2023-2024学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若，则的值为（）A． B． C． D．2．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A． B． C． D．3．（4分）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝6，BD＝2，则DF等于（）A．9 B．6 C．4 D．14．（4分）二次函数y＝（x﹣2）2+1图象的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣25．（4分）在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（）A．A的左侧 B．A、B之间 C．C的右侧 D．B，C之间6．（4分）一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根7．（4分）已知点A（m，n），点B（3，5）都在反比例函数的图象上．若m＞3，则n的值可能是（）A．﹣6 B．2 C．5 D．88．（4分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1）9．（4分）为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC＝AD＝2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（）A．4sin70° B．4cos70° C．2sin20° D．2cos20°10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表，x﹣1012⋯y⋯3676⋯根据表格中的信息，得到如下结论：①二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上；②求该二次函数的表达式时，可设y＝a（x+1）2+7；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝6的两个根为0或2；④若y＞3，则﹣1＜x＜3．以上结论正确的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）方程x2﹣2x＝0的解是．12．（4分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约是．（结果精确到0.1）13．（4分）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为．14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则cosB的值为．15．（4分）把抛物线y＝3（x+2）2+1向右平移3个单位，得到的抛物线表达式是．16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CEFG，当AB的对应边EF恰好经过点D时，连接BE，则BE＝．三、解答题：本题共9小题，共86分.17．（8分）计算：4sin60°+（﹣1）0．18．（8分）解方程：x2+6x+2＝0．19．（8分）如图，线段AB，CD相交于点E，AD∥BC，若AE＝3，BE＝5，AD＝4，求BC的长．20．（8分）某县被称为“中国食用菌之都”，2021年其食用菌全产业链总产值为200亿元．县政府持续推进食用菌产业高质量发展，努力带领人民走出一条产业富民兴县的乡村振兴之路，到2023年，全县食用菌全产业链总产值达242亿元．假定每年的总产值年增长率相同，求这两年的总产值年平均增长率．21．（8分）某超市开展春节大促销活动，规定购买的商品超过88元，可以获得一次抽奖的机会．抽奖的规则如下，在一个不透明的箱子甩装有4个标记数字为2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外形状大小质感都相间，摸奖者从中随机摸出两个球，若两个球的数字和为n，则所购的商品总价就打n折．（1）利用画树状图或列表的方法表示抽奖一次所有可能出现的结果：（2）若小明有一次抽奖的机会，求他所购的商品获得7折的概率．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC⊥x轴于点B，反比例函数（x＞0）的图象经过A，C两点，点A的坐标为（2，6），．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△ABC的面积．23．（10分）已知国际标准纸的长与宽的比为，如数学答题卡就是一张国际标准的A3纸，它是一个长与宽比是的矩形．在数学项目式学习活动课上，同学们围绕国际标准纸开展探究：（1）探究活动1：如图1，将一张国际标准纸ABCD按如下方式折叠：点E在AB边上，将△CBE沿CE对折，使点B落在AD边上的点F处：点G在AD边上，将△CDG沿CG对折，使点D落在CF边上的点H处．几位同学针对图中△AEF与△FGH，提出如下结论：①△AEF与△FGH相似；②△AEF与△FGH都是等腰直角三角形；③△AEF与△FGH全等．请选择上述结论中的一个进行判断，若该结论是真命题，请加以证明；若该结论是假命题，请给出一个反例进行说明：（2）探究活动2：如图2，已知正方形ABCD，请用尺规作图的方式在图中作出一个国际标准纸规格的矩形，其中矩形一边的长等于正方形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）24．（13分）如图，已知矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点B的坐标是（5，3），抛物线（m是常数）的顶点是P．（1）求点P的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若抛物线经过点A，则抛物线是否与线段AB有另一个交点E．若有，求出∠AEP的正切值；若没有，请说明理由；（3）若抛物线被矩形OABC所截，其在矩形OABC内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围．25．（13分）如图，已知菱形ABCD，∠BAD＝60°，将线段BC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到线段BE，作∠EBC的角平分线BP交CD于点P，连接AE并延长交BP于点F，连接CE，CF．（1）如图1，当α＝60°，即点D与点E重合时，求证：△CEF是等边三角形；（2）如图2，当α≠60°时，求证：DF＝BE；（3）在线段BC的旋转过程中，直接写出线段FA，FB，FC之间的数量关系．

