2020-2021学年浙江省杭州市中考数学1（解析版）

2020-2021学年浙江省杭州市中考数学冲刺卷1

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的.

1.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）某校组织学生参观植物园时，了解到某

种花的花粉颗粒的直径大的为0.0000065米,将0.0000065用科学记数法表示应为（）

A.6.5xlO6B.6.5x10'C.6.5xIO-5D.6.5x10^

【答案】D

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为"10”，与较大数的科学

记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的

0的个数所决定.

【详解】

解：0.0000065=6.5x10-6,

故选：D.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为其中〃为由原数

左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.（本题3分）（2021•杭州育才中学九年级二模）16的平方根是（）

A.±4B.0C.-2D.-16

【答案】A

【分析】

根据平方根的定义即可得出结果.

【详解】

解：16的平方根是：±4

故选：A

【点睛】

此题考查了平方根的定义，一个非负数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数.

3.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期中）如图，物体的俯视图是（）

上面

【答案】D

【分析】

俯视图是从物体上面看所得到的图形.

【详解】

解：从物体上面看，是横行并排的三个正方形，

故选D.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种

视图混淆而错误的选其它选项.

4.（本题3分）（2021•浙江杭州市•九年级期末）如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙

上，梯子AB的长是2米.若梯子与地面的夹角为a,则梯子顶端到地面的距离（BC

的长）为（）

试卷第2页，总30页

22

A.2sinc米B.2cos。米C.—-----米D.--------米

sinacosa

【答案】A

【分析】

直接利用锐角三角函数关系得出sina=型=空，进而得出答案.

AB2

【详解】

上Hk缶—BCBC

由欣意可得：sinCt-----------,

AB2

故BC=2sina（米）.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了解宜角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键.

5.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）下列计算正确的是（）

A.无2_*+1=（九一;+1B.（一2a2）3=_6。6

C.（x-1）'=%2—2,x—1D.一

a

【答案】D

【分析】

根据完全平方公式、积的乘方和同底数慕的除法计算判断即可.

【详解】

（1Y3

解：4、x2-x+\^\x--+-,故错误：

I2）4

B、（—2再=—",故错误;

C、（x—1）~=X?—2x+1,故错误；

4

D、a^a=^-=-，故正确；

/a

故选。.

【点睛】

本题考查了完全平方公式、积的乘方和同底数嘉的除法，关键是根据法则进行计算.

6.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级）如图，BD、CE是DABC的中线，P、Q

分别是BD、CE的中点，则PQ：等于（）

A.1:3B.1:4C.1:5D.1:6

【答案】B

【分析】

连接DE,连接并延长EP交BC于点F,利用DE是ABC中位线，求出FC=^BC,

再用PQ是EFC中位线，PQ=；CF,即可求得答案.

【详解】

解：连接DE,连接并延长EP交BC于点F,

试卷第4页，总30页

DE是ABC中位线,

DE=—BC,AE=BE,AD=CD,

2

□□EDBZLZDBF,

□P>Q是BD、CE的中点，

DP=BP,

.在一DEP与BFP中，

NEDB=NDBF

<DP=BP,

NEPD=NBPF

EODEPDZBFP(ASA),

DBF=DE=—BC,P是EF中点，

2

FC=—BC,

2

PQ是EFC中位线，

PQ=yFC,

□PQ：BC=1：4.

故选:B.

【点睛】

此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE,连接并延长EP交BC于点

F,求出DEPBFP,FC=-BC,是解答此题的关键.

2

7.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期中）一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间

都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可

列方程为（）

A.—x(x-1)=45B.—x(x+1)=45

22

C.x(x-1)=45D.x(x+1)=45

【答案】A

【分析】

关系式为：棋手总数X每个棋手需赛的场数+2=45,把相关数值代入即可.

【详解】

解：本次比赛共有x个参赛棋手,

所以可列方程为：-X（X-1）=45.

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量

关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.

8.（本题3分）（2020•浙江杭州市•）关于x的二次函数y=f+2乙+4-1,下列说法

正确的是（）

A.对任意实数A,函数图象与x轴都没有交点

B.对任意实数A,函数图象没有唯一的定点

3

C.对任意实数h函数图象顶点的纵坐标都小于等于W

D.对任意实数A,当xi—k-1时，函数y的值都随x的增大而增大

【答案】C

【分析】

利用•元二次方程根的判别式即可判断A选项；将原二次函数解析式改写为

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m2x+l）=y+l—令2x+l=0,则>+1—炉=0即可判断B选项；将该二次函

数一般式改写为顶点式为y=（x+女>-/+左-1,故其顶点纵坐标为一女2十左一1，求

其最值即可判断C选项.根据其对称轴为％=-左可判断D选项.

