《第十一章统计与统计案例》章节训练习题

《第十一章统计与统计案例》章节训练习题第1讲随机抽样[基础题组练]1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3解析：选D.由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为()A．10 B．12C．18 D．24解析：选A.根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为eq\f(90,180＋270＋90)×60＝10.3．现用系统抽样方法从已编号(1～60)的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是()A．5，10，15，20，25，30 B．2，4，8，16，32，48C．5，15，25，35，45，55 D．1，12，34，47，51，60解析：选C.从60枚新型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为eq\f(60,6)＝10，只有C选项中导弹的编号间隔为10.4．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(63016378591695556719981050,717512867358074439523879))第8行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(33211234297864560782524207,443815510013429966027954))第9行A．07 B．25C．42 D．52解析：选D.依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…，因此选出的第6个个体是52，选D.5．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B.35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．6．为了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝eq\f(N,n)(N为总体的容量，n为样本的容量)，所以k＝eq\f(N,n)＝eq\f(1200,30)＝40.答案：407．某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n＝________．解析：依题意得，eq\f(80,120＋100＋80＋60)＝eq\f(16,n)，由此解得n＝72.答案：728．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．解析：设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，则z＝2000－100－300－150－450－600＝400.答案：4009．最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120y40学生xz130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y.(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．解：(1)由题意知eq\f(x,500)＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60.因为z＝2y，所以y＝20，z＝40.则应抽取“不赞成改革”的教师人数为eq\f(50,500)×20＝2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为eq\f(50,500)×40＝4.(2)至少有1名教师被选出的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(12＋4,20)＝eq\f(4,5).10．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq\f(5,39)，求x，y的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，所以eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．所以从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为eq\f(7,10).(2)由题意，得eq\f(10,N)＝eq\f(5,39)，解得N＝78.所以35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，所以eq\f(48,80＋x)＝eq\f(20,50)＝eq\f(10,20＋y)，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分别为40，5.[综合题组练]1．某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为()A．8，14，18 B．9，13，18C．10，14，16 D．9，14，17解析：选C.因为25＋35＋40＝100，用分层抽样的方法从中抽取40人，所以每个个体被抽到的概率是P＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)＝0.4，所以体育特长生25人应抽25×0.4＝10(人)，美术特长生35人应抽35×0.4＝14(人)，音乐特长生40人应抽40×0.4＝16(人)．2．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是()A．63 B．64C．65 D．66解析：选A.由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60，61，62，63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.故选A.3．北京某校三个年级共有18个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到18，现用系统抽样方法，抽取6个班进行调查．若抽到的编号之和为57，则抽到的最小编号为________．解析：系统抽样的间隔为eq\f(18,6)＝3.设抽到的最小编号为x，则x＋(3＋x)＋(6＋x)＋(9＋x)＋(12＋x)＋(15＋x)＝57.解得x＝2.答案：24．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多________人．解析：设班里“喜欢”摄影的同学有y人，“一般”的有x人，“不喜欢”的有(x－12)人，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－12,x)＝\f(1,3)，,\f(y,x)＝\f(5,3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝30.))所以全班共有30＋18＋6＝54(人)，又30－eq\f(54,2)＝3(人)．所以“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人．答案：35．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成统计图如图所示．根据统计图所提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了________名市民；(2)补全条形统计图；(3)该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数．解：(1)本次共调查的市民人数为800÷40%＝2000.故填2000.(2)晚饭后选择“其他”的人数为2000×28%＝560，晚饭后选择“锻炼”的人数为2000－800－240－560＝400.将条形统计图补充完整，如图所示．(3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为：400÷2000＝20%，故该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%＝96(万)．6．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流．求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．解：(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以eq\f(120＋x,3600)＝0.05，解得x＝60.所以持“无所谓”态度的人数共有3600－2100－120－600－60＝720，所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×eq\f(360,3600)＝72(人)．(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校学生为eq\f(120,180)×6＝4(人)，社会人士为eq\f(60,180)×6＝2(人)，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，ξ的分布列为ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.第2讲用样本估计总体[基础题组练]1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.2．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为()A．10万元 B．12万元C．15万元 D．30万元解析：选D.9时至10时的销售额频率为0.1，因此9时至14时的销售总额为eq\f(3,0.1)＝30(万元)，故选D.3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.4．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则()A．eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，σ甲<σ乙 B．eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，σ甲>σ乙C．eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，σ甲<σ乙 D．eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，σ甲>σ乙解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．5．如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图．根据图中信息，下列结论正确的是()A．1951年以来，我国的年平均气温逐年增高B．1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高C．2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值D．2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值解析：选D.由题图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C错误；2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D正确，故选D.6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得eq\f(70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m＋5）,7)＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.答案：67．