2022年上海市澄衷高级中学高考适应性考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/■（x）=sin（0x+e）（<y>O,le|wH）,x=—生为/（x）的零点，x=工为y=/（x）图象的对称轴，且/（x）

244

在区间（?,（）上单调，则。的最大值是（）

A.12B.11C.10D.9

2.已知向量日二=(73,1),5=(6,-6则M与B的夹角为（)

兀_兀27rn54

A.B.-C.—D.—

6336

5,E.

3.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足加2一班=彳地”，其中星等为

2E2

”〃的星的亮度为&（A=l,2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.10,0JB.10.1C.IglO.lD.10-,0J

4.已知抛物线C:/=4），，过抛物线C上两点A,B分别作抛物线的两条切线PA,PB,P为两切线的交点。为坐标原点

若PA.PB=0，则直线OA与OB的斜率之积为（）

1c1

A.——B.-3C.——D.-4

48

5.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向

后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

6.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为大圆柱底面半径为弓，如图1放置容

器时'液面以上空余部分的高为九’如图2放置容器时'液面以上空余部分的高为为'则标（）

rei182

/、2/、3

r

24c.2

4J,

7.已知集合4={犬|%2一2》一3<0}3={%|^<2},则AC|8=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

8.将函数/（x）=sin（2x-g）（xeA）的图象分别向右平移g个单位长度与向左平移〃（">0）个单位长度，若所得到

的两个图象重合，则〃的最小值为（）

B.二71

A.-D.兀

337

9.在等差数列｛4｝中，若生=4,4=8,则%=（）

A.8B.12C.14D.10

10.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构

的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

A.240,18B.200,20

C.240,20D.200,18

11.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量x与y的随机

变量r的观测值z来说，女越小，判断“x与y有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（)

A.3B.2C.1D.0

a

12.已知水平放置的乙ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中8'0'=00'=\,^0'=—,那么原△ABC

2

的面积是()

A.GB.20

C.3D.立

24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在边长为4的菱形ABCO中，A=60。,点p在菱形ABCQ所在的平面内.若PA=3,PC=6L贝！J

PBPD^-------.

14.已知(1—)(1-2x)=—F4+qx+a,*?+…+/『，则a,=,

%+4+a[+…+%=___________________________

15.已知数列｛4｝中，S“为其前”项和，q=l,a4,用=2",贝ij%=，5200=.

16.设随机变量自服从正态分布N(2,9),若PC>c)=P(J<c+2),则c的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，平面四边形ABCQ中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AO上的一点，

A5=8C=2OE,尸是EC的中点，以EC为折痕把△匹C折起，使点。到达点P的位置，且PC工BF.

(1)证明：平面P£CJ_平面ABCE；

(2)求直线PC与平面所成角的正弦值.

18.(12分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定

当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每

个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：

日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日

元件A个数91512181218992412

日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日

元件A个数12241515151215151524

从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.

(I)求X的分布列与数学期望;

(II)若a,bwN*，且儿a=6,求P(aWX4人)最大值；

(ID)目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少

需要增加几名维修工人？(只需写出结论)

19.(12分)如图，在四棱锥中，底面A8CZ)是边长为2的菱形，ZADC=60°,为等边三角形，

平面平面ABC。，M,N分别是线段PQ和的中点.

(1)求直线CM与平面山5所成角的正弦值；

(2)求二面角D-AP-B的余弦值；

(3)试判断直线MN与平面的位置关系，并给出证明.

20.(12分)在AABC中，角AB,C的对边分别为a/,c.已知c=4后，sin-=—

25

(1)若a=1,求sinA；

(2)求△ABC的面积S的最大值.

21.(12分)已知函数/(x)=a(x-l)lnx+Q(aeR).其中e是自然对数的底数.

(1)求函数/(x)在点x=l处的切线方程；

(2)若不等式/(x)-e'W0对任意的恒成立，求实数。的取值范围.

22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程

x-2cos6

已知曲线G的参数方程是｛.c(。为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C,

y=sin〃

的极坐标方程是。=2sin9.

(1)写出G的极坐标方程和G的直角坐标方程；

(2)已知点A/2的极坐标分别为和(2,0),直线"1知2与曲线相交于P,。两点，射线0P与曲线

G相交于点A,射线与曲线G相交于点8,求工百+屋商的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由题意可得。•(-£)+夕=&〃，且3=故有0=2(/-％)+1①，再根据《马一㊂―£,求得g,12②,

4422G34

由①②可得①的最大值，检验出的这个值满足条件.

