错误；D，，则，因此数列是递增数列，D正确，故选：ABD．二、填空题7．若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为______．【答案】【详解】观察数列得分母是2开始，故分母为，奇数项为负，故有，∴通项为8．如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有______.【答案】【详解】观察数列中的星星构成的规律：当时，有个，当时，有个，当时，有个，所以当时，有个。9．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为________．【答案】【详解】由数列是单调递增数列，所以，即，即（）恒成立，又数列是单调递减数列，所以当时，取得最大值，所以.10.天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.【答案】已巳【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则，2049年的天干为已，余6，2049年的地支为巳，故2049年为已巳年。三、解答题11.写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．【详解】（1）易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为．（2）易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成，…，故所求数列的通项公式可写为．（3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择．又第1项可改写成分数，所以每一项的分母依次为3，5，7，9…，可写成的形式，分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6……．可写成的形式．所以该数列的一个通项公式为．（4）这个数列的前4项可以变为即即所以它的一个通项公式为．12．已知数列的通项公式为.（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由（2）计算，并判断其符号；（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？【详解】（1）是,令,即,解得,0.25是数列的项,是第17项（2）由题,,,,即（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项《4.1数列的概念（第二课时）》同步练习一、选择题1．数列…的递推公式可以是（）A．B．C．D．2．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．3.数列的前项和，则（）．A．B．C．D．4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．645．（多选题）符合递推关系式an=2an-1的数列是()A.1,2,3,4,…B.1,2,2,22,…C.2,2,22,4,…D.0,2,2,22,…6．（多选题）已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．二、填空题7．记为等差数列的前n项和，若（），则_____________.8．已知数列满足，则______.9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=.10．若数列满足，，，则数列前项的积等于_____.三、解答题11．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有条边.（1）写出的值.（2）求出数列的递推公式.12．根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前项，并由此归纳出它的通项公式.（1），；（2），..《4.1数列的概念（第二课时）》答案解析一、选择题1．数列…的递推公式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的，所以递推公式为.故选：C.2．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】，，，，，.故选：A.3.数列的前项和，则（）．A．B．C．D．【答案】B【详解】当时，当时，验证，当时满足，故选：B．4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．64【答案】C【详解】，，，，，，，所以解下6个环所需的最少移动次数为.故选：C.5．（多选题）符合递推关系式an=2an-1的数列是()A.1,2,3,4,…B.1,2,2,22,…C.2,2,22,4,…D.0,2,2,22,…【答案】BC【详解】B与C中从第2项起,后一项是前一项的2倍,符合递推公式an=2an-1.6．（多选题）已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．二、填空题7．记为等差数列的前n项和，若（），则_____________.【答案】17【详解】因为，当时，，所以，又时，也适合上式，所以，所以.8．已知数列满足，则______.【答案】10【详解】由题得时，；当时，.9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=.【答案】8【详解】∵an=S1(n=1),Sn-Sn-10．若数列满足，，，则数列前项的积等于_____.【答案】【详解】，则，所以，，，则，所以，数列是以为周期的周期数列，且，所以，的前项的积为.三、解答题11．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有条边.（1）写出的值.（2）求出数列的递推公式.【详解】（1）.（2）由“雪花曲线”的作法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第条“雪花曲线”的四条边.∴.∴数列的递推公式为.12．根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前项，并由此归纳出它的通项公式.（1），；（2），.【详解】（1），，，，，，，所以，数列的通项公式为；（2），.，，，，.所以，数列的通项公式为.《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》同步练习一、选择题1．已知等差数列{an}中，，则公差d的值为（）A．B．1C．D．2．等差数列中，已知，，当时，则序号等于（）A．90B．96C．98D．1003．等差数列的第项是（）A．B．C．D．4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺5．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10B．C．D．10，8，6，4，26．（多选题）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数）B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．是与的等差中项二、填空题7．已知数列是等差数列，若，，则公差_____.8．在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1列123…第2列246…第3列369………………那么位于表中的第n行第列的数是__________.9．在数列中，，，则的值为__________.10．在等差数列中，，（、），则的值为__________.三、解答题11．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？12．数列的通项公式是．（1）求证：是等差数列，并求出其公差；（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．已知等差数列{an}中，，则公差d的值为（）A．B．1C．D．【答案】C【详解】等差数列{an}中，，则即3=9+6d,解得d=-12．等差数列中，已知，，当时，则序号等于（）A．