2023-2024学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：设a＝4k，b＝5k，∴，故选：B．2．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为：．故选：B．3．（4分）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝6，BD＝2，则DF等于（）A．9 B．6 C．4 D．1【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AC＝3，CE＝6，BD＝2，∴，解得：DF＝4，故选：C．4．（4分）二次函数y＝（x﹣2）2+1图象的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣2【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1是顶点式，∴对称轴为：直线x＝2．故选：B．5．（4分）在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（）A．A的左侧 B．A、B之间 C．C的右侧 D．B，C之间【解答】解：如图所示，故选：B．6．（4分）一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【解答】解：x2﹣5x﹣1＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝25+4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．7．（4分）已知点A（m，n），点B（3，5）都在反比例函数的图象上．若m＞3，则n的值可能是（）A．﹣6 B．2 C．5 D．8【解答】解：∵点B（3，5）都在反比例函数的图象上，∴k＝3×5＝15＞0，∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小，∵m＞3，∴0＜n＜5，∴只有B选项中的2符合题意，故选B．8．（4分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，0） D．（0，﹣1）【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．9．（4分）为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC＝AD＝2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（）A．4sin70° B．4cos70° C．2sin20° D．2cos20°【解答】解：∵AC＝AD＝2，对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，∠CAD的度数为140°，∴CE＝DE，，∵，∴CE＝AC•sin∠CAE＝2⋅sin70°∴CD＝2CE＝4sin70°，故选：A．10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表，x﹣1012⋯y⋯3676⋯根据表格中的信息，得到如下结论：①二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上；②求该二次函数的表达式时，可设y＝a（x+1）2+7；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝6的两个根为0或2；④若y＞3，则﹣1＜x＜3．以上结论正确的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：根据表格数据，当x从小到大时，函数先增大后减小，∴抛物线的开口方向为向下，故①不正确；∵x＝0和x＝2时，y＝6，∴对称轴为直线，则顶点坐标为（1，7），求该二次函数的表达式时，可设y＝a（x﹣1）2+7；故②不正确；∵当y＝6时，x＝0和x＝2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝6的两个根为0或2，故③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，又∵x＝﹣1时y＝3，则x＝3时，y＝3，∴y＞3，则﹣1＜x＜3，故④正确；故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）方程x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝2．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，则x＝0，x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．12．（4分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约是0.9．（结果精确到0.1）【解答】解：由图形可得，可估计这种树苗移植成活的概率约是0.9，故答案为：0.9．13．（4分）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为4：9．【解答】解：相似多边形的周长的比是2：3，周长的比等于相似比，因而相似比是2：3，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为4：9；故答案为：4：9．14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则cosB的值为．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝12，∴cosB＝＝．故答案为：．15．（4分）把抛物线y＝3（x+2）2+1向右平移3个单位，得到的抛物线表达式是y＝3（x﹣1）2+1．【解答】解：把抛物线y＝3（x+2）2+1向右平移3个单位，得到的抛物线表达式是y＝3（x﹣1）2+1．故答案为：y＝3（x﹣1）2+1．16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CEFG，当AB的对应边EF恰好经过点D时，连接BE，则BE＝．