【详解】

解：函数/(x)=sin(<yx+e)(0>O,\(p\„,

TT7T

尢=一;为了(幻的零点，x为y=/(x)图象的对称轴，

44

-三)+(p=k兀,且0/+*=%%+¥，k、VwZ,:,co=2(k'-k)+\,即⑷为奇数①.

442

・・•/(X)在(，刍单调，.•二.空.•.痣,12②.

432G34

由①②可得。的最大值为1.

TT_7T-TT

当。=11时，由》=—为y=/(x)图象的对称轴，可得iix^+e=&万+代，k&Z,

442

故有0=,<w,(---)+^=kn,满足x=为f(x)的零点，

444

(71兀、

同时也满足满足/0)在I，§J上单调，

故①=11为3的最大值，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

2.B

【解析】

由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.

【详解】

解：由题意得，设力与石的夹角为。，

ca-b3-11

cos0—|_||_i=------=-

琲|2x22，

由于向量夹角范围为：0W6W%,

：.6=-.

3

故选：B.

【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.

3.A

【解析】

由题意得到关于耳，马的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

两颗星的星等与亮度满足，〃2-叫=|怛£,令，〃2=-1.45,g=-26.7,

故选A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.

4.A

【解析】

设出A,8的坐标，利用导数求出过A,8的切线的斜率，结合西.丽=（）,可得为M=-1.再写出QB所在

直线的斜率，作积得答案.

【详解】

22

解：设A（%,工），B（々，三），

'4-4

“，1,1

由抛物线C：x2=lj,得、=—厂，则旷=—x.

42

•,KAP—5玉，KPB-5*2'

由AX・丽=0，可得,xjX,=-1,即X1X2=-1.

4

又k°A=£，koB-7>

•k-k_-4_1

,,KOAKOH-]6-16-4,

故选：A.

点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌

握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设

A（2a,/）再（24〃）,出b，再求切线PA,PB方程，

求点P坐标，再根据肉.而=0得到=最后求直线。4与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一

些.

5.B

【解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.

【详解】

“正面朝南”“正面朝北”分别用表示，

利用列举法，可得下表,

原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次数为4次.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.

6.B

【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.

【详解】

在图1中，液面以上空余部分的体积为町2九；在图2中，液面以上空余部分的体积为万片初因为仍2%所

以左=2.

故选：B

【点睛】

本题考查圆柱的体积，属于基础题.

7.C

【解析】

解不等式得出集合A,根据交集的定义写出ACa

【详解】

^-^-A={x|x2-2x-3<0}={x|-l<x<3},

B={x|x<2},/.nB={x|-1<x<2]

故选C.

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

8.B

【解析】

首先根据函数/(x)的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，

那么加+〃=hT,利用,f(x)的最小正周期为万，从而求得结果.

【详解】

/(x)的最小正周期为万，

JI

那么一+〃=左乃(攵GZ),

3

于是〃=k7T--，

3

-r日比，1nJ.且1代“_2乃

于是当攵=1时，〃最小值为7，

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.

9.C

【解析】

将4，%分别用4和d的形式表示，然后求解出q和Q的值即可表示的.

【详解】

设等差数列｛%｝的首项为q,公差为d,

a,+d=4,

则由%=4,%=8,得＜解得q=2,d=2,

q+3d=8,

所以%=q+6"=14.故选C.

【点睛】

本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建4和4的方程组求通项公式.

10.A

【解析】

利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数.

【详解】

样本容量为：(150+250+400)x30%=240,

.•.抽取的户主对四居室满意的人数为：240X*…x40%=18.

故选A.

【点睛】

本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合

理运用.

11.C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③.

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接

近于0;故②为真命题；

③对分类变量x与y的随机变量长2的观测值k来说，z越小，“x与y有关系”的把握程度越小，故③为假命题.

故选：c.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.

12.A

【解析】

先根据已知求出原AABC的高为AO=石，再求原△45C的面积.

【详解】

由题图可知原AABC的高为AO=百，

SAABC=一xBCxOA——x2x,故答案为A

22

【点睛】

本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，再设尸(x,V)，根据PA=3,PC="■求出P的坐标，进而求得丽.而

即可.