90B．96C．98D．100【答案】D【详解】由题意，解得．故选：D．3．等差数列的第项是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题,等差数列,,,，，故选A4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺【答案】D【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，故可设该等差数列为，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，，，，公差为，由题可得：，即，解之得：，所以立夏的日影子长为：（尺）.故选：D.5．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10B．C．D．10，8，6，4，2【答案】ABC【详解】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；B中，（常数），所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足（常数），所以是等差数列.6．（多选题）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数）B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．是与的等差中项【答案】ABD【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD二、填空题7．已知数列是等差数列，若，，则公差_____.【答案】【详解】∵数列是等差数列设公差为，若，，解得．8．在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1列123…第2列246…第3列369………………那么位于表中的第n行第列的数是__________.【答案】【详解】由题意可得，第行的第一个数是，第行的数构成以为首项，为公差的等差数列，其中第项为.所以题表中的第行第列的数是.9．在数列中，，，则的值为__________.【答案】52【详解】由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以．10．在等差数列中，，（、），则的值为________.【答案】0【详解】由题,,三、解答题11．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，由，，即，解得，所以，数列的通项公式为.（2）由（1）可得.（3）令，解得，所以，是数列中的第项.12．数列的通项公式是．（1）求证：是等差数列，并求出其公差；（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？【详解】（1），则，，所以，数列是等差数列，且公差为；（2）令，即，解得；令，即，解得.所以，是该数列的第项，不是该数列中的项.《4.2.1等差数列的概念（第二课时）》同步练习一、选择题1．已知等差数列中，，则（）A．7B．11C．9D．182．等差数列中，，，则公差d=（）A．B．C．D．23．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（）A．505B．404C．303D．2024．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（）A．B．C．D．35．（多选题）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（）A．1B．3C．5D．76．（多选题）已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．二、填空题7．若数列是等差数列，且，则______.8．在等差数列中，，那么等于______.9．等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是______．10．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为______斤.三、解答题11．已知数列{an}为等差数列，且公差为d.（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d.12．在等差数列中，若，．（1）求数列的通项公式；（2）求的值．《4.2.1等差数列的概念（第二课时）》答案解析一、选择题1．已知等差数列中，，则（）A．7B．11C．9D．18【答案】C【详解】设等差数列的性质可知：，所以.故选：C.2．等差数列中，，，则公差d=（）A．B．C．D．2【答案】B【详解】等差数列中，，则，，所以，则，故选：B3．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（）A．505B．404C．303D．202【答案】A【详解】依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101为首项的等差数列，故.故.故选：A.4．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（）A．B．C．D．3【答案】B【详解】因为在等差数列中，，所以，，即.故选：B．5．（多选题）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（）A．1B．3C．5D．7【答案】ABD【详解】由题意得：插入个数，则，，，所以等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，所以，因为是数列的项，所以令，当时，解得，当时，解得，当时，解得，故k的值可能为1,3,7，故选：ABD6．（多选题）已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】设等差数列的公差为，易知，∵等差数列满足，且，，，故B，D正确，A错误.又，，,，故C错误.故选：BD.二、填空题7．若数列是等差数列，且，则______.【答案】【详解】是等差数列，，，.8．在等差数列中，，那么等于______.【答案】14【详解】因为数列为等差数列，且，根据等差数列的性质，可得，解答，又由.9．等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是____．【答案】【详解】∵等差数列从第项开始为负数，即，∴，解得．10．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为______斤.【答案】9【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.三、解答题11．已知数列{an}为等差数列，且公差为d.（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d.【详解】（1）等差数列{an}中，∵a15＝8，a60＝20，∴，解得，∴a105＝.（2）∵数列{an}为等差数列，且公差为d，且a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，∴a2+a5＝17，a2a5＝52，∴解得a2＝4，a5＝13.或a2＝13，a5＝4.∵a5＝a2+3d，∴13＝4+3d，或4＝13+3d，解得d＝3，或﹣3.12．在等差数列中，若，．（1）求数列的通项公式；（2）求的值．【详解】（1）根据题意，设等差数列的公差为，若，则，则，又由，则有，解可得：，当时，，当时，.（2）由（1）的结论，当时，，此时，当时，，则，则或．《4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）》同步练习一、选择题1．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于()A．10B．12C．15D．302．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A．21B．1C．﹣42D．03．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（）A．