【解答】解：如图所示，连接DG，∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CEFG，AB的对应边EF恰好经过点D，∴∠DEC＝90°，DC＝AB＝5，BC＝CE＝3，∠BCE＝∠DCG，∴，∴DF＝EF﹣ED＝5﹣4＝1，在Rt△DFG中，，∵∠BCE＝∠DCG，，∴△BCE∽△CDG，∴，∴，故答案为：．三、解答题：本题共9小题，共86分.17．（8分）计算：4sin60°+（﹣1）0．【解答】解：原式＝＝．＝1．18．（8分）解方程：x2+6x+2＝0．【解答】解：方程x2+6x+2＝0，配方得：（x+3）2＝7，开方得：x+3＝±，解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．19．（8分）如图，线段AB，CD相交于点E，AD∥BC，若AE＝3，BE＝5，AD＝4，求BC的长．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴，∵AE＝3，BE＝5，AD＝4，∴，∴．20．（8分）某县被称为“中国食用菌之都”，2021年其食用菌全产业链总产值为200亿元．县政府持续推进食用菌产业高质量发展，努力带领人民走出一条产业富民兴县的乡村振兴之路，到2023年，全县食用菌全产业链总产值达242亿元．假定每年的总产值年增长率相同，求这两年的总产值年平均增长率．【解答】解：设这两年的总产值年平均增长率为x，根据题意列方程，得200（1+x）2＝242，（1+x）2＝1.21，1+x＝±1.1，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.2（不合实际，舍去）．答：这两年的总产值年平均增长率为10%．21．（8分）某超市开展春节大促销活动，规定购买的商品超过88元，可以获得一次抽奖的机会．抽奖的规则如下，在一个不透明的箱子甩装有4个标记数字为2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外形状大小质感都相间，摸奖者从中随机摸出两个球，若两个球的数字和为n，则所购的商品总价就打n折．（1）利用画树状图或列表的方法表示抽奖一次所有可能出现的结果：（2）若小明有一次抽奖的机会，求他所购的商品获得7折的概率．【解答】解：（1）列表如下：23452/2+3＝52+4＝62+5＝733+2＝5/3+4＝73+5＝844+2＝64+3＝7/4+5＝955+2＝75+3＝85+4＝9/（2）由上表可知，共有12种等可能的结果，两个球的数字和为7有4种，所以他所购的商品获得7折的概率为．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC⊥x轴于点B，反比例函数（x＞0）的图象经过A，C两点，点A的坐标为（2，6），．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）把A（2，6）代入中，得，，解得k＝12，∴反比例函数的表达式为：．（2）∵BC⊥x，且，∴C点的纵坐标为，由得，，解得x＝8，∴C点的坐标为：．∴＝＝．23．（10分）已知国际标准纸的长与宽的比为，如数学答题卡就是一张国际标准的A3纸，它是一个长与宽比是的矩形．在数学项目式学习活动课上，同学们围绕国际标准纸开展探究：（1）探究活动1：如图1，将一张国际标准纸ABCD按如下方式折叠：点E在AB边上，将△CBE沿CE对折，使点B落在AD边上的点F处：点G在AD边上，将△CDG沿CG对折，使点D落在CF边上的点H处．几位同学针对图中△AEF与△FGH，提出如下结论：①△AEF与△FGH相似；②△AEF与△FGH都是等腰直角三角形；③△AEF与△FGH全等．请选择上述结论中的一个进行判断，若该结论是真命题，请加以证明；若该结论是假命题，请给出一个反例进行说明：（2）探究活动2：如图2，已知正方形ABCD，请用尺规作图的方式在图中作出一个国际标准纸规格的矩形，其中矩形一边的长等于正方形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∠FHG＝∠D＝90°，∴∠A＝∠FHG＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°．∵∠EFC＝∠B＝90°，∴∠AFE+∠HFG＝90°，∴∠AEF＝∠HFG，∴△AEF∽△HFG．∴①是真命题；设矩形ABCD的长为，宽为1，则，AB＝DC＝1，则，∴FD＝DC，∴∠HFG＝45°．∵∠GHF＝90°，∴∠HGF＝45°，∴△FHG是等腰直角三角形．∵∠AFE＝∠HFG，∴∠AFE＝45°，∴∠AEF＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形．∴②是真命题；由②得，HC＝DC＝1，∴，∴，，∴，∴，∴，则．又∵∠A＝∠FHG＝90°，∴△AEF≌△HFG（SAS）．∴③是真命题．（2）如图，连接正方形的两条对角线，交于O点，以B点为圆心，以OB长为半径画弧，交AB边于E点，以C点为圆心，以OC长为半径画弧，交CD边于F点，连接EF，则矩形BCFE的长与宽的比为．24．（13分）如图，已知矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点B的坐标是（5，3），抛物线（m是常数）的顶点是P．（1）求点P的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若抛物线经过点A，则抛物线是否与线段AB有另一个交点E．若有，求出∠AEP的正切值；若没有，请说明理由；（3）若抛物线被矩形OABC所截，其在矩形OABC内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴．∴顶点P的坐标为；（2）∵矩形OABC的顶点A在y轴上，且点B的坐标是（5，3），∴AB∥x轴．点A的坐标是（0，3）．∵抛物线经过点A，∴．解得，m2＝2，①当时，抛物线的对称轴为直线，根据对称性点A关于对称轴对称的点为（﹣5，3），∴抛物线与线段AB没有另一个交点，②当m＝2时，抛物线的对称轴为直线x＝2，根据对称性点A关于对称轴对称的点为（4，3），∴抛物线与线段AB的另一个交点E为（4，3）；当m＝2时，P（2，﹣1），如图1，过点P作PF⊥AB于点F，连接EF，PF＝yF﹣yP＝4，EF＝xE﹣xP＝2，∴；（3）由（1）知顶点P的坐标为，∴抛物线的顶点P在直线上．由（2）可得抛物线经过点A时，，m2＝2当抛物线经过点O时，．解得