【详解】

A、A=4%2_4（&-l）=（2A-l）2+3>0,抛物线与x轴有两个交点，故该选项不符合

题意；

,,13

B、k（2.x+1）=y+1—x2,则2x+l=0,y+l—x=0,定点为（—,---），故该选

24

项不符合题意；

C、将二次函数一般式改写为顶点式为y=（x+女尸-父+女―1,所以其顶点纵坐标为

1333

-e+k-\,-k2+k-i=-（k一一）2--<--,所以其顶点纵坐标都小于等于一一，

2444

故该选项符合题意；

D、对称轴为直线％=—左，则x>—左时，函数y的值都随x的增大而增大，而一人〉—2—1,

则不一定y的值都随x的增大而增大，故该选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质与其图象的性质，掌握将二次函数一般式改为顶点式与判断二

次函数的增减性是解答本题的关键.

9.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，点/在直

线/上，以/为圆心，OA为半径的圆与），轴的另一个交点为E,给出如下定义：若线

段0E,□A和直线/上分别存在点5,点C和点O,使得四边形ABC。是矩形（点

A,B,C,D顺时针排列），则称矩形ABC。为直线/的“理想矩形”.例如，右图中的矩

形ABCD为直线/的“理想矩形”.若点A（3,4）,则直线）=丘+1（左。（））的“理想矩

形”的面积为（）

A.12B.3AC.4x/2D.372

【答案】B

【分析】

过点A作AFJ_y轴于点尸，连接A。、AC,如图，根据点A(3,4)在直线丁=履+1

上可求出A,设直线y=x+l与,轴相交于点G,易求出OG=1,ZFG4=45°,根据

勾股定理可求出AG、AB、8c的值，从而可求出“理想矩形”438面积.

【详解】

解：过点A作轴于点尸，连接A。、AC，如图.

•.,点A的坐标为(3,4),

AC=AO=V32+42=5>AF=3,OF=4.

•.•点A(3,4)在直线丁=丘+1匕

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3Z+1=4,

解得攵=1.

设直线y=x+l与y轴相交于点G，

当x=0时，y=l,点G（O,1）,OG=L

.-.FG=4-1=3=AF,

.-.ZFGA=45°,AG=j32+3,=3&-

在RtAGAB中，AB=AGQan45°=30.

在RtAABC中，BC=AC2-AB2=j52-（3>^）2=V7.

所求“理想矩形"ABC。面积为ABH3C=30xJ7=3后；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角

函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键.

10.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）已知二次函数），=以2+区—1（“，b

是常数，axO）的图象经过A（2,l）,8（4,3）,C（4,—1）三个点中的其中两个点.平

移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵

坐标的（）

A.最大值为-1B.最小值为一1C.最大值为-1D.最小值为-!

22

【答案】C

【分析】

分二次函数的图象经过点A,B或点A,点C两种情况讨论求解即可.

【详解】

解：由题意得，二次函数的图象经过点A,B或点A,点C,

□若经过点A和点B

把A(2,1),B(4,3)代入y="2+云_i得

1=4。+2。-1

3=16。+4/7-1

解得。=0,力=1

□二次函数的图象不能经过点A,B；

匚若经过点A、点C,则有

J1=4。+2/7-1

-1=l6a+4h-\

解得，a=--.b=2

2

y=-^x2+2x-l,

b

当x=-----=2时，y=l

2a

则点A(2,1)是y=-3^2+2%一1,的顶点

此时二次函数的顶点在丁=%-1匕且与y轴交点，纵坐标为-1,故D不符合题意;

试卷第io页，总30页

y=--x2+2x-l=--（x-2）2+l经过平移，顶点始终在直线y=X-1上，

22

故平移后函数表达式为丁=一3（%-2-。）2+。+1,其中。为沿*轴正方向平移的单位，

C取实数，

1,1,

当x=0时，y=——（一2—c）-+c+l=—C-—c—1

22

当。=一二=一1时，y有最大值，为：y--■-+1—1=一■-

2a22

故选：C

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需

要的条件，利用二次函数的性质解答.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.（本题4分）（2020•浙江杭州市•九年级其他模拟）如图，直线。直线。与直线a,b

分别交于点A,5,若Nl=45。，则N2=•

【答案】135°

【分析】

直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案.