B．C．D．4．含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（）A．B．C．D．5．（多选题）记为等差数列的前n项和，已知，，则（）A．B．C．D．6．（多选题）已知递减的等差数列的前n项和为，若，则（）A．B．当时，最大C．D．二、填空题7．已知数列为等差数列且a5=2，则其前9项和S9=___________.8．已知数列的前项和为，若，，.则__________.9．设是等差数列的前项和，若，则=__________.10．在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.三、解答题11．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足________.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值.12．设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.《4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）》答案解析一、选择题1．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于()A．10B．12C．15D．30【答案】C【解析】因为等差数列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故选C.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A．21B．1C．﹣42D．0【答案】D【详解】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，解得d＝1，∴S7＝7×（﹣3）+＝0．故选：D．3．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题图可知，，，，，依此类推，每增加，图案中的点数增加，所以相应图案中的点数构成首项为，公差为的等差数列，，．故选：C．4．含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】设该等差数列为，其首项为，前项和为，则，，，．故选：B5．（多选题）记为等差数列的前n项和，已知，，则（）A．B．C．D．【答案】AC【详解】，，，则．故选：AC.6．（多选题）已知递减的等差数列的前n项和为，若，则（）A．B．当时，最大C．D．【答案】BC【详解】数列是等差数列，由，则，，又因为数列是递减数列，所以，，故A错误、B正确.，故C正确；，故D错误.故选：BC二、填空题7．已知数列为等差数列且a5=2，则其前9项和S9=___________.【答案】18【详解】因为数列为等差数列，所以.8．已知数列的前项和为，若，，.则__________.【答案】9【详解】若，则数列为等差数列，公差d＝2，由S5＝25，可得5+10×2＝25，所以＝1，则＝9．9．设是等差数列的前项和，若，则=__________.【答案】【详解】由等差数列的前项和公式可得：.10．在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.【答案】144【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，.三、解答题11．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足________.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值.【详解】（1）选条件①，因为数列是等差数列，设公差为，由解得：，所以，选条件②，因为数列是等差数列，设公差为，解得：所以，选条件③，因为数列是等差数列，设首项为，公差为，由即，解得，所以（2）由（1）知，，令，可得，令，可得，所以前项都是正值，从第项起是负值，故当时，最大..12．设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由题意得，解得，所以；（2）由（1）得，则，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以.《4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）》同步练习一、选择题1．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（）A．米B．米C．米D．米2．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给6个人，使每人所得成等差数列，且较少的三份之和是较多的三份之和的，则最少的一份为（）A．磅B．6磅C．磅D．磅3．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（）A．无最大值，有最小值B．有最大值，无最小值C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值4．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A．15天B．16天C．17天D．18天5．（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A．B．最大C．D．6．（多选题）等差数列的前n项和，且，，则下列各值中可以为的值的是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题7．等差数列的前项和为，且，，当_____时，最大.8．已知等差数列和的前项和分别为与，且，则____．9．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为__________.10．已知数列为等差数列，，表示数列的前项和，若当且仅当时，取到最大值，则的取值范围是_______三、解答题11．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位数；（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）12.新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).《4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）》答案解析一、选择题1．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（）A．米B．米C．米D．米【答案】B【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为，则，故，，故，则.故选：B.2．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给6个人，使每人所得成等差数列，且较少的三份之和是较多的三份之和的，则最少的一份为（）A．磅B．6磅C．磅D．磅【答案】C【详解】由题意，设数列前6项为，则，解得，所以，故选：C3．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（）A．无最大值，有最小值B．有最大值，无最小值C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值【答案】A【详解】由数列为等差数列，且，得，故数列为递增数列，且，所以有最小值，无最大值，故选：A.4．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A．15天B．16天C．17天D．18天【答案】A【详解】设他们每天收到的捐款形成数列，则由题可得是首项为10，公差为10的等差数列，，解得（舍去）或，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.5．（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A．B．最大C．D．