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．解析：由题图甲可知学生总人数是10000，样本容量为10000×2%＝200，抽取的高中生人数是2000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.答案：200208．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.0375＋0.0125)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝eq\f(5＋15＋25,0.75)＝60.答案：609．某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a，b，c的值；(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．解：(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．所以P＝eq\f(162,200)＝eq\f(81,100)＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．10．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由．(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．解：(1)A的中位数是eq\f(83＋85,2)＝84，B的中位数是eq\f(84＋82,2)＝83.(2)派B参加比较合适．理由如下：eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，因为eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\o(x,\s\up6(－))B，但seq\o\al(2,B)<seq\o\al(2,A)，说明B稳定，派B参加比较合适．(3)5位工人中选2人有10种：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)；A，B都不参加的有3种：(C，D)，(C，E)，(D，E)，A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).[综合题组练]1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方差较小的是()A．A县 B．B县C．A县、B县两个地区相等 D．无法确定解析：选A.根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小．2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.3．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为________．解析：由茎叶图可知0≤x≤9且x∈N，中位数是eq\f(17＋10＋x,2)＝eq\f(27＋x,2)，这位运动员这8场比赛的得分平均数为eq\f(1,8)(7＋8＋7＋9＋x＋3＋1＋10×4＋20×2)＝eq\f(1,8)(x＋115)，由eq\f(1,8)(x＋115)≥eq\f(27＋x,2)，得3x≤7，即x＝0，1，2，所以这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)4．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))×(eq\f(a,4)＋eq\f(b,4))＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)＋4)≥eq\f(1,4)×(5＋4)＝eq\f(9,4)(当且仅当b＝2a时取等号)．故eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为eq\f(9,4).答案：eq\f(9,4)5．(应用型)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.0001×1000×2000＋0.0001×1000×3000＋0.0002×1000×4000＋0.0003×1000×5000＋0.0002×1000×6000＋0.0001×1000×7000＝4700(元)．(2)抽样比为eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，从工资在[1500，4500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×eq\f(1,20)＝2(人)，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4500，7500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×eq\f(1,20)＝3(人)，设这三位员工分别为A，B，C.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率为eq\f(3,10)；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为eq\f(1,10).因为eq\f(1,10)<eq\f(3,10)<eq\f(3,5)，所以公司收入2万元的可能性最大．6．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝eq\f(3,8)，P2＝eq\f(1,2)，两人失分均超过15分的概率为P1P2＝eq\f(3,16)，X的所有可能取值为0，1，2.依题意，X～B(2，eq\f(3,16))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)(eq\f(3,16))k(eq\f(13,16))2－k，k＝0，1，2，则X的分布列为X012Peq\f(169,256)eq\f(39,128)eq\f(9,256)X的均值E(X)＝2×eq\f(3,16)＝eq\f(3,8).第3讲变量间的相关关系、统计案例[基础题组练]1．根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知eq\o(a,\s\up6(^))>0，故选B.2．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A．66% B．67%C．79% D．84%解析：选D.因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为eq\f(4.2,5)＝84%.3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.4．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份(届)2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上的学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为()A．111 B．117C．118 D．123解析：选B.因为eq\o(x,\s\up6(－))＝53，eq\o(y,\s\up6(－))＝103.5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得eq\o(y,\s\up6(^))＝117，故选B.5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得K2＝eq\f(100×（45×22－20×13）2,65×35×58×42)≈9.616.参照下表，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828下列结论正确的是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：选C.因为K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x变为x＋1，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．答案：0.2457．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为________．解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.答案：18．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－eq\f(1,3)附近波动．经计算eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xi＝11，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi＝13，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝21，则实数b的值为________．解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－eq\f(1,3)，此时eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i),6)＝eq\f(7,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi,6)＝eq\f(13,6)，代入y＝bt－eq\f(1,3)，得eq\f(13,6)＝b×eq\f(7,2)－eq\f(1,3)，解得b＝eq\f(5,7).答案：eq\f(5,7)9．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为eq\f(3,11).优秀非优秀总计甲班10乙班30总计110(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：(1)列联表如下：优秀非优秀总计甲班105060乙班203050总计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K2＝eq\f(110×（10×30－20×50）2,60×50×30×80)≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．10．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,6,)xiyieq\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除；(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋8.04.(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝3×18＋8.04＝62.04，故预报值为62.04万元．[综合题组练]1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]支持“延迟退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据及公式：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解：(1)列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为K2＝eq\f(100×（35×5－45×15）2,50×50×80×20)＝eq\f(25,4)＝6.25＞3.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．①抽到1人是45岁以下的概率为eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,7).故所求概率为eq\f(\f(3,7),\f(3,4))＝eq\f(4,7).②X＝0，1，2.P