【详解】

解：连接AC,BD,设AC,8。交于点。，以点。为原点，

分别以直线OC,OD为％轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则：A(-2V3,0),C(2A/3,0),B(0,—2),0(0,2),

设P(x,y)

­.•PA=3,PC=V21,

2

1+2旬+V=9

卜-2可+丁=21

①-②得,8信=一12,

解得X=_走

2

.•.3=±^,

3、

：.P一彳，司或P可

2

显然得出的丽・丽是定值,

44

故答案为：一1.

【点睛】

本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.

14.-196-3

【解析】

由二项式定理及二项式展开式通项得：4=(—2)—+(—2)，W=-196,令x=L则l+ao+ai+…+s=(1+1)x(1-2)

7=-2,所以ao+ai+…+s=-3,得解.

【详解】

由二项式(1-2X)7展开式的通项得Tr+｝=G(—2力’，

贝Ua2=(—2)2C；+(―2)3G=-196,

令丫=1,则1+/+4+…+%=(1+1)x(1-2)7=-2,

所以ao+ai+…+。7=—3,

故答案为：-196,-3.

【点睛】

本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.

15.83x21°°-3(写为2m+2血—3也得分)

【解析】

n

由％=1，4。向=2"得，生=2.当“22时，a^an=2-',所以手=2,所以｛%｝的奇数项是以1为首项，以2

an-\

为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则4=2x2?=8,

s烦=1"1-2虫+2x(1=2⑼+2,O,-3=3X2,(X,-3.

-001-21-2

16.1

【解析】

c+c+2

由题得一一=2,解不等式得解.

2

【详解】

因为PC>c)=P(J<c+2),

所以十

2,

所以C=l.

故答案为1

【点睛】

本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)更

5

【解析】

(1)要证平面PEC，平面ABCE,只需证3b_L平面PEC,而所以只需证BRLEC,而由已知的数

据可证得ABCE为等边三角形，又由于b是EC的中点，所以5Fd.EC,从而可证得结论；

(2)由于在&八/石。中，PE=DE=PF」EC=2a,而平面P£C_L平面A5CE,所以点P在平面ABCE的投

2

影恰好为跖的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】

(1)由3C//A£>,NADC=90°,A8=BC=2OE,所以平面四边形ABC。为直角梯形，设48=3。=20£=4”，

因为NABC=120°.

所以在Rt^XCDE中，C。=2后,EC=4a,tanNECD="=1,则ZECD=30,，又ZADC=/BCD=90°，

CD3

所以NBCE=60>由EC=BC=AB—4a,

所以ABCE为等边三角形，

又尸是EC的中点，所以BF1.EC,又BF上PC,EC,PCu平面PEC,ECcPC=C,

则有BE，平面PEC,

而BEu平面ABCE,故平面PEC_L平面ABCE.

(2)解法一：在用中，PE=DE=PF=LEC=2a,取访中点。，所以POLEE,

2

由(1)可知平面PEC_L平面A6CE,平面PECfl平面M8=EC,

所以尸0,平面ABCE,

以。为坐标原点，。心方向为)'轴方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则P((),(),岛),A(2>5a,-3a,0),a,0),C(0,3a,0),

PA=(243a,-3a,-V3<7),PB=(2百&,a,-石口),PC=(0,3a,一百a),

_fm-PA=0,[2>/3ax-3ay-垂>az=0,

设平面QA6的法向量机=(x,y,z),由<一得｛厂取x=l，则/=(1,0,2)

[m-PB=0[2yf3ax+ay-y!3raz=0,

设直线PC与平面PA8所成角大小为

“A」和定L26a

|沅||尸。712+22«7（3^）2+（->/3«）25

故直线PC与平面加?所成角的正弦值为好.

5

解法二：在R^PEC中,PE=DE=PF=LEC=2a,取历中点。，所以PO_LEV,由（D可知平面PEC_L

2

平面ABCE,平面PECfl平面ABCE=fC，

所以P。，平面ABCE,

过。作于〃，连PH,则由PO_L平面ABCE,A8U平面ABCE,所以又

AB1OH,POcOH=O,则AB_L平面POH,又P"u平面POH所以AB_LPH,在RMPOH中,

PO=y/3a,OH=BF=2>/3a>所以PH=JlWa，设C到平面P4B的距离为4,由匕'-力功二匕3-ABC，即

xOP,BP-x—x4tzxy[\5ad=-x—x4axWiax0a,

2XS”ABXd=§XS&BEC

3232

可得d

6

设直线PC与平面aw所成角大小为e,贝d而.君.

sinU=----=「=—

PC2也a5

故直线PC与平面PA6所成角的正弦值为好.