【答案】ABD【详解】因为，故，所以，因为等差数列为递减数列，故公差，所以，故AB正确.又，，故C错误，D正确.故选：ABD.6．（多选题）等差数列的前n项和，且，，则下列各值中可以为的值的是（）A．3B．4C．5D．6【答案】CD【详解】因为等差数列的前n项和，所以可设，因为，，所以，即，解得，所以，当且仅当时等号成立，又，所以等号不能取得，因此，故CD正确，AB错.故选：CD.二、填空题7．等差数列的前项和为，且，，当________时，最大.【答案】6或7【详解】解：因为，所以，化简得，所以，因为，所以，所以，它的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为，因为，所以当或时，取得最大值，故答案为：6或78．已知等差数列和的前项和分别为与，且，则______．【答案】【详解】解：由，设，，则，，.故答案为：9．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为__________.【答案】369【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角上的两个数相加正好等于，根据等差数列的求和公式，，故.10．已知数列为等差数列，，表示数列的前项和，若当且仅当时，取到最大值，则的取值范围是________【答案】【详解】由，得即当且仅当时，取到最大值，则则，即，得到由，可得故答案为：三、解答题11．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位数；（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）【详解】解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列，其中首项，公差，所以第六排的座位数．（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，首项，公差，所以数列前10项和．故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．12.新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：)（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前年的年平均利润=).【详解】（1）每台充电桩第年总利润为所以每台充电桩第3年开始获利（2）每台充电桩前年的年平均利润当且仅当时取等号所以每台充电桩前8年的年平均利润最大《4.3.1等比数列的概念（第一课时）》同步练习一、选择题1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（）①数列1，2，6，18，…；②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.A．1个B．2个C．3个D．4个2．与的等比中项是（）A．1B．C．2D．或13．已知中，，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（）A．B．C．D．或5．（多选题）下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（）．A．（为常数）B．（为常数）C．D．6．（多选题）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A．B．C．D．当时，二、填空题7．在等比数列中，，公比，则.8．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则.9．已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)10．已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于．三、解答题11．已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.12．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式及前n项和；（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．《4.3.1等比数列的概念(第一课时)》答案解析一、选择题1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（）①数列1，2，6，18，…；②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.2．与的等比中项是（）A．1B．C．2D．或1【答案】D【详解】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.3．已知中，，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解:因为中，，,所以数列是首项为,公比的等比数列,设通项公式为:,所以.故选:C4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（）A．B．C．D．或【答案】C【详解】由题知，因为为等差数列，所以，又，则，从而.故选：C．5．（多选题）下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（）．A．（为常数）B．（为常数）C．D．【答案】ABD【详解】解：对于A.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C.根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；故选：ABD.6．（多选题）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A．B．C．D．当时，【答案】ABC【详解】由题意，设数列的公比为，因为，得，当时，，此时，当时，，故不正确的是ABC.故选：ABC.二、填空题7．在等比数列中，，公比，则.【答案】【详解】由题知.8．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则.【答案】【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且.9．已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)【答案】，，（答案不唯一）【详解】因为数列的通项公式为，所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，显然，所以，，能构成等比数列.故答案为：，，10．已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于．【答案】【详解】由题意，，，∴．三、解答题11．已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.【详解】解：设等比数列的公比为q，由题意得：，即，即，所以或（舍），所以．12．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式及前n项和；（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，；（2），，则公比为，.《4.3.1等比数列的概念（第二课时）》同步练习一、选择题1．已知等比数列中，，，则公比q=（）A．B．C．D．22．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）A．B．C．D．3．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A．公差为2的等差数列B．公差为的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为的等比数列4．在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．5．（多选题）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（）．