【详解】

口直线a「b01=45°,

3=45°,

□□2=180°-45°=135°.

故答案为：135。.

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，正确得出3的度数是解题关键.

12.（本题4分）（2021•浙江九年级专题练习）某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了

100张奖券，设特等奖1名，一等奖10名，二等奖20个，三等奖30个，已知每张奖

券获奖可能性相同，则抽一张奖券获得特等奖或一等奖的概率是.

【答案】需

【分析】

直接利用概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可

能出现的结果数，从而可得答案.

【详解】

解：抽一张奖券获得特等奖或一等奖的概率=匕£=?

100100

故答案为焉

试卷第12页，总30页

【点睛】

本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有

可能出现的结果数.掌握公式是解题的关键.

13.(本题4分)(2021•浙江九年级专题练习)对于实数，〃，〃，定义一种运算“*”为:

m^n=mn+n.如果关于x的方程(6**)=」有两个相等的实数根，则。=

【答案】0

【分析】

由于定义一种运算“*"为：m*n=mn+n,所以关于x的方程x*(a*x)=一,变为(a+l)

4

x2+(a+l)x+-=0,而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的

4

一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题.

【详解】

解：由x*(a*x)=-—W-(a+i)x2+(a+l)x+—=0,

44

依题意有a+l#),

□=(a+l)2-(a+l)=0,

解得，a=0,或a=-l(舍去).

故答案为：0.

【点睛】

此题考查了新定义，一元:次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得

到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题.

14.(本题4分)(2020•杭州市十三中教育集团(总校)九年级其他模拟)因式分解：

(x-2)2-16=•

【答案】(x+2)(x-6).

【分析】

直接利用平方差公式分解因式得出即可.

【详解】

(x-2)2-16

=(x-2+4)(x-2-4)

=(x+2)(x-6).

故答案为(x+2)(x-6).

【点睛】

此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键.

15.(本题4分)(2021•浙江杭州市•九年级期末)如图，［2ABC内接于口0,□BAC=70。，

D是BC的中点，且IAOD=156。，AE,C尸分别是5C,48边上的高，贝!15C尸的度

数是.

g)

【答案】23。

【分析】

连接OB、OC,根据垂径定理求出ZBOD,再根据角的性质计算出NAOB,根据

OA=OB

计算出NABO,从而能够求出NABC，最后根据。尸AB.求出NB6的大小.

【详解】

连接08、OC

试卷第14页，总30页

B\ED7C

OB=OC，。是8c的中点

ZBOD=-ZBOC=ZBAC=70°

2

ZAOB=ZAOD-ZBOD=156°-70°=86°

OA=OB

ZDBC=90°-70°=20°

ZABC=ZABO+Zi9BC=47。+200=67。

CFAB

ZBCF=90°-^BC=90°-67°=23°

故答案为：23°

【点睛】

本题考查圆的垂径定理，圆周角和圆心角关系，以及直角三角形的性质，属于基础题.

16.（本题4分）（2020•浙江杭州市•九年级一模）如图，在矩形4BC0中，点E是边

OC上一点，连结8E,将LBCE沿8E对折，点C落在边/O上点尸处，5E与对角线

NC交于点连结尸M.FMJCD,8c=4.则4/=

D

【答案】2^/5-2

【分析】

由对折的性质得ZBCM=ZBFM,BC=BE，再由EM//CD,证明NBFM=ABF,

从而得4MsMc4,由相似三角形的性质求得A8,进而由勾股定理得AE.

【详解】

解：•••四边形A5CD是矩形，

：.ZABC=NBAD=90°，AB//CD，

•：FMHCD,

.-.FM//AB,

:.ZABF=NBFM,

由折叠的性质得，BF=BC=4,NBFM=ZACB,

：.ZABF=ZACB,

/SABF^NBCA,

ABBF

：.——=——,

BCCA

AB4

"4JAB?+42'

即现=16

16AB2+16

试卷第16页，总30页

•••AB2=875-8，

AF=\lBF2-AB2=716-8>/5+8=J24-86=J（2石-2『=2k-2.

故答案为：26—2.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，关键

是证明三角形相似.