5

【点睛】

此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.

3

18.（I）分布列见解析，£（x）=15；（n）“（ID）至少增加2人.

【解析】

（I）求出X的所有可能取值为9,12,15,18,24,求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可.

（H）当P（好/@）取到最大值时，求出“，〜的可能值，然后求解尸（aWX砂）的最大值即可.

<m)利用前两问的结果，判断至少增加2人.

【详解】

(I)X的取值为：9,12,15,18,24；

357

p(X=9)=3,P(X=12)=3,P(X=15)=，,

''20v'20v'20

23

p(X=18)=*,P(X=24)=二，

i720v720

X的分布列为：

X912151824

35723

P

2020202020

35723

故X的数学期望E(X)=9x3+12x3+15x,+18x二+24x3=15；

v12020202020

（IDSP（a*@）取到最大值时,

a=9a=12<7=18

a,h的值可能为:或＜

底5或b=lS。=24

经计算P(9WX<15)=K，P(124X418)=，,P(18WX<24)=K,

153

所以P(aSX@)的最大值为一=

204

(ni)至少增加2人.

【点睛】

本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.

19.(1)叵(2)-好(3)直线肱V//平面2钻，证明见解析

105

【解析】

取AO中点。，连接。C,则OCLAD,再由已知证明QP_L平面ABCO,以。为坐标原点，分别以OC,OD,OP

所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面Q46的一个法向量万.

(1)求出揄的坐标，由;;与原所成角的余弦值可得直线CM与平面加8所成角的正弦值；

(2)求出平面PA。的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角。-针-8的余弦值；

(3)求出痴的坐标，由二加=(),结合平面可得直线MN//平面Q钻.

【详解】

••・底面ABCO是边长为2的菱形，ZADC=60°,

：.AACD为等边三角形.

取中点。，连接OC,则OC_LA£>,

为等边三角形，

：.OP±AD,

又平面BADJ_平面ABC。，且平面。平面ABC。=A。，

.•.OP,平面ABCD.

则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(G，0,0),B由,-2,0),P(0,0,若),

M(0,；，今，N(G-b0).

AP=(0,l,y/3)»AB=(^,-1,0)>设平面P/W的一个法向量为；=(x,y,z)・

n-AP=y+\/3z=0r-

由1r-，取y=j3,得〃=(1,有,一1).

(1)证明：设直线CM与平面Q4B所成角为夕，

凉=(-屋，争，

…4，一〃；〃，\n-CM\&V15

则sin0=|cos<n,CM>|=---------=—7==,

\n\■\CM\15x210

即直线CM与平面Q46所成角的正弦值为叵；

10

(2)设平面D4P的一个法向量为力=(1,0,0)，

,tth-m1\/5

由cos<n,rn>=—r-——r-=-j==~z~，

\n\-\m\V5xl5

得二面角。-"-3的余弦值为-.

5

(3)•.•疝=(石,

.t工z_03>/3V3_

••tvMN=73--------1-----=0,

22

又"Na平面e钻，

直线MV//平面加8.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查推理能力与计算能力，属于中档题.

20.(1)sinA=—;(2)4

10

【解析】

(1)根据已知用二倍角余弦求出cosC,进而求出sinC,利用正弦定理，即可求解；

(2)由c边C角，利用余弦定理结合基本不等式，求出出?的最大值，即可求出结论.

【详解】

C34

(1)VcosC=1-2sin2—=——,sinC=—,

255

由正弦定理，一=」一得sinA=竺睫=乂2.

sinAsinCc10

(2)由(1)知cosC=-3,c2=b2+a2-2b-acosC=b2+a2+—ba>2ab+—ba=—ba,

5555

所以\0>ha,S=—/>asinC<—xlOx—=4,

5225

当且仅当a=。时，△ABC的面积S有最大值4.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.

21.(1)丁=%

(2)a41—.

2

【解析】

(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得/(x)在点x=1处的切线方程；

(2)令g(x)=/(x)—e*=a(x-l)lnx+ex—e"(xNl),g'(x)=dlnx+l-g)+e-e'然后利用导数并根据0的

情况研究函数g(x)的单调性和最值.

【详解】

(1)/(x)=a(x-l)lnx+ex,/'(x)=a^lnx+-~~-j+e,

.•.尸(l)=e,

又/(l)=e