A．2006年底人类知识总量是B．2009年底人类知识总量是C．2019年底人类知识总量是D．2020年底人类知识总量是6．（多选题）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）A．是公比为的等比数列B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列D．是公比为的等比数列二、填空题7．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________.8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________.9．在等比数列中，，，则值为______．10．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.三、解答题11．已知数列的前n项和．（1）证明：是等比数列．（2）求数列的前n项和．12．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．《4.3.1等比数列的概念(第二课时)》答案解析一、选择题1．已知等比数列中，，，则公比q=（）A．B．C．D．2【答案】B【详解】，即，解得.故选：B.2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列，公比为，第六个单音的频率.故选：B.3．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A．公差为2的等差数列B．公差为的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为的等比数列【答案】A【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，所以，，，所以数列是公差为2的等差数列，故选A.4．在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：．∵在等比数列中，，所以．故选：B．5．（多选题）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（）．A．2006年底人类知识总量是B．2009年底人类知识总量是C．2019年底人类知识总量是D．2020年底人类知识总量是【答案】BCD【详解】2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了番.2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为，故A错.2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了番.则2009年底，人类知识总量为，故B正确，2009年到2009年每一年翻一番，则总共翻了番则2019年底，人类知识总量为，故C正确.2020年是每73天翻一番，则总共翻了番，则2020年底，人类知识总量为，故D正确.故选：BCD.6．（多选题）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）A．是公比为的等比数列B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列D．是公比为的等比数列【答案】AB【详解】由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.故选：AB.二、填空题7．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________.【答案】2【详解】数列是等比数列，则，所以，而，，所以公比.8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________.【答案】7【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则为以8为首项，以为公比的等比数列，所以其通项公式为，令可得，.9．在等比数列中，，，则值为__________．【答案】6【详解】因为是等比数列，，所以．10．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】由可得，数列是首项和公比均为的等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.三、解答题11．已知数列的前n项和．（1）证明：是等比数列．（2）求数列的前n项和．【详解】（1）当时．，，又，所以的通项公式为．因为，所以是首项为9，公比为3的等比数列．（2）因为，所以，所以数列的前n项和：.12．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．【详解】（1）由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元，每项诺贝尔奖发放奖金为万美元；（2）由题意得，，…所以，年诺贝尔奖发奖后基本总额为，年每项诺贝尔奖发放奖金为万美元，故该推测具有可信度．《4.3.2等比数列的前n项和公式（第一课时）》同步练习一、选择题1．已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．2．我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（）A．32盏B．64盏C．128盏D．196盏3．等比数列1，，，，…的前项和（）A．B．C．D．4．记正项等比数列的前n项和为，若，，则（）A．2B．－21C．32D．635．（多选题）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（）A．B．C．D．6．（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则二、填空题7．对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和___________.8．在等比数列中，是数列的前n项和．若，则__________.9．已知等比数列的前项和为，设，那么数列的前15项和为_________.10．设等比数列的前n项和为．若，，，则_________．三、解答题11．已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.12．数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项；（2）求数列的前n项和．《4.3.2等比数列的前n项和公式(第一课时)》答案解析一、选择题1．已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由可得数列为等比数列，所以，故选：A2．我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（）A．32盏B．64盏C．128盏D．196盏【答案】C【详解】设最底层的灯数为，公比，，解得：.3．等比数列1，，，，…的前项和（）A．B．C．D．【答案】C【详解】当时，；当且时，.∴，故选：C4．记正项等比数列的前n项和为，若，，则（）A．2B．－21C．32D．63【答案】D【详解】设正项等比数列的公比为，因为，，所以，即，解得，所以.故选：D.5．（多选题）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（）A．B．C．D．【答案】AC【详解】由，，成等差数列，得.设的公比为，则，解得或（舍去），所以，解得.所以数列的通项公式为，，故选：AC.6．（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则【答案】BC【详解】若，当时，，不满足，故A错误.若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.若是等差数列，则，故C正确.，故D错误.故选：BC二、填空题7．对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和___________.