三、解答题：本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题6分）（2020•浙江杭州市•九年级月考）解分式方程±土=」—一2.

x-22-x

।--------------------------i

!圆圆的解答如下：

'解：去分母，得l_x=_l_2.

化简，得x=4.

经检验，x=4是原方程的解•

•原方程的解为x=4.

Jtsea*（Hita：.：.SSm

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.

【答案】不正确，正确的解答见解析

【分析】

先去分母，化为整式方程，故可求解判断.

【详解】

解：不正确

去分母，得l-x=T-2（x-2）,

去括号，得1—x=—1—2,x+4，

解得x=2.

经检验，尤=2是增根，舍去.

口原方程的解为无解.

【点睛】

此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的解法.

18.（本题8分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）某校艺术节共开展了四项活动：器乐

（A）,舞蹈（B）,绘画（C）,唱歌（。），每名学生只能参加一项活动.学校对学生所

选的项目进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图

某校学生参加艺术节所选项目的统计图

请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有人.

（2）补全条形统计图.

（3）该校共有500名学生，请估计选择“绘画”的学生有多少人？

【答案】（1）100；（2）图见解析；（3）选择“绘画”的学生有100人.

【分析】

（1）用选择D项目的人数和其所占的百分比即可求出答案.

（2）先求出B项目的人数，即总人数减其他项目的人数，即可补全统计图.

（3）用该校的总人数乘以“绘画”的学生所占的百分比即可.

【详解】

（1）本次调查的学生共有：

40・40%=100（人）.

试卷第18页，总30页

（2）参加B项活动的人数是：100-30-20-40=10（人）,

补全统计图如下：

人数

（3）根据题意得：

20

选择“绘画”的学生有：500x—=100（人）.

【点睛】

本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用.从统计图中得到必要的信息是解决问题

的关键.

19.（本题8分）（2020•杭州启正中学九年级期中）已知，四边形ABC。的两条对角相

交于点P,ZADB=^BCA.

（1）求证：/10/匕08cp.

（2）若DC=AP=6,DP=3,求AB的长.

【答案】（1）见解析；（2）12

【分析】

⑴利用已知角和对顶角直接证即可,

（2）利用口皿538。。得一=——，和对顶角ZDPC=ZAPB，可证口。。口切A3P，

ABAP

CDDP

由相似得J=——，将已知代入计算即可.

A3AP

【详解】

（I）-.-ZADB=ZBCA，即ZADP=ABCP且ZDPA=NCPB,.•.△ADPs^BCP.

（2）山（D得：□ADfMZBCP,

DPCP

---=—>且ZDPC=Z.A.PB，

APBP

.QDCP^QABP,

c—CD=-D-P,

ABAP

又CD=6,DP=3、AP=6,

63

；•——=-，

AB6

解得AB=12.

【点睛】

本题考查三角形相似判定，及相似三角形的性质，掌握三角形相似判定，及相似三角形

的性质，会利用相似三角形的性质解决问题是关键.

20.（本题10分）（2019•浙江杭州市•九年级其他模拟）如图，在口人与。中，

ZABC=90°,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90。得到线段AO,E是边BC

上的一动点，连接DE交AC于点F,连接8户.

（1）求证：FB=FD；

（2）点H在边跳;上（不含端点），且BH=CE,连接AH交8产于点N.请在答卷

试卷第20页，总30页

上将图形补充完整并解答:

口判断A"与6b的位置关系，并证明你的结论；

□若DABN和△CEF的面积分别为a和b,求四边形的面积(用含a和b的代

数式表示).

【答案】(1)证明见解析：(2)AHL5/7，证明见解析：a-2b.

【分析】

(1)证明RFADFAB(SAS)即可解决问题；

(2)U首先证明四边形ABCD是正方形，再证明LBAH=LCBF即可解决问题；

设设5则=%，S四边形MNH=丫，再根据ABHDCE,BCFDCF,得出

SBCF=SDCF=x+y+b,进而求解一

【详解】

(1)证明：如图1中,

却

BA=BC,ZABC=90°,

ZR4C=ZACB=45。，

线段AB绕点A逆时针旋转90。得到线段AD，

NBAD=90。,BA=AD,

NFAD=NFAB=45°.

AF^AF-

[]FAD^\FAB（SAS）,

BF=DF.

（2）解：结论：AH±BF.

理由：如图2中，连接。.

图2

ZABC+ABAD=1SO°,

AD//BC.