【答案】30【详解】由题设可得，故，故为等比数列，其首项为2，公比为2，故.8．在等比数列中，是数列的前n项和．若，则__________.【答案】6【详解】设的公比为q，则．9．已知等比数列的前项和为，设，那么数列的前15项和为_________.【答案】120【详解】因为若，则，不成立，所以，则，解得，所以，所以，所以数列的前15项和为.10．设等比数列的前n项和为．若，，，则_________．【答案】155【详解】由等比数列的性质可知，，，，是等比数列，由条件可知，，则此等比数列的公比，又，所以，，所以.三、解答题11．已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，所以数列的前n项和.12．数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项；（2）求数列的前n项和．【详解】（1）因为，所以，两式相减得：，所以，即，又，，则不满足上式，所以数列是从第2项开始，以3为公比的等比数列，所以；（2）由（Ⅰ）可得，所以当时，，当时，，综上：《4.3.2等比数列的前n项和公式（第二课时）》同步练习一、选择题1．如图，已知面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2020个三角形面积为（）A．B．C．D．2．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58A．34B．35C．36D．373．数列的通项公式，则数列的前5项和等于（）A．B．C．D．4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元.则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为（）A．93万元B．45万元C．189万元D．96万元5．（多选题）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍6．（多选题）计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列二、填空题7．某同学让一弹性球从128米高处下落，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，则第8次着地时球所运动的路程的和为________m.8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为________.9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则实数的值为____10．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（）三、解答题11．有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3个，余下的每个再分裂成2个，设小时后细胞个数为.（1）求出、，并写出与的递推公式；（2）求出数列的通项公式，问：至少多少小时后细胞个数超过10000个？12．某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．（参考数据：，，）《4.3.2等比数列的前n项和公式(第二课时)》答案解析一、选择题1．如图，已知面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2020个三角形面积为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】观察图形可知后一个三角形的面积是前一个的，设第n个三角形的面积为，则数列是首项为，公比为的等比数列，，第2020个三角形面积为.故选：B.2．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58A．34B．35C．36D．37【答案】D【详解】设第轮感染人数为，则数列为等比数列，其中，公比为，所以，解得，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为．3．数列的通项公式，则数列的前5项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以则数列的前5项和.4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元.则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为（）A．93万元B．45万元C．189万元D．96万元【答案】A【详解】设第一到第五实验室的设备费用分别为；则由题意成等比数列，设公比为，且，；，解得或（舍）；由得.所以.5．（多选题）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BCD【详解】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列．所以，解得．选项A：，故A错误，选项B：由，则，又，故B正确．选项C：，而，，故C正确．选项D：，则后3天走的路程为，而且，D正确．故选：BCD．6．（多选题）计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列【答案】ABC【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，由可得，两式相减得：，所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，所以，在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC二、填空题7．某同学让一弹性球从128米高处下落，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，则第8次着地时球所运动的路程的和为________m.【答案】382【详解】记第次落地到第次落地之间球运动的路程为，则是首项米，公比为的等比数列，所以第8次着地时球所运动的路程的和为米.8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为________.【答案】3【详解】设等比数列为，其公比为，由题意知，，可得，因为，所以，解得或（舍去），当时，可得，解得.9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则实数的值为_____【答案】【详解】当时，，两式相减得，即，并且数列是等比数列，所以，，，当时，，解得.10．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（）【答案】12【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，，所以，则，要使，则，解得，故n的最大值为12.三、解答题11．有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3个，余下的每个再分裂成2个，设小时后细胞个数为.（1）求出、，并写出与的递推公式；（2）求出数列的通项公式，问：至少多少小时后细胞个数超过10000个？【详解】（1）由题意，，；（2）由（1），所以，，所以数列是等比数列，公比为，，由，由于，所以，，所以至少12个小时后细胞个数超过10000个．12．某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．（参考数据：，，）【详解】（1）依题意，，整理得：，，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，，∴2029年初资金翻再现两番∴，解得，所以的最大值是84．《4.4数学归纳法》同步练习一、选择题1．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（）A．B．C．D．2．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．B．C．D．3．用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对