AD=AB=BC，

四边形ABC。是平行四边形.

ZABC=90°.

四边形ABC。是矩形.

AB=BC,

四边形ABC。是正方形.

BA=CD,ZABH=NDCE,BH=CE,

UABH^DCE（SAS）,

ZBAH=ZCDE,

ZFCD=ZFCB=45°,CF=CF,CD=CB,

□CFD^]CFB（SAS）,/CDF=ZCBF,

ZBAH=ZCBF,

试卷第22页，总30页

NCBF+ZABF=90°,

NB4H+NAB产=90°，

ZAA®=90°，

AHYBF.

口如图2,匚ABH口E1DCE,OBCFOnDCF,

设SBHN=X>S四边形EFNH=y>

则SBCF=SDCF~x+y+b,

SnCE=（x+y+b）+b=x+y+2b,

=

SABHSABN+SBHN="+X=Sdce,

即a+x=x+y+2b,Dy=a-2b.

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形解决问题.

21.（本题10分）（202卜浙江九年级专题练习）已知点A（x，y）,是反比例

k

函数y=—（ZwO）图象上两点.

X

（1）若点A,B关于原点中心对称，求5XM-7&X的值（则用含k的代数式表示）.

（2）设玉=。-1,9=。+1,若“<必，求a的取值范围.

【答案】（1）2k；（2）%>0时，-当左<0时，a<—1或。>1

【分析】

（1）利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到玉=-々，M=一当，则

5%%一=2±%，然后利用反比例函数图像上点的坐标得到％%=%，从而得到

5Aly2的值；

（2）分类讨论：当上>0时，点A、B在不同象限，则“一1<0<。+1；当左<0时，

点A、B在相同象限，则a+l<0或。一1<0,然后分别解不等式即可.

【详解】

解：（1）1点A,B在反比例函数的图象上，且关于原点中心对称，

%=-々，%=-%，

一7%2%=-5々必+7々必=，

3（天,%）是反比例函数y=：（左H0）图象上，

x2y2=k,

5xly2-lx2yl=2k.

（2）当Z>0时，x1=a-I,x2=a+1,yt<y2,

ci-1<0<a+1,解得—1<。<1；

当％<0时，x1=a-l,x2=a+1,X<>2，

a+l<0或a-l<0，解得a<—1或a>1,

综上所述，Z〉0时，-1<«<1；当攵<0时，a<一1或a>l.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质.

22.（本题12分）（2019•浙江杭州市•九年级其他模拟）在平面直角坐标系X。），中，抛

物线y=2f-8x+6与k轴交于点N、5（点N在点5的左侧），与j，轴交于点C.点

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。的坐标为(0,加)，过。作y轴垂线与抛物线相交于点P(玉，x),Q(w，%)(点尸

在点。的左侧)，与直线8c相交于点"(七,％).

(1)在同一坐标系内画出抛物线y=2/—8x+6与直线5c的草图；

(2)当2<小<4时，比较芭，x2,七的大小关系；

(3)若玉<々<%3，求玉+工2+%3的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)X1<X3<X2;(3)7<X1+X2+X3<8

【分析】

(1)利用二次函数图象匕点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，依此画出草图；

(2)观察图1,即可找出：当2Vm<4时.，X1<x3<X2；

(3)根据抛物线的解析式可找出顶点坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，

观察图2可找出，若xi<X2<X3,则-2<mV0,利用一次函数图象上点的坐标特征可得

出3<X3<4,由二次函数图象的对称性结合抛物线的对称轴为直线x=2可得出XI+X2=4,

结合3<X3<4即可找出X1+X2+X3的取值范围.

【详解】

解：(1)当y=0时,有谭-阮+6=0,

解得：X=1或x=3,

□点力的坐标为(1,0),点8的坐标为(3,0)；

当x=0时，y=2x2-8x+6=6,

口点C的坐标为(0,6).

画出草图如图1所示.

(2)由图1可知,当2VmV4时,x\<X3<X2.

(3):抛物线的解析式为y=2y2-8x+6,

抛物线的顶点坐标为（2,-2）.

设直线BC的解析式为夕=依+6（原0）,

将8（3,0）、C（0,6）代入y=h+3,得:

3k+b=0k=-2

>解得：*

0=6b=6

直线BC的解析式为y=2t+6.

由图2可知，若xi<X2〈X3,则-2<，